このページは、数研出版｜高等学校数学A[104-903]
第３章 数学と人間の活動
第３章 数学と人間の活動
教科書の復習から入試の入門まで｜数学入門問題精講
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高等学校数学A 第１章 場合の数と確率
高等学校数学A 第２章 図形の性質
高等学校数学A 第３章 数学と人間の活動
第３章 数学と人間の活動
p.127 練習1\({\small (1)}~\pm1~,~\pm2~,~\pm3~,~\pm4~,~\pm6~,~\pm12\)
\({\small (2)}~6~,~12~,~18~,~24~,~30\)
解法のPoint｜約数と倍数の求め方
\({\small (2)}~6~,~12~,~18~,~24~,~30\)
解法のPoint｜約数と倍数の求め方
p.127 練習2\({\small (1)}~\)[証明] \(a~,~b\) がともに \(5\) の倍数より、整数 \(k~,~l\) を用いて、
\(a=5k~,~b=5l\)
よって、\(a+b\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b&=&5k+5l
\\[3pt]~~~&=&5(k+l)\end{eqnarray}\)
\(k+l\) は整数であるので、\(5(k+l)\) は \(5\) の倍数
したがって、\(a+b\) は \(5\) の倍数となる [終]
\(a=5k~,~a+b=5l\)
よって、\(a+b\) から \(a\) を引くと、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b&=&5l \\~~
-\big{)}~~~a&=&5k\\
\hline b&=&5l-5k
\\[3pt] b&=&5(l-k)\end{eqnarray}\)
\(l-k\) は整数であるので、\(5(l-k)\) は \(5\) の倍数
したがって、\(b\) は \(5\) の倍数となる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(a=5k~,~b=5l\)
よって、\(a+b\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b&=&5k+5l
\\[3pt]~~~&=&5(k+l)\end{eqnarray}\)
\(k+l\) は整数であるので、\(5(k+l)\) は \(5\) の倍数
したがって、\(a+b\) は \(5\) の倍数となる [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(a~,~a+b\) がともに \(5\) の倍数より、整数 \(k~,~l\) を用いて、
\(a=5k~,~a+b=5l\)
よって、\(a+b\) から \(a\) を引くと、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a+b&=&5l \\~~
-\big{)}~~~a&=&5k\\
\hline b&=&5l-5k
\\[3pt] b&=&5(l-k)\end{eqnarray}\)
\(l-k\) は整数であるので、\(5(l-k)\) は \(5\) の倍数
したがって、\(b\) は \(5\) の倍数となる [終]
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p.129 研究 練習1\({\small (1)}~(x~,~y)=(4~,~-1)~,~(6~,~-3)~,~\)
\((2~,~-7)~,~(0~,~-5)\)
\({\small (2)}~(x~,~y)=(2~,~11)~,~(3~,~8)~,~(4~,~7)~,~\)
\((7~,~6)~,~(0~,~-1)~,~(-1~,~2)~,~\)
\((-2~,~3)~,~(-5~,~4)\)
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\((2~,~-7)~,~(0~,~-5)\)
\({\small (2)}~(x~,~y)=(2~,~11)~,~(3~,~8)~,~(4~,~7)~,~\)
\((7~,~6)~,~(0~,~-1)~,~(-1~,~2)~,~\)
\((-2~,~3)~,~(-5~,~4)\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.131 練習4\({\small (1)}~2^4\cdot3^2\) \({\small (2)}~2^2\cdot3^2\cdot5\)
\({\small (3)}~3\cdot5^2\cdot7\)
解法のPoint｜素因数分解の方法
\({\small (3)}~3\cdot5^2\cdot7\)
解法のPoint｜素因数分解の方法
p.132 練習6\({\small (1)}~1~,~3~,~5~,~9~,~15~,~45\)
\({\small (2)}~1~,~2~,~4~,~7~,~8~,~14~,~28~,~56\)
\({\small (3)}~1~,~2~,~3~,~5~,~6~,~9~,~10\)
\(~~~~~15~,~18~,~30~,~45~,~90\)
解法のPoint｜素因数分解と正の約数
\({\small (2)}~1~,~2~,~4~,~7~,~8~,~14~,~28~,~56\)
\({\small (3)}~1~,~2~,~3~,~5~,~6~,~9~,~10\)
\(~~~~~15~,~18~,~30~,~45~,~90\)
解法のPoint｜素因数分解と正の約数
p.133 練習8 \(12\)
p.133 練習9 \(45\)
p.136 練習13[証明] \(k~,~l\) を自然数とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
a+1=5k~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\[3pt] a+2=9l~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+11&=&(a+1)+10
\\[3pt]~~~&=&5k+10
\\[3pt]~~~&=&5(k+2)~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+11&=&(a+2)+9
\\[3pt]~~~&=&9l+9
\\[3pt]~~~&=&9(l+1)~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}={\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~5(k+2)&=&9(l+1)\end{eqnarray}\)
