【新課程】数研出版：新編数学Ⅱ[711]

p.41 練習1\({\small (1)}~\)実部 \(-3\)、虚部 \(5\)
\({\small (2)}~\)実部 \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)、虚部 \(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\({\small (3)}~\)実部 \(1\)、虚部 \(0\)
\({\small (4)}~\)実部 \(0\)、虚部 \(-1\)

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解法のPoint｜複素数の実部・虚部

p.41 練習2\({\small (1)}~x=-4~,~y=-3\)
\({\small (2)}~x=-1~,~y=2\)

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解法のPoint｜複素数の相等

p.42 練習3\({\small (1)}~6+4i\)　　\({\small (2)}~2-2i\)
\({\small (3)}~3+2i\)　　\({\small (4)}~-2-i\)

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解法のPoint｜複素数の加法・減法

p.42 練習4\({\small (1)}~-2+11i\)　　\({\small (2)}~10+5i\)
\({\small (3)}~25\)　　\({\small (4)}~-5+12i\)

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解法のPoint｜複素数の乗法

p.42 練習5\({\small (1)}~2-3i\)　　\({\small (2)}~1+i\)

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\({\small (3)}~-\sqrt{3}i\)　　\({\small (4)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}i\)

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\({\small (5)}~-4\)

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解法のPoint｜共役な複素数

p.43 練習6\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,8\,}{\,13\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,13\,}i\)　　\({\small (2)}~-i\)

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\({\small (3)}~-1+2i\)　　\({\small (4)}~-i\)

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解法のPoint｜複素数の除法

p.44 練習7\({\small (1)}~\sqrt{5}i\)　　\({\small (2)}~3i\)　　\({\small (3)}~\pm3\sqrt{3}i\)

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解法のPoint｜負の数の平方根と虚数単位i

p.44 練習8\({\small (1)}~-2\sqrt{3}\)　　\({\small (2)}~2i\)

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\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}\)　　\({\small (4)}~-\sqrt{10}i\)

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解法のPoint｜負の数の平方根の計算

p.44 深める　　(右辺)
\(~=\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{-3}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{3}i\,}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{3}\,}i\)
　　(左辺)
\(~=\sqrt{-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}}=\sqrt{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}}i=\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,\sqrt{3}\,}i\)
よって、成り立たない

p.45 練習9\({\small (1)}~\pm i\)　　\({\small (2)}~\pm2\sqrt{2}i\)

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解法のPoint｜複素数範囲の2次方程式の解

p.46 練習10\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,-3\pm\sqrt{7}i\,}{\,2\,}\)　　\({\small (2)}~2\pm2\sqrt{2}i\)

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\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,-5\pm\sqrt{15}i\,}{\,4\,}\)　　\({\small (4)}~\sqrt{3}\pm i\)

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解法のPoint｜複素数範囲の2次方程式の解

p.47 練習11\({\small (1)}~\)異なる２つの実数解
\({\small (2)}~\)異なる２つの虚数解
\({\small (3)}~\)異なる２つの虚数解
\({\small (4)}~\)重解

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解法のPoint｜複素数範囲の2次方程式の解の判別式

p.48 練習12\({\small (1)}~\)\(m{\small ~≦~}0~,~1{\small ~≦~}m\)
\({\small (2)}~\)\(0\lt m \lt 1\)

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解法のPoint｜複素数範囲の文字係数の2次方程式

p.48 練習13\({\small (1)}~\)
　\(m\lt 4\) のとき、異なる２つの実数解
　\(m=4\) のとき、重解
　\(m\gt 4\) のとき、異なる２つの虚数解

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\({\small (2)}~\)
　\(m\lt -4~,~4\lt m\) のとき、異なる２つの実数解
　\(m=\pm4\) のとき、重解
　\(-4\lt m\lt 4\) のとき、異なる２つの虚数解

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解法のPoint｜複素数範囲の文字係数の2次方程式

p.49 練習14\({\small (1)}~\)和 \(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)、積 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)

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\({\small (2)}~\)和 \(6\)、積 \(-4\)

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解法のPoint｜2次方程式の解と係数の関係

p.50 練習15\({\small (1)}~11\)　　\({\small (2)}~-36\)　　\({\small (3)}~13\)

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解法のPoint｜解と係数の関係と対称式の値

p.50 練習16\({\small (1)}~m=4\)、解は \(-1~,~-4\)
\({\small (2)}~m=6\)、解は \(-2~,~-3\)

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p.51 練習17\({\small (1)}~\left(x-\displaystyle \frac{\,3+\sqrt{17}\,}{\,2\,}\right)\left(x-\displaystyle \frac{\,3-\sqrt{17}\,}{\,2\,}\right)\)

