【問題一覧】数学Ⅰ：数と式

このページは「高校数学Ⅰ：数と式」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こちらのページから類題を探しましょう！
また、「解答を見る」クリックすると答えのみ表示されます。問題演習としても使えるようになっています。

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【問題一覧】数学Ⅰ：数と式

【問題一覧】数学Ⅰ：数と式

単項式の次数と係数

問題単項式 $-5ax^2y$ について、次の問いに答えよ。
${\small (1)}~$係数と次数を答えよ。
${\small (2)}~$$a$ について着目したときの、係数と次数を答えよ。
${\small (3)}~$$x$ と$y$ について着目したときの、係数と次数を答えよ。

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【解答】
(1) 次数は $4$、係数は $-5$
(2) 次数は $1$、係数は$-5x^2y$
(3) 次数は $3$、係数は $-5a$

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単項式の次数と係数

単項式の次数と係数について解説していきます。単項式の次数と係数は「どの文字に着目しているか」で変化するので、そこを注意して解いていきましょう。

多項式の次数と定数項

問題次の多項式を、$a$ について降べきの順に整理し何次式になるか答えよ。また、定数項を求めよ。$${\small (1)}~5-2a^2-5a+3a^2+7a+3$$$${\small (2)}~3ab-b+4+2a^2b-2a+2b^2-4a^2$$

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【解答】
(1) 次数は $2$、定数項は $8$
(2) 次数は $2$、定数項は $2b^2-b+4$

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多項式の次数と定数項

多項式の次数についてみていきましょう。ポイントは単項式の次数と同じで「どの文字に着目しているか」です！

多項式の計算

問題${\rm A}=x^2+x+1~,~{\rm B}=3x^2-7$ のとき、次の式を計算せよ。$${\small (1)}~{\rm A}+{\rm B}$$$${\small (2)}~{\rm A}-{\rm B}$$$${\small (3)}~2{\rm A}-5{\rm B}+{\rm A}+4{\rm B}$$$${\small (4)}~(3{\rm A}+{\rm B})+2({\rm A}-2{\rm B})$$

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【解答】$${\small (1)}~4x^2+x-6$$$${\small (2)}~-2x^2+x+8$$$${\small (3)}~3x+10$$$${\small (4)}~-4x^2+5x+26$$

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多項式の計算

多項式(整式)同士のたし算やひき算を解説していきます。単純に同類項をまとめるだけですが「降べきの順」に並べることと、「アルファベット順」にすることを忘れないようにしましょう！

累乗の計算

問題次の式を計算せよ。$${\small (1)}~(-3x^2y)^3$$$${\small (2)}~4a^2b^3 \times 3ab^2$$$${\small (3)}~(3xy)^3\times (-2xy^2)^2$$

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【解答】$${\small (1)}~-27x^6y^3$$$${\small (2)}~12a^3b^5$$$${\small (3)}~108x^5y^7$$

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累乗の計算

累乗の計算について解説していきます。累乗の計算は２種類の公式を間違って覚えやすいです。それぞれの式を意味を理解し覚えるようにしましょう。

分配法則と展開

問題次の式を展開せよ。$${\small (1)}~3(2x-5y-1)$$$${\small (2)}~(x-2y)(3x^2-4xy-2y^2)$$

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【解答】$${\small (1)}~6x-15y-3$$$${\small (2)}~3x^3-10x^2y+6xy^2+4y^3$$

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分配法則と展開

今回は展開の基本となる分配法則について解説していきます。ここの単元だけでなく様々な単元で展開は用いるのでしっかりと理解しできるようになりましょう。

２次式の展開と乗法公式

問題次の式を展開せよ。$${\small (1)}~(3x-2y)^2$$$${\small (2)}~(3x+y)(3x-y)$$$${\small (3)}~(x-1)(x+3)$$$${\small (4)}~(2x+3)(x-4)$$

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【解答】$${\small (1)}~9x^2-12xy+4y^2$$$${\small (2)}~9x^2-y^2$$$${\small (3)}~x^2+2x-3$$$${\small (4)}~2x^2-5x-12$$

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２次式の展開と乗法公式

２次式の展開を解説していきます。２次式の展開では４種類の乗法公式が出できます。それぞれ使えるように練習しましょう！

３次式の展開

問題次の式を展開せよ。$${\small (1)}~(3x-1)^3$$$${\small (2)}~(x+2y)^3$$$${\small (3)}~(3x+2)(9x^2-6x+4)$$$${\small (4)}~(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$$

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【解答】$${\small (1)}~27x^3-27x^2+9x-1$$$${\small (2)}~x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3$$$${\small (3)}~27x^3+8$$$${\small (4)}~8x^3-y^3$$