\(5\) と \(9\) は互いに素であるので、\(k+2\) は \(9\) の倍数となる
（※ \(l+1\) が \(5\) の倍数でもよい。）
よって、自然数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~k+2=9m\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+11&=&5(k+2)
\\[3pt]~~~&=&5 \cdot 9m
\\[3pt]~~~&=&45m\end{eqnarray}\)
したがって、\(a+11\) は \(45\) の倍数となる [終]
\({\small [\,3\,]}\) と \({\small [\,4\,]}\) より、\(a+11\) は \(5\) の倍数かつ \(9\) の倍数である
\(5\) と \(9\) は互いに素であるので、\(a+11\) は \(5\) と \(9\) の最小公倍数 \(45\) の倍数となる
したがって、\(a+11\) は \(45\) の倍数となる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
a+1=5k~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\[3pt] a+2=9l~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+11&=&(a+1)+10
\\[3pt]~~~&=&5k+10
\\[3pt]~~~&=&5(k+2)~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+11&=&(a+2)+9
\\[3pt]~~~&=&9l+9
\\[3pt]~~~&=&9(l+1)~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}={\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~5(k+2)&=&9(l+1)\end{eqnarray}\)
\(5\) と \(9\) は互いに素であるので、\(k+2\) は \(9\) の倍数となる
（※ \(l+1\) が \(5\) の倍数でもよい。）
よって、自然数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~k+2=9m\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+11&=&5(k+2)
\\[3pt]~~~&=&5 \cdot 9m
\\[3pt]~~~&=&45m\end{eqnarray}\)
したがって、\(a+11\) は \(45\) の倍数となる [終]
【別解】 ※ \({\small [\,4\,]}\) の式を作るまで同じ。
\({\small [\,3\,]}\) と \({\small [\,4\,]}\) より、\(a+11\) は \(5\) の倍数かつ \(9\) の倍数である
\(5\) と \(9\) は互いに素であるので、\(a+11\) は \(5\) と \(9\) の最小公倍数 \(45\) の倍数となる
したがって、\(a+11\) は \(45\) の倍数となる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.138 練習14\({\small (1)}~\)商 \(4\)、余り \(4\)
\({\small (2)}~\)商 \(-7\)、余り \(1\)
解法のPoint｜整数の割り算・商と余りの式
\({\small (2)}~\)商 \(-7\)、余り \(1\)
解法のPoint｜整数の割り算・商と余りの式
p.139 練習15\({\small (1)}~2\) \({\small (2)}~3\)
\({\small (3)}~2\) \({\small (4)}~0\)
解法のPoint｜商と余りの式を用いた余りの計算
\({\small (3)}~2\) \({\small (4)}~0\)
解法のPoint｜商と余りの式を用いた余りの計算
p.140 練習16[証明] 連続する \(2\) つの偶数を整数 \(n\) を用いて
\(2n~,~2n+2\)
と表すと、その \(2\) 乗の和から \(4\) を引いた数は、
ここで、連続する \(2\) つの整数 \(n~,~n+1\) の少なくとも一方は \(2\) の倍数になるので、
\(n(n+1)\) は \(2\) の倍数となる
よって、整数 \(m\) を用いて、
\(n(n+1)=2m\)
と表されるから、
\(\begin{eqnarray}~~~8n(n+1)&=&8 \cdot 2m\\[3pt]~~~&=&16m\end{eqnarray}\)
したがって、連続する \(2\) つの偶数の \(2\) 乗の和から \(4\) を引いた数は、\(16\) の倍数となる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(2n~,~2n+2\)
と表すと、その \(2\) 乗の和から \(4\) を引いた数は、
\(\begin{eqnarray}~~~(2n)^2+(2n+2)^2-4&=&4n^2+(4n^2+8n+4)-4\\[3pt]~~~&=&8n^2+8n\\[3pt]~~~&=&8n(n+1)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、連続する \(2\) つの整数 \(n~,~n+1\) の少なくとも一方は \(2\) の倍数になるので、
\(n(n+1)\) は \(2\) の倍数となる
よって、整数 \(m\) を用いて、
\(n(n+1)=2m\)
と表されるから、
\(\begin{eqnarray}~~~8n(n+1)&=&8 \cdot 2m\\[3pt]~~~&=&16m\end{eqnarray}\)
したがって、連続する \(2\) つの偶数の \(2\) 乗の和から \(4\) を引いた数は、\(16\) の倍数となる [終]
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p.141 練習17[証明] この整数 \(n\) を \(2\) で割った余りで分類すると、
\(k\) を整数として、
\(n=2k~,~2k+1\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=2k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2\\[3pt]~~~&=&4 \cdot k^2\end{eqnarray}\)
\(k^2\) は整数より、
