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第１章 場合の数と確率
第１章 場合の数と確率
一部の問題の解説はリンク先にありますので、確認してください。
また、解答は独自で解いたものですので、間違えやタイプミス等がありましたらご連絡ください。
第２章以降は現在準備中です。
第１章 場合の数と確率
準備 集合
p.7 練習1\({\small (1)}~\in\) \({\small (2)}~\in\) \({\small (3)}~\notin\)
p.8 練習2\({\small (1)}~{\rm A}=\{1~,~2~,~4~,~5~,~10~,~20\}\)
\({\small (2)}~{\rm B}=\{1~,~3~,~5~,~7~,~9\}\)
\({\small (3)}~{\rm C}=\{1~,~4~,~7~,~10~,~\cdots\}\)
\({\small (2)}~{\rm B}=\{1~,~3~,~5~,~7~,~9\}\)
\({\small (3)}~{\rm C}=\{1~,~4~,~7~,~10~,~\cdots\}\)
p.8 深める\(~~~{\rm C}=\{x~|~x\) は \(15\) 以下の正の奇数 \(\}\)
または、
\(~~~{\rm C}=\{2n-1~|~n\) は \(8\) 以下の正の自然数 \(\}\)
または、
\(~~~{\rm C}=\{2n-1~|~n\) は \(8\) 以下の正の自然数 \(\}\)
p.9 練習3\({\small (1)}~\rm A\subset B\) \({\small (2)}~\rm C=D\) \({\small (3)}~\rm P\supset Q\)
p.9 練習4\({\small (1)}~\phi,\{1\},\{2\},\{1,2\}\)
\({\small (2)}~\phi,\{a\},\{b\},\{c\}\)
\(~~~~~~~~\{a,b\},\{b,c\},\{a,c\},\{a,b,c\}\)
\({\small (2)}~\phi,\{a\},\{b\},\{c\}\)
\(~~~~~~~~\{a,b\},\{b,c\},\{a,c\},\{a,b,c\}\)
p.10 練習5\({\small (1)}~\{2,4,6\}\)
\({\small (2)}~\{1,2,3,4,6,8\}\)
\({\small (3)}~\phi\)
\({\small (4)}~\{1,2,3,4,6,8\}\)
\({\small (2)}~\{1,2,3,4,6,8\}\)
\({\small (3)}~\phi\)
\({\small (4)}~\{1,2,3,4,6,8\}\)
p.11 練習6\({\small (1)}~\{1,2,4,5\}\)
\({\small (2)}~\{1,2,4,5,6\}\)
\({\small (3)}~\{4,5\}\)
\({\small (4)}~\{1,2,4,5,6\}\)
\({\small (5)}~\{6\}\)
\({\small (6)}~\{1,2\}\)
\({\small (2)}~\{1,2,4,5,6\}\)
\({\small (3)}~\{4,5\}\)
\({\small (4)}~\{1,2,4,5,6\}\)
\({\small (5)}~\{6\}\)
\({\small (6)}~\{1,2\}\)
p.12 練習7全体集合 \(\rm U\) とその部分集合 \({\rm A}~,~{\rm B}\) において、
\( \overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}} \) をベン図で表すと、
この２つの和集合となるので、
これは集合 \( {\rm A}\cap {\rm B} \) の補集合となるので、
\(~~~\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}\)
\( \overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}} \) をベン図で表すと、
この２つの和集合となるので、
これは集合 \( {\rm A}\cap {\rm B} \) の補集合となるので、
\(~~~\overline {{\rm A} \cap {\rm B}}=\overline {{\rm A}} \cup \overline {{\rm B}}\)
p.12 研究 練習1\(~~~{\rm A}\cap{\rm B}\cap{\rm C}=\{2,6\}\)
\(~~~{\rm A}\cup{\rm B}\cup{\rm C}=\{1,2,3,4,5,6,8,10,12\}\)
\(~~~{\rm A}\cup{\rm B}\cup{\rm C}=\{1,2,3,4,5,6,8,10,12\}\)
第１節 場合の数
p.14 練習1\({\small (1)}~6\) \({\small (2)}~3\) \({\small (3)}~2\) \({\small (4)}~1\)
解法のPoint｜要素の個数の数え方
解法のPoint｜要素の個数の数え方
p.16 練習3\({\small (1)}~16\) \({\small (2)}~84\) \({\small (3)}~8\) \({\small (4)}~33\)
解法のPoint｜ド・モルガンの法則と要素の個数
解法のPoint｜ド・モルガンの法則と要素の個数
p.24 練習13\({\small (1)}~20\) \({\small (2)}~1680\) \({\small (3)}~3\) \({\small (4)}~720\)
解法のPoint｜順列と総数Pの計算
解法のPoint｜順列と総数Pの計算
p.33 練習23\({\small (1)}~35\) \({\small (2)}~6\) \({\small (3)}~8\) \({\small (4)}~1\)
解法のPoint｜組合せとCの公式