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３次式の展開

今回は３次式の展開と乗法公式について解説していきます。次数が上がると式が複雑になるので、乗法公式はしっかりと覚えておきましょう。

式の展開の工夫

問題次の式を展開せよ。$${\small (1)}~(a+b-2c)(a-b-2c)$$$${\small (2)}~(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$$

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【解答】$${\small (1)}~a^2-4ac+4c^2-b^2$$$${\small (2)}~x^4+10x^3+35x^2+50x+24$$

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式の展開の工夫

今回は式の展開において、普通に計算したら非常にめんどくさくなる問題を見ていきましょう。工夫の方法は大きく分けて「共通している部分を１つにまとめる」と「展開する順序や組合せを工夫する」ですので理解しできるようになりましょう。

２次式の因数分解

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~x^2y-xy^2+3xy$$$${\small (2)}~4x^2-4x+1$$$${\small (3)}~3x^2-12$$$${\small (4)}~x^2+8x-20$$

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【解答】$${\small (1)}~xy(x-y+3)$$$${\small (2)}~(2x-1)^2$$$${\small (3)}~3(x+2)(x-2)$$$${\small (4)}~(x+10)(x-2)$$

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２次式の因数分解

今回は２次式の因数分解について解説していきます。因数分解の基本は「共通因数でくくる！」です。各種因数分解の公式を使う前に必ず共通因数を探すようにしましょう。

因数分解（たすき掛け）

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~2x^2+11x+5$$$${\small (2)}~3x^2-5x-2$$$${\small (3)}~5a^2+3ab-14b^2$$

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【解答】$${\small (1)}~(2x+1)(x+5)$$$${\small (2)}~(3x+1)(x-2)$$$${\small (3)}~(5a-7b)(a+2b)$$

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因数分解（たすき掛け）

因数分解の中でも公式を用いるだけでは解けない「たすき掛け」を用いるパターンを解説していきます。このパターンは解法を理解したら十分な量の演習で経験を積む必要がありますので、何度も繰り返し練習しましょう。

【問題演習】因数分解（たすき掛け）

このページはたすき掛けを用いる因数分解の演習ページです。「解答と解説」をクリックすると、解答とたすき掛けの表が表示されます。繰り返し練習し、できるようになりましょう。

３次式の因数分解

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~8x^3+1$$$${\small (2)}~x^3-27y^3$$$${\small (3)}~3x^3-24$$

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【解答】$${\small (1)}~(2x+1)(4x^2-2x+1)$$$${\small (2)}~(x-3y)(x^2+3xy+9y^2)$$$${\small (3)}~3(x-2)(x^2+2x+4)$$

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３次式の因数分解

３次式の因数分解についは、公式を１つ覚えておきましょう。しかし、基本はあくまで「共通因数でくくる！」です。公式を使う前に共通因数を探すようにしましょう。

因数分解の工夫

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~a(x+y)-b(x+y)$$$${\small (2)}~a(b-2)+(2-b)$$$${\small (3)}~(x-1)^2-3(x-1)+2$$$${\small (4)}~(x^2+4x)^2-2(x^2+4x)-15$$

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【解答】$${\small (1)}~(x+y)(a-b)$$$${\small (2)}~(a-1)(b-2)$$$${\small (3)}~(x-3)(x-2)$$$${\small (4)}~(x-1)(x+5)(x+1)(x+3)$$

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因数分解の工夫

式の展開の工夫で用いた「共通部分の置き換え」は複雑な因数分解の解法でも使います。一見共通部分がないときでも、マイナスでくくると共通部分が出てくる問題もありますので注意して解いていきましょう。

文字式のたすき掛け

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~x^2+(4y+1)x+(3y-1)(y+2)$$$${\small (2)}~x^2+(y-5)x-(y+2)(2y-3)$$$${\small (3)}~2x^2-(y+7)x-(3y+1)(y-3)$$

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【解答】$${\small (1)}~(x+3y-1)(x+y+2)$$$${\small (2)}~(x-y-2)(x+2y-3)$$$${\small (3)}~(2x-3y-1)(x+y-3)$$

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文字式のたすき掛け

たすき掛けの計算の中で、文字式のままたすき掛けをする問題があります。この計算ができないと、２種類以上の文字を含む式の因数分解の途中の計算でつまずくこととなりますので、しっかりと理解しできるようになりましょう。

２種類以上の文字を含む式の因数分解①（１次式）

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~xy+x-y-1$$$${\small (2)}~2x^2+2xy-x+y-1$$

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【解答】$${\small (1)}~(x-1)(y+1)$$$${\small (2)}~(2x+1)(x+y-1)$$