\(4\) で割り切れる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=2k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k+1)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2+4k+1\\[3pt]~~~&=&4(k^2+k)+1\end{eqnarray}\)
\(k^2+k\) は整数より、
\(4\) で割った余りは \(1\) になる
よって、\(n^2\) が \(4\) で割り切れないのは \(n\) が奇数のときであり、そのときの余りは \(1\) である
したがって、\(n^2\) が \(4\) で割り切れないとき、その余りは \(1\) になる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(k\) を整数として、
\(n=2k~,~2k+1\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=2k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2\\[3pt]~~~&=&4 \cdot k^2\end{eqnarray}\)
\(k^2\) は整数より、
\(4\) で割り切れる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=2k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k+1)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2+4k+1\\[3pt]~~~&=&4(k^2+k)+1\end{eqnarray}\)
\(k^2+k\) は整数より、
\(4\) で割った余りは \(1\) になる
よって、\(n^2\) が \(4\) で割り切れないのは \(n\) が奇数のときであり、そのときの余りは \(1\) である
したがって、\(n^2\) が \(4\) で割り切れないとき、その余りは \(1\) になる [終]
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p.151 練習20\(k\) を整数とする
\({\small (1)}~x=7k+2~,~y=-4k-1\)
\({\small (2)}~x=7k+2~,~y=5k+1\)
解法のPoint｜1次不定方程式の整数解
\({\small (1)}~x=7k+2~,~y=-4k-1\)
\({\small (2)}~x=7k+2~,~y=5k+1\)
解法のPoint｜1次不定方程式の整数解
p.155 練習23\({\small (1)}~36\) \({\small (2)}~59\)
\({\small (3)}~236\) \({\small (4)}~55\)
解法のPoint｜n進法の数を10進法で表す
\({\small (3)}~236\) \({\small (4)}~55\)
解法のPoint｜n進法の数を10進法で表す
p.155 練習24\({\small (1)}~101111_{(2)}\) \({\small (2)}~110111_{(2)}\)
\({\small (3)}~10202_{(3)}\)
解法のPoint｜10進法の数をn進法で表す
\({\small (3)}~10202_{(3)}\)
解法のPoint｜10進法の数をn進法で表す
問題
p.157 問題 1\({\small (1)}~\)下 \(2\) 桁が \(4\) の倍数
\({\small (2)}~\)下 \(3\) 桁が \(8\) の倍数
解法のPoint｜4の倍数・5の倍数・8の倍数の判別
\({\small (2)}~\)下 \(3\) 桁が \(8\) の倍数
解法のPoint｜4の倍数・5の倍数・8の倍数の判別
p.157 問題 5[証明] 連続する \(2\) つの偶数を整数 \(n\) を用いて
\(2n~,~2n+2\)
と表すと、その \(2\) 乗の差は、
\(\begin{eqnarray}~~~(2n+2)^2-(2n)^2&=&(4n^2+8n+4)-4n^2\\[3pt]~~~&=&8n+4\\[3pt]~~~&=&4(2n+1)\end{eqnarray}\)
ここで、\(2n+1\) は整数より、
\(4(2n+1)\) は \(4\) の倍数となる
次に、\(2n+1\) は奇数であり、\(2\) の倍数ではないので、
\(4(2n+1)\) は \(4\) では割り切れるが、\(8\) では割り切れない
したがって、連続する \(2\) つの偶数の \(2\) 乗の差は、\(4\) の倍数であるが、\(8\) の倍数ではない [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(2n~,~2n+2\)
と表すと、その \(2\) 乗の差は、
\(\begin{eqnarray}~~~(2n+2)^2-(2n)^2&=&(4n^2+8n+4)-4n^2\\[3pt]~~~&=&8n+4\\[3pt]~~~&=&4(2n+1)\end{eqnarray}\)
ここで、\(2n+1\) は整数より、
\(4(2n+1)\) は \(4\) の倍数となる
次に、\(2n+1\) は奇数であり、\(2\) の倍数ではないので、
\(4(2n+1)\) は \(4\) では割り切れるが、\(8\) では割り切れない
したがって、連続する \(2\) つの偶数の \(2\) 乗の差は、\(4\) の倍数であるが、\(8\) の倍数ではない [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.157 問題 6[証明] この整数 \(n\) を \(5\) で割った余りで分類すると、
\(k\) を整数として、
\(n=5k~,~5k+1~,~5k+2~,~5k+3~,~5k+4\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=5k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2\\[3pt]~~~&=&5(5k^2)\end{eqnarray}\)
\(5k^2\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(0\) になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=5k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k+1)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2+10k+1\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+2k)+1\end{eqnarray}\)