解法のPoint｜組合せとCの公式
p.35 深める子ども１人、大人４人のとき、
\(~~~{}_{ 4 } {\rm C}_{ 1 }{\, \small \times \,}{}_{ 6 } {\rm C}_{ 4 }=60\)
子ども２人、大人３人のとき、
\(~~~{}_{ 4 } {\rm C}_{ 2 }{\, \small \times \,}{}_{ 6 } {\rm C}_{ 3 }=120\)
子ども３人、大人２人のとき、
\(~~~{}_{ 4 } {\rm C}_{ 3 }{\, \small \times \,}{}_{ 6 } {\rm C}_{ 2 }=60\)
子ども４人、大人１人のとき、
\(~~~{}_{ 4 } {\rm C}_{ 4 }{\, \small \times \,}{}_{ 6 } {\rm C}_{ 1 }=6\)
よって、\(~~~60+120+60+6=246\)
したがって、\(246\) 通りのなる
\(~~~{}_{ 4 } {\rm C}_{ 1 }{\, \small \times \,}{}_{ 6 } {\rm C}_{ 4 }=60\)
子ども２人、大人３人のとき、
\(~~~{}_{ 4 } {\rm C}_{ 2 }{\, \small \times \,}{}_{ 6 } {\rm C}_{ 3 }=120\)
子ども３人、大人２人のとき、
\(~~~{}_{ 4 } {\rm C}_{ 3 }{\, \small \times \,}{}_{ 6 } {\rm C}_{ 2 }=60\)
子ども４人、大人１人のとき、
\(~~~{}_{ 4 } {\rm C}_{ 4 }{\, \small \times \,}{}_{ 6 } {\rm C}_{ 1 }=6\)
よって、\(~~~60+120+60+6=246\)
したがって、\(246\) 通りのなる
問題
p.42 問題 6[証明] 左辺 \({}_n{\rm C}_r\) は、異なる \(n\) 個のものから \(r\) 個選ぶ組合せの総数である
よって、この異なる \(n\) 個の中の特定の \(1\) 個を \(a\) とすると、
\(\small [\,1\,]\) 取り出す \(r\) 個の中に \(a\) を含むとき
\(a\) を取り出すことは決まっているので、\(a\) 以外の \(n-1\) 個から残りの \(r-1\) 個を選ぶ組合せの総数は、
\({}_{n-1}{\rm C}_{r-1}\) 通り
\(a\) 以外の \(n-1\) 個から、\(r\) 個を選ぶ組合せの総数は、
\({}_{n-1}{\rm C}_r\) 通り
\({}_n{\rm C}_r={}_{n-1}{\rm C}_{r-1}+{}_{n-1}{\rm C}_r\) [終]
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よって、この異なる \(n\) 個の中の特定の \(1\) 個を \(a\) とすると、
\(\small [\,1\,]\) 取り出す \(r\) 個の中に \(a\) を含むとき
\(a\) を取り出すことは決まっているので、\(a\) 以外の \(n-1\) 個から残りの \(r-1\) 個を選ぶ組合せの総数は、
\({}_{n-1}{\rm C}_{r-1}\) 通り
\(\small [\,2\,]\) 取り出す \(r\) 個の中に \(a\) が含まれていないとき
\(a\) 以外の \(n-1\) 個から、\(r\) 個を選ぶ組合せの総数は、
\({}_{n-1}{\rm C}_r\) 通り
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) は同時に起こらないので、和の法則より、
\({}_n{\rm C}_r={}_{n-1}{\rm C}_{r-1}+{}_{n-1}{\rm C}_r\) [終]
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p.42 問題 8\({\small (1)}~\)大人から \(2\) 人、子どもから \(1\) 人を選ぶ組合せ
\({\small (2)}~\)大人 \(4\) 人と子ども \(3\) 人が交互に並ぶ
\({\small (2)}~\)大人 \(4\) 人と子ども \(3\) 人が交互に並ぶ
第２節 確率
p.45 練習31 \({\rm A}=\{(\) 表 \(,\) 表 \()\}\)
\({\rm B}=\{(\) 表 \(,\) 裏 \()\}~,~\{(\) 裏 \(,\) 表 \()\}\)
解法のPoint｜硬貨を投げる確率
\({\rm B}=\{(\) 表 \(,\) 裏 \()\}~,~\{(\) 裏 \(,\) 表 \()\}\)
解法のPoint｜硬貨を投げる確率
p.46 練習32\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜さいころを投げる確率
解法のPoint｜さいころを投げる確率
p.46 練習34\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜さいころを投げる確率
解法のPoint｜さいころを投げる確率
p.46 深めるさいころの目の和の \(2\) から \(12\) は、それぞれ同様に確からしくないので誤り
p.47 練習35\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}\)
解法のPoint｜順列を用いた確率
解法のPoint｜順列を用いた確率
p.47 練習36\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,210\,}\)
解法のPoint｜くじ引き・組合せと確率
解法のPoint｜くじ引き・組合せと確率
p.48 練習37\(~~~{\rm A}\cap{\rm B}=\{7,9\}\)
\(~~~{\rm A}\cup{\rm B}=\{1,3,5,7,8,9,10\}\)