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\({\small (2)}~2\left(x-\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{7}\,}{\,2\,}\right)\left(x-\displaystyle \frac{\,1-\sqrt{7}\,}{\,2\,}\right)\)

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\({\small (3)}~(x+2-\sqrt{2}i)(x+2+\sqrt{2}i)\)

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解法のPoint｜複素数範囲での2次式の因数分解

p.52 練習18\({\small (1)}~x^2-x-2=0\)
\({\small (2)}~x^2-4x+1=0\)
\({\small (3)}~x^2-2x+5=0\)

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解法のPoint｜2数を解とする2次方程式

p.53 研究 練習1\(~~~0\lt m\lt 1\)

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p.54 補充問題 1\({\small (1)}~\) \(\displaystyle\frac{\,-1-\sqrt{3}\,i\,}{\,2\,}\)

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解法のPoint｜複素数の乗法

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\({\small (2)}~\) \(0\)

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解法のPoint｜複素数の除法

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\({\small (3)}~\) \(0\)

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解法のPoint｜虚数単位iを含む計算

p.54 補充問題 2　\(\displaystyle\frac{\,3+\sqrt{3}\,i\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,3-\sqrt{3}\,i\,}{\,2\,}\)

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解法のPoint｜和と積の値と2数

p.54 補充問題 3　\(x^2+4x+7=0\)

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p.55 練習19\({\small (1)}~-3\)　　\({\small (2)}~4\)
\({\small (3)}~1\)　　\({\small (4)}~0\)

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解法のPoint｜剰余の定理と余りの値

p.56 練習20\(~~~a=-1\)

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解法のPoint｜剰余の定理と文字係数

p.56 練習21\(~~~-x+4\)

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p.57 練習22　②と③

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解法のPoint｜因数定理を用いた3次式の因数分解

p.57 練習23\({\small (1)}~(x-1)(x+2)(x-4)\)
\({\small (2)}~(x+1)(x-3)^2\)
\({\small (3)}~(x-2)(2x+1)(x+3)\)

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解法のPoint｜因数定理を用いた3次式の因数分解

p.58 研究 練習1　商 \(x^2+x+6\)、余り \(9\)

p.59 練習24\({\small (1)}~x=2~,~-1\pm\sqrt{3}i\)
\({\small (2)}~x=-1~,~\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\)

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解法のPoint｜3次方程式x³=a³の解

p.59 練習25\({\small (1)}~3~,~\displaystyle \frac{\,-3\pm3\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~-2~,~1\pm\sqrt{3}i\)

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解法のPoint｜3次方程式x³=a³の解

p.59 深める[証明] \(1\) の3乗根は、\(x^3=1\) の解より、

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\(\begin{eqnarray}\hspace{30pt}~~~x^3&=&1
\\[3pt]~~~x^3-1^3&=&0\end{eqnarray}\)

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公式 \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\{x+(-1)\}\{x^2-x\cdot(-1)+(-1)^2\}&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)(x^2+x+1)&=&0\end{eqnarray}\)

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よって、\(x-1=0\) または \(x^2+x+1=0\)

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　\(x-1=0\) より \(x=1\)

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\(x^2+x+1=0\) の解は解の公式より、

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\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}\,}{\,2\cdot 1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{1-4}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{-3}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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ここで、\(\omega=\displaystyle \frac{\,-1+\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\) とすると、\(\omega^2\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\omega^2&=&\left(\,\displaystyle \frac{\,-1+\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\,\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(-1+\sqrt{3}i)^2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-2\sqrt{3}i+3i^2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1-2\sqrt{3}i-3\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2-2\sqrt{3}i\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1-\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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また、\(\omega=\displaystyle \frac{\,-1-\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\) とすると、\(\omega^2\) は、

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\(\begin{eqnarray}~~~\omega^2&=&\left(\,\displaystyle \frac{\,-1-\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\,\right)^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(-1-\sqrt{3}i)^2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+2\sqrt{3}i+3i^2\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+2\sqrt{3}i-3\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2+2\sqrt{3}i\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-1+\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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よって、虚数解の \(1\) つを \(\omega\) とすると、\(\omega^2\) がもう \(1\) つの虚数解となる

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したがって、\(1\) の3乗根は \(1~,~\omega~,~\omega^2\) となる [終]

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解法のPoint｜1の3乗根とオメガω

p.60 練習26\({\small (1)}~x=\pm2~,~\pm\sqrt{5}i\)
\({\small (2)}~x=\pm1~,~\pm i\)