\(5k^2+2k\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(1\) になる
\({\small [\,3\,]}\) \(n=5k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k+2)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2+20k+4\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+4k)+4\end{eqnarray}\)
\(5k^2+4k\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(4\) になる
\({\small [\,4\,]}\) \(n=5k+3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k+3)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2+30k+9\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+6k+1)+4\end{eqnarray}\)
\(5k^2+6k+1\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(4\) になる
\({\small [\,5\,]}\) \(n=5k+4\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k+4)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2+40k+16\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+8k+3)+1\end{eqnarray}\)
\(5k^2+8k+3\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(1\) になる
したがって、\(n^2\) を \(5\) で割った余りは \(0\) か \(1\) か \(4\) になる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(k\) を整数として、
\(n=5k~,~5k+1~,~5k+2~,~5k+3~,~5k+4\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=5k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2\\[3pt]~~~&=&5(5k^2)\end{eqnarray}\)
\(5k^2\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(0\) になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=5k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k+1)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2+10k+1\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+2k)+1\end{eqnarray}\)
\(5k^2+2k\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(1\) になる
\({\small [\,3\,]}\) \(n=5k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k+2)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2+20k+4\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+4k)+4\end{eqnarray}\)
\(5k^2+4k\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(4\) になる
\({\small [\,4\,]}\) \(n=5k+3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k+3)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2+30k+9\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+6k+1)+4\end{eqnarray}\)
\(5k^2+6k+1\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(4\) になる
\({\small [\,5\,]}\) \(n=5k+4\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k+4)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2+40k+16\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+8k+3)+1\end{eqnarray}\)
\(5k^2+8k+3\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(1\) になる
したがって、\(n^2\) を \(5\) で割った余りは \(0\) か \(1\) か \(4\) になる [終]
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p.157 問題 9\({\small (1)}~x=2k+1~,~y=5k+2\)
\({\small (2)}~x=25k-18~,~y=-36k+26\)
ただし、\(k\) は整数
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~x=25k-18~,~y=-36k+26\)
ただし、\(k\) は整数
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.158 問題 13\({\small (1)}~\)
(ア) \((3~,~5~,~7)~,~(5~,~7~,~9)~,~\)
\((7~,~9~,~11)~,~(11~,~13~,~15)\)