解法のPoint｜積事象と和事象の確率
\(~~~{\rm A}\cup{\rm B}=\{1,3,5,7,8,9,10\}\)
解法のPoint｜積事象と和事象の確率
p.50 練習39\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,20\,}\)
解法のPoint｜排反事象と確率の加法定理
解法のPoint｜排反事象と確率の加法定理
p.52 練習42\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,36\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\)
解法のPoint｜余事象の確率
解法のPoint｜余事象の確率
p.53 練習43\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,12\,}{\,25\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,13\,}{\,25\,}\)
解法のPoint｜排反事象でない和事象の確率
解法のPoint｜排反事象でない和事象の確率
p.55 練習44\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\)
解法のPoint｜独立試行の確率
解法のPoint｜独立試行の確率
p.55 練習45\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,8\,}\)
解法のPoint｜独立試行の確率
解法のPoint｜独立試行の確率
p.56 練習46\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,8\,}{\,15\,}\)
解法のPoint｜独立試行の確率と和事象
解法のPoint｜独立試行の確率と和事象
p.58 練習48\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1053\,}{\,3125\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,288\,}{\,3125\,}\)
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p.62 練習52\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,15\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,15\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜確率の乗法定理
解法のPoint｜確率の乗法定理
p.64 研究 練習1\(~~~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,250\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,7\,}\)
解法のPoint｜原因の確率
解法のPoint｜原因の確率
問題
p.70 問題 9\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
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p.70 問題 10\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,20\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,60\,}\)
解法のPoint｜排反事象と確率の加法定理
解法のPoint｜排反事象でない和事象の確率
解法のPoint｜排反事象と確率の加法定理
解法のPoint｜排反事象でない和事象の確率
p.70 問題 12\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,40\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,10\,}\)
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p.70 問題 13\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,64\,}{\,243\,}\) \({\small (2)}~2\)
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章末問題 場合の数と確率
p.71 章末問題A 4\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,35\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,19\,}{\,35\,}\)
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p.71 章末問題A 5\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,27\,}\)
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p.72 章末問題B 10\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,125\,}{\,216\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,61\,}{\,216\,}\)
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