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解法のPoint｜x²=tと置き換える4次方程式

p.60 練習27\({\small (1)}~x=-3~,~-2~,~1\)
\({\small (2)}~x=-2~,~-1\)
\({\small (3)}~x=1~,~1\pm\sqrt{3}\)
\({\small (4)}~x=2~,~\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{15}i\,}{\,4\,}\)

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解法のPoint｜因数定理を用いた3次方程式の解

p.61 練習28\(~~~a=-4~,~b=6\)、他の解 \(-3~,~1-i\)

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p.62 発展 練習1\({\small (1)}~7\)　　\({\small (2)}~3\)

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p.63 補充問題 4\({\small (1)}~\)[証明] \(P(x)\) を \(ax+b\) で割ったときの商を \(Q(x)\)、余りを \(R\) とすると、
　\(P(x)=(ax+b)Q(x)+R\)
ここで、\(x=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\) を代入すると、
\(P\left(-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\right)\)
　　　\(=(-b+b)Q\left(-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\right)+R=R\)
したがって、整式 \(P(x)\) を１次式 \(ax+b\) で割った余りは、\(P\left(-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\right)\) に等しい [終]

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\({\small (2)}~\) \(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\)

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解法のPoint｜剰余の定理と余りの値

p.63 補充問題 5\({\small (1)}~\) \(P(-1)=-a+b-1~,~P(3)=3a+b+27\)
\({\small (2)}~\) \(a=-4~,~b=-8\)

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解法のPoint｜剰余の定理と文字係数

p.63 補充問題 6\({\small (1)}~\) \(a=-1~,~b=2\)　　\({\small (2)}~\) \(2\)

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p.64 章末問題A 1\({\small (1)}~\) \(-4+7i\)

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解法のPoint｜複素数の乗法

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\({\small (2)}~\) \(7+\sqrt{2}\,i\)

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解法のPoint｜負の数の平方根の計算

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\({\small (3)}~\) \(-2-2i\)

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解法のPoint｜複素数の乗法

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\({\small (4)}~\) \(\displaystyle\frac{\,7\,}{\,10\,}-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,}i\)

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解法のPoint｜複素数の除法

p.64 章末問題A 2\({\small (1)}~\) \(x=-5~,~y=-2\)
\({\small (2)}~\) \(x=3~,~y=2\)

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解法のPoint｜複素数の相等

p.64 章末問題A 3\({\small (1)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,-3\pm\sqrt{3}\,i\,}{\,2\,}\)

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\({\small (2)}~\) \(x=\pm\displaystyle\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i\)

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解法のPoint｜複素数範囲の2次方程式の解

p.64 章末問題A 4\({\small (1)}~\) \(12\)　　\({\small (2)}~\) \(-8\)　　\({\small (3)}~\) \(6\)

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解法のPoint｜解と係数の関係と対称式の値

p.64 章末問題A 5\({\small (1)}~\) \(x^2+14x-4=0\)
\({\small (2)}~\) \(x^2-51x+1=0\)

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p.64 章末問題A 6\({\small (1)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,-1\pm\sqrt{3}\,i\,}{\,4\,}\)

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解法のPoint｜3次方程式x³=a³の解

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\({\small (2)}~\) \(x=\pm\displaystyle\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}~,~\pm\sqrt{2}\,i\)

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解法のPoint｜x²=tと置き換える4次方程式

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\({\small (3)}~\) \(x=2~,~\displaystyle\frac{\,-5\pm\sqrt{23}\,i\,}{\,2\,}\)

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解法のPoint｜因数定理を用いた3次方程式の解

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\({\small (4)}~\) \(x=-2~,~-1~,~2~,~3\)

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解法のPoint｜x²=tと置き換える4次方程式

p.64 章末問題A 7\({\small (1)}~\) \(x=3\)　　\({\small (2)}~\) \(a{\small ~≦~}1\)

p.65 章末問題B 8　\(z=3+2i~,~-3-2i\)

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p.65 章末問題B 9　\(a=-3~,~b=-1\)

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p.65 章末問題B 10\({\small (1)}~\)[証明] \( x=1+\sqrt{2}\,i \) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~x&=&1+\sqrt{2}\,i
\\[3pt]~~~\hspace{40pt}x-1&=&\sqrt{2}\,i\end{eqnarray}\)

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両辺を2乗すると、

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[終]

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\({\small (2)}~\) \(-5+4\sqrt{2}\,i\)

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p.65 章末問題B 11　\(b=-1~,~-2{\small ~≦~}a\lt2\)

p.65 章末問題B 12　\(2~,~1+\sqrt{3}~{\rm cm}\)