(イ) \(3\)
\({\small (2)}~\)[証明] この素数 \(p\) を \(3\) で割った余りで分類すると、
\(k\) を整数として、
\(p=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small [\,1\,]}\) \(p=3k\) のとき、
\(p\) は \(3\) の倍数であり、素数となるのは \(p=3\) のときのみ
このとき、\(p~,~p+2~,~p+4\) は \(3~,~5~,~7\) となり、すべて素数になる
\({\small [\,2\,]}\) \(p=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~p+2&=&(3k+1)+2\\[3pt]~~~&=&3k+3\\[3pt]~~~&=&3(k+1)\end{eqnarray}\)
\(p+2\) は \(3\) の倍数であり、\(p+2\gt 3\) より素数ではない
よって、\(p~,~p+2~,~p+4\) はすべて素数にはならない
\({\small [\,3\,]}\) \(p=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~p+4&=&(3k+2)+4\\[3pt]~~~&=&3k+6\\[3pt]~~~&=&3(k+2)\end{eqnarray}\)
\(p+4\) は \(3\) の倍数であり、\(p+4\gt 3\) より素数ではない
よって、\(p~,~p+2~,~p+4\) はすべて素数にはならない
したがって、\(p~,~p+2~,~p+4\) がすべて素数となるのは \(p=3\) のときのみである [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
(ア) \((3~,~5~,~7)~,~(5~,~7~,~9)~,~\)
\((7~,~9~,~11)~,~(11~,~13~,~15)\)
(イ) \(3\)
\({\small (2)}~\)[証明] この素数 \(p\) を \(3\) で割った余りで分類すると、
\(k\) を整数として、
\(p=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small [\,1\,]}\) \(p=3k\) のとき、
\(p\) は \(3\) の倍数であり、素数となるのは \(p=3\) のときのみ
このとき、\(p~,~p+2~,~p+4\) は \(3~,~5~,~7\) となり、すべて素数になる
\({\small [\,2\,]}\) \(p=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~p+2&=&(3k+1)+2\\[3pt]~~~&=&3k+3\\[3pt]~~~&=&3(k+1)\end{eqnarray}\)
\(p+2\) は \(3\) の倍数であり、\(p+2\gt 3\) より素数ではない
よって、\(p~,~p+2~,~p+4\) はすべて素数にはならない
\({\small [\,3\,]}\) \(p=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~p+4&=&(3k+2)+4\\[3pt]~~~&=&3k+6\\[3pt]~~~&=&3(k+2)\end{eqnarray}\)
\(p+4\) は \(3\) の倍数であり、\(p+4\gt 3\) より素数ではない
よって、\(p~,~p+2~,~p+4\) はすべて素数にはならない
したがって、\(p~,~p+2~,~p+4\) がすべて素数となるのは \(p=3\) のときのみである [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.158 問題 14\({\small (1)}~\)正で最小のものは \(8\) 、
負で最大のものは \(-7\)
\({\small (2)}~\)正で最小のものは \(53\) 、
負で最大のものは \(-52\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
負で最大のものは \(-7\)
\({\small (2)}~\)正で最小のものは \(53\) 、
負で最大のものは \(-52\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
章末問題 図形と計量
p.177 章末問題A 1\(N=1000a+100b+10c+d\) を、\(11\) の倍数がつくれるように変形すると、
ここで、\(11(91a+9b+c)\) は \(11\) の倍数なので、
したがって、\(N\) が \(11\) の倍数となるのは、\(-a+b-c+d\) が \(11\) の倍数のときである
解法のPoint｜11の倍数の判別
\(\begin{eqnarray}~~~N&=&1000a+100b+10c+d\\[3pt]~~~&=&(1001-1)a+(99+1)b+(11-1)c+d\\[3pt]~~~&=&1001a-a+99b+b+11c-c+d\\[3pt]~~~&=&(1001a+99b+11c)+(-a+b-c+d)\\[3pt]~~~&=&11(91a+9b+c)+(-a+b-c+d)\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ここで、\(11(91a+9b+c)\) は \(11\) の倍数なので、
したがって、\(N\) が \(11\) の倍数となるのは、\(-a+b-c+d\) が \(11\) の倍数のときである
解法のPoint｜11の倍数の判別
p.177 章末問題A 5[証明] この整数 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類すると、
\(k\) を整数として、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=3k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n(n^2+2)&=&3k\{(3k)^2+2\}\\[3pt]~~~&=&3k(9k^2+2)\end{eqnarray}\)
\(k(9k^2+2)\) は整数より、
\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n(n^2+2)&=&(3k+1)\{(3k+1)^2+2\}\\[3pt]~~~&=&(3k+1)(9k^2+6k+3)\\[3pt]~~~&=&3(3k+1)(3k^2+2k+1)\end{eqnarray}\)
\((3k+1)(3k^2+2k+1)\) は整数より、
\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数になる