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２種類以上の文字を含む式の因数分解①（１次式）

２種類以上の文字を含む式の因数分解を解説していきましょう。今までは文字の種類が x だけでした。今回は x と y の２種類、またはそれ以上の種類の文字を含む式の因数分解の解法となります。

２種類以上の文字を含む式の因数分解②（２次式）

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~x^2+xy-2y^2+4x+17y-21$$$${\small (2)}~a^2b+ab^2+b^2c+bc^2$$$$\hspace{75pt}+c^2a+ca^2+2abc$$

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【解答】$${\small (1)}~(x+2y-3)(x-y+7)$$$${\small (2)}~(a+b)(b+c)(c+a)$$

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２種類以上の文字を含む式の因数分解②（２次式）

２種類以上の文字を含む式の因数分解で２次式となるパターンの解説をしていきます。解法の基本は前回と同じになります。

複２次式の因数分解

問題次の式を因数分解せよ。$${\small (1)}~x^4-x^2-12$$$${\small (2)}~x^4+3x^2+4$$

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【解答】$${\small (1)}~(x^2+3)(x+2)(x-2)$$$${\small (2)}~(x^2+x+2)(x^2-x+2)$$

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複２次式の因数分解

今回は複２次式について解説していきます。。置き換えて因数分解するパターンと、「２乗－２乗」に無理矢理式変形するパターンを覚えておきましょう。

循環小数と分数

問題次の問いに答えよ。
${\small (1)}~$次の分数を循環小数の表し方で表せ。$$~~~{\large ①}~\frac{1}{6}~~~~~~~~~{\large ②}~\frac{11}{37}$$${\small (2)}~$次の循環小数を分数で表せ。$$~~~{\large ①}~0.\dot{1}2\dot{3}~~~~~~~~~{\large ②}~0.1\dot{3}$$

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【解答】$${\small (1)}~{\large ①}~0.1\dot{6}~~~{\large ②}~0.\dot{2}9\dot{7}$$$${\small (2)}~{\large ①}~\frac{41}{333}~~~{\large ②}~\frac{2}{15}$$

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循環小数と分数

無限小数の中である規則性をもって循環するものを循環小数といいます。循環小数は有理数であるので分数で表すことができます。今回はその変換方法を学んでいきましょう。

絶対値の計算

問題次の値を求めよ。$${\small (1)}~|1-3|+|5-1|$$$${\small (2)}~|\sqrt{3}-2|+|\sqrt{3}-1|$$$${\small (3)}~|2-\pi|$$

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【解答】$${\small (1)}~6$$$${\small (2)}~1$$$${\small (3)}~\pi-2$$

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絶対値の計算

絶対値の計算について解説していきます。絶対値の記号の意味と計算方法をマスターしましょう。

平方根の計算

問題次の計算をせよ。$${\small (1)}~\sqrt{12} \div \sqrt{3} \times \sqrt{2} $$$${\small (2)}~\sqrt{18}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}+\sqrt{12}$$$${\small (3)}~\sqrt{10}(\sqrt{2}+\sqrt{5})$$$${\small (4)}~(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$$

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【解答】$${\small (1)}~2\sqrt{2}$$$${\small (2)}~\sqrt{2}+3\sqrt{3}$$$${\small (3)}~2\sqrt{5}+5\sqrt{2}$$$${\small (4)}~2$$

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平方根の計算

平方根の基本的な計算について解説していきます。計算方法と答えの書き方に注意して問題を解いていきましょう。

分母の有理化

問題次の式の分母を有理化せよ。$${\small (1)}~\frac{\sqrt{6}-4}{\sqrt{2}}$$$${\small (2)}~\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{3}}$$$${\small (3)}~\frac{1}{\sqrt{3}-1}-\frac{1}{\sqrt{3}+1}$$

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【解答】$${\small (1)}~\sqrt{3}-2\sqrt{2}$$$${\small (2)}~2\sqrt{2}+\sqrt{6}$$$${\small (3)}~1$$

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分母の有理化

分母の有理化について解説していきます。中学数学では分母は単項式のみでしたが、高校数学からは多項式も出てきます。計算方法をしっかりと理解しできるようになりましょう。

対称式

問題$a={\Large \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}}~,~b={\Large \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1}} $のとき、次の式の値を求めよ。$${\small (1)}~a+b$$$${\small (2)}~ab$$$${\small (3)}~\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$$${\small (4)}~a^2+b^2$$$${\small (5)}~a^3+b^3$$

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【解答】$${\small (1)}~2\sqrt{6}$$$${\small (2)}~3$$$${\small (3)}~\frac{2\sqrt{6}}{3}$$$${\small (4)}~18$$$${\small (5)}~30\sqrt{6}$$

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