\({\small [\,3\,]}\) \(n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n(n^2+2)&=&(3k+2)\{(3k+2)^2+2\}\\[3pt]~~~&=&(3k+2)(9k^2+12k+6)\\[3pt]~~~&=&3(3k+2)(3k^2+4k+2)\end{eqnarray}\)
\((3k+2)(3k^2+4k+2)\) は整数より、
\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数になる
したがって、\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数となる [終]
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\(k\) を整数として、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=3k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n(n^2+2)&=&3k\{(3k)^2+2\}\\[3pt]~~~&=&3k(9k^2+2)\end{eqnarray}\)
\(k(9k^2+2)\) は整数より、
\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n(n^2+2)&=&(3k+1)\{(3k+1)^2+2\}\\[3pt]~~~&=&(3k+1)(9k^2+6k+3)\\[3pt]~~~&=&3(3k+1)(3k^2+2k+1)\end{eqnarray}\)
\((3k+1)(3k^2+2k+1)\) は整数より、
\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数になる
\({\small [\,3\,]}\) \(n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n(n^2+2)&=&(3k+2)\{(3k+2)^2+2\}\\[3pt]~~~&=&(3k+2)(9k^2+12k+6)\\[3pt]~~~&=&3(3k+2)(3k^2+4k+2)\end{eqnarray}\)
\((3k+2)(3k^2+4k+2)\) は整数より、
\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数になる
したがって、\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数となる [終]
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p.177 章末問題A 7\({\small (1)}~x=14k+3~,~y=33k+7\)
\({\small (2)}~x=11k-8~,~y=-30k+22\)
ただし、\(k\) は整数
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\({\small (2)}~x=11k-8~,~y=-30k+22\)
ただし、\(k\) は整数
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p.177 章末問題A 9\({\small (1)}~1220_{(5)}\)
解法のPoint｜10進法の数をn進法で表す
\({\small (2)}~0.375\)
解法のPoint｜10進法の小数をn進法で表す
\({\small (3)}~0.0111_{(2)}\)
解法のPoint｜n進法の小数を10進法で表す
解法のPoint｜10進法の数をn進法で表す
\({\small (2)}~0.375\)
解法のPoint｜10進法の小数をn進法で表す
\({\small (3)}~0.0111_{(2)}\)
解法のPoint｜n進法の小数を10進法で表す
p.178 章末問題B 11\({\small (1)}~(x~,~y)=(4~,~-7)~,~(2~,~3)~,~\)
\((8~,~-3)~,~(-2~,~-1)\)
\({\small (2)}~(x~,~y)=(3~,~6)~,~(4~,~4)~,~(6~,~3)\)
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\((8~,~-3)~,~(-2~,~-1)\)
\({\small (2)}~(x~,~y)=(3~,~6)~,~(4~,~4)~,~(6~,~3)\)
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p.178 章末問題B 13\({\small (1)}~\)
[証明] \(k\) は \(a\) と \(a-b\) の公約数であるので、
自然数 \(m~,~n\) を用いて、\(a\) と \(a-b\) は次のように表される
\(\begin{eqnarray}~~~a=km~~~,~~~a-b=kn\end{eqnarray}\)
この \(2\) つの式から \(a\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a-b&=&kn
\\[3pt]~~~km-b&=&kn\end{eqnarray}\)
これを \(b\) について整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~b&=&km-kn
\\[3pt]~~~&=&k(m-n)\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt b\) より \(a \gt a-b\) であるから \(m \gt n\) となり、\(m-n\) は自然数である
よって、\(b\) は \(k\) に自然数 \(m-n\) をかけた形で表されるので、
したがって、\(k\) は \(b\) の約数である [終]
[証明] \(k\) を \(a\) と \(a-b\) の公約数とすると、
\(k\) は \(a\) の約数であり、\({\small (1)}\) より、\(b\) の約数でもある
すなわち、\(k\) は \(a\) と \(b\) の公約数である
ここで、\(a\) と \(b\) は互いに素であるから、その公約数は \(1\) のみである
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~k=1\end{eqnarray}\)
したがって、\(a\) と \(a-b\) の正の公約数は \(1\) のみである
よって、\(a\) と \(a-b\) は互いに素である [終]
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[証明] \(k\) は \(a\) と \(a-b\) の公約数であるので、
自然数 \(m~,~n\) を用いて、\(a\) と \(a-b\) は次のように表される
\(\begin{eqnarray}~~~a=km~~~,~~~a-b=kn\end{eqnarray}\)
この \(2\) つの式から \(a\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a-b&=&kn
\\[3pt]~~~km-b&=&kn\end{eqnarray}\)
これを \(b\) について整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~b&=&km-kn
\\[3pt]~~~&=&k(m-n)\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt b\) より \(a \gt a-b\) であるから \(m \gt n\) となり、\(m-n\) は自然数である
よって、\(b\) は \(k\) に自然数 \(m-n\) をかけた形で表されるので、
したがって、\(k\) は \(b\) の約数である [終]
\({\small (2)}~\)
[証明] \(k\) を \(a\) と \(a-b\) の公約数とすると、
\(k\) は \(a\) の約数であり、\({\small (1)}\) より、\(b\) の約数でもある
すなわち、\(k\) は \(a\) と \(b\) の公約数である
ここで、\(a\) と \(b\) は互いに素であるから、その公約数は \(1\) のみである
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~k=1\end{eqnarray}\)
したがって、\(a\) と \(a-b\) の正の公約数は \(1\) のみである
よって、\(a\) と \(a-b\) は互いに素である [終]
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p.178 章末問題B 14\({\small (1)}~\)[証明] この整数 \(n\) を \(5\) で割った余りで分類すると、
\(k\) を整数として、
\(n=5k~,~5k+1~,~5k+2~,~5k+3~,~5k+4\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=5k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+n+1&=&(5k)^2+5k+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+5k+1\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+k)+1\end{eqnarray}\)
\(5k^2+k\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(1\) になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=5k+1\) のとき、
\(5k^2+3k\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(3\) になる
\({\small [\,3\,]}\) \(n=5k+2\) のとき、
\(5k^2+5k+1\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(2\) になる
\({\small [\,4\,]}\) \(n=5k+3\) のとき、
\(5k^2+7k+2\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(3\) になる
\({\small [\,5\,]}\) \(n=5k+4\) のとき、
\(5k^2+9k+4\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(1\) になる
いずれの場合も、\(5\) で割った余りは \(0\) にならない
したがって、\(n^2+n+1\) は \(5\) で割り切れない [終]
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\({\small (2)}~\)[証明] \(n(n+1)(2n+1)\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(n~,~n+1\) は連続する \(2\) つの整数より、
\(n\) と \(n+1\) のいずれかは \(2\) の倍数であるので、\(n(n+1)\) は \(2\) の倍数になる
\({\small [\,2\,]}\) 整数 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類すると、\(k\) を整数として、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small (1)}~n=3k\) のとき、
\(n\) が \(3\) の倍数となる
\({\small (2)}~n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~2n+1&=&2(3k+1)+1\\[3pt]~~~&=&6k+3\\[3pt]~~~&=&3(2k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(2n+1\) が \(3\) の倍数となる
\({\small (3)}~n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n+1&=&(3k+2)+1\\[3pt]~~~&=&3k+3\\[3pt]~~~&=&3(k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(n+1\) が \(3\) の倍数となる
これより、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(3\) の倍数となる
\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数になる
したがって、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(6\) の倍数となる [終]
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\(k\) を整数として、
\(n=5k~,~5k+1~,~5k+2~,~5k+3~,~5k+4\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=5k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+n+1&=&(5k)^2+5k+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+5k+1\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+k)+1\end{eqnarray}\)
\(5k^2+k\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(1\) になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=5k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+n+1&=&(5k+1)^2+(5k+1)+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+10k+1+5k+1+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+15k+3\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+3k)+3\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(5k^2+3k\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(3\) になる
\({\small [\,3\,]}\) \(n=5k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+n+1&=&(5k+2)^2+(5k+2)+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+20k+4+5k+2+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+25k+7\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+5k+1)+2\end{eqnarray}\)
\(5k^2+5k+1\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(2\) になる
\({\small [\,4\,]}\) \(n=5k+3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+n+1&=&(5k+3)^2+(5k+3)+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+30k+9+5k+3+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+35k+13\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+7k+2)+3\end{eqnarray}\)
\(5k^2+7k+2\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(3\) になる
\({\small [\,5\,]}\) \(n=5k+4\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+n+1&=&(5k+4)^2+(5k+4)+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+40k+16+5k+4+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+45k+21\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+9k+4)+1\end{eqnarray}\)
\(5k^2+9k+4\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(1\) になる
いずれの場合も、\(5\) で割った余りは \(0\) にならない
したがって、\(n^2+n+1\) は \(5\) で割り切れない [終]
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\({\small (2)}~\)[証明] \(n(n+1)(2n+1)\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(n~,~n+1\) は連続する \(2\) つの整数より、
\(n\) と \(n+1\) のいずれかは \(2\) の倍数であるので、\(n(n+1)\) は \(2\) の倍数になる
\({\small [\,2\,]}\) 整数 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類すると、\(k\) を整数として、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small (1)}~n=3k\) のとき、
\(n\) が \(3\) の倍数となる
\({\small (2)}~n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~2n+1&=&2(3k+1)+1\\[3pt]~~~&=&6k+3\\[3pt]~~~&=&3(2k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(2n+1\) が \(3\) の倍数となる
\({\small (3)}~n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n+1&=&(3k+2)+1\\[3pt]~~~&=&3k+3\\[3pt]~~~&=&3(k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(n+1\) が \(3\) の倍数となる
これより、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(3\) の倍数となる
\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数になる
したがって、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(6\) の倍数となる [終]
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