このページは、東京書籍：Advanced数学Ⅱ[701]
２章 図形と方程式
２章 図形と方程式
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Advanced数学Ⅱ １章 方程式・式と証明
Advanced数学Ⅱ ２章 図形と方程式
Advanced数学Ⅱ ３章 三角関数
Advanced数学Ⅱ ４章 指数関数・対数関数
Advanced数学Ⅱ ５章 微分と積分
２章 図形と方程式
１節 点と直線
p.65 問2\({\small (1)}~3\sqrt{5}\) \({\small (2)}~5\sqrt{2}\)
\({\small (3)}~5\) \({\small (4)}~17\)
解法のPoint｜平面上の2点間の距離
\({\small (3)}~5\) \({\small (4)}~17\)
解法のPoint｜平面上の2点間の距離
p.65 問3\({\small (1)}~\angle{\rm B}=90^\circ\) で \({\rm AB=BC}\) の直角二等辺三角形
\({\small (2)}~\)正三角形
解法のPoint｜平面上の3点の座標と三角形の形状
\({\small (2)}~\)正三角形
解法のPoint｜平面上の3点の座標と三角形の形状
p.66 問6\({\small (1)}~{\rm M}(1)\) \({\small (2)}~{\rm P}(-2)\) \({\small (3)}~{\rm Q}(4)\)
解法のPoint｜直線上の内分点・外分点・中点・線分の長さ
解法のPoint｜直線上の内分点・外分点・中点・線分の長さ
p.69 問9\({\small (1)}~\)
\({\rm P}\left(4~,~\displaystyle \frac{\,21\,}{\,5\,}\right)~,~{\rm Q}(16~,~9)~,~{\rm M}\left(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}~,~4\right)\)
\({\small (2)}~\)
\({\rm P}\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)~,~{\rm Q}(16~,~-9)~,~{\rm M}(1~,~1)\)
解法のPoint｜平面上の内分点・外分点・中点
\({\rm P}\left(4~,~\displaystyle \frac{\,21\,}{\,5\,}\right)~,~{\rm Q}(16~,~9)~,~{\rm M}\left(\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}~,~4\right)\)
\({\small (2)}~\)
\({\rm P}\left(\displaystyle \frac{\,8\,}{\,5\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)~,~{\rm Q}(16~,~-9)~,~{\rm M}(1~,~1)\)
解法のPoint｜平面上の内分点・外分点・中点
p.72 問13\({\small (1)}~y=2x+10\) \({\small (2)}~y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x+3\)
解法のPoint｜点と傾きが条件の直線の方程式
解法のPoint｜点と傾きが条件の直線の方程式
p.73 問14\({\small (1)}~y=3x-9\) \({\small (2)}~y=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x+3\)
\({\small (3)}~x=-2\) \({\small (4)}~y=7\)
解法のPoint｜2点の座標が条件の直線の方程式
\({\small (3)}~x=-2\) \({\small (4)}~y=7\)
解法のPoint｜2点の座標が条件の直線の方程式
p.73 問15\({\small (1)}~y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,3\,}\) \({\small (2)}~a=1\)
解法のPoint｜3点が一直線上にある条件
解法のPoint｜3点が一直線上にある条件
p.77 問21\({\small (1)}~(-1~,~2)\) \({\small (2)}~\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}~,~-2\right)\)
解法のPoint｜3直線が1点で交わる条件
解法のPoint｜3直線が1点で交わる条件
p.78 問23\(~~~\left(\displaystyle \frac{\,20\,}{\,13\,}~,~\displaystyle \frac{\,29\,}{\,13\,}\right)~,~16x-7y-9=0\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
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p.80 問24\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,5\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,5\sqrt{13}\,}{\,13\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,7\sqrt{10}\,}{\,5\,}\)
解法のPoint｜点と直線との距離の公式
解法のPoint｜点と直線との距離の公式
p.80 問25[証明] この \(\triangle{\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) を \(x\) 軸にとり、点 \({\rm D}\) を原点にとる
点 \({\rm D}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(1:2\) に内分するので、\({\rm BD}:{\rm DC}=1:2\) となる
点 \({\rm C}\) の座標を \({\rm C}(2c~,~0)\) とおくと、\({\rm DC}=2c\) となるので、\({\rm BD}=c\) より点 \({\rm B}\) の座標は \({\rm B}(-c~,~0)\) となる
また、点 \({\rm A}\) の座標を \({\rm A}(a~,~b)\) とおく
ここで、2点間の距離より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2&=&\left\{a-(-c)\right\}^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&(a+c)^2+b^2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&(a-2c)^2+b^2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AD}^2&=&a^2+b^2~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}^2&=&c^2~~~\cdots{\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)&=&3(a^2+b^2+2c^2)\end{eqnarray}\)
\(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2=3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)\) [終]
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点 \({\rm D}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(1:2\) に内分するので、\({\rm BD}:{\rm DC}=1:2\) となる
点 \({\rm C}\) の座標を \({\rm C}(2c~,~0)\) とおくと、\({\rm DC}=2c\) となるので、\({\rm BD}=c\) より点 \({\rm B}\) の座標は \({\rm B}(-c~,~0)\) となる
また、点 \({\rm A}\) の座標を \({\rm A}(a~,~b)\) とおく
ここで、2点間の距離より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2&=&\left\{a-(-c)\right\}^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&(a+c)^2+b^2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&(a-2c)^2+b^2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AD}^2&=&a^2+b^2~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}^2&=&c^2~~~\cdots{\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2
\\[3pt]~~~&=&2\left\{(a+c)^2+b^2\right\}+(a-2c)^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2(a^2+2ac+c^2+b^2)+a^2-4ac+4c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+4ac+2c^2+2b^2+a^2-4ac+4c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&3a^2+3b^2+6c^2
\\[3pt]~~~&=&3(a^2+b^2+2c^2)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2\left\{(a+c)^2+b^2\right\}+(a-2c)^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2(a^2+2ac+c^2+b^2)+a^2-4ac+4c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+4ac+2c^2+2b^2+a^2-4ac+4c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&3a^2+3b^2+6c^2
\\[3pt]~~~&=&3(a^2+b^2+2c^2)\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,3\,]}~,~{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)&=&3(a^2+b^2+2c^2)\end{eqnarray}\)
したがって、
\(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2=3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)\) [終]
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p.81 問26[証明] 座標平面において、辺 \({\rm BC}\) を \(x\) 軸、辺 \({\rm BC}\) の垂直二等分線を \(y\) 軸、辺 \({\rm BC}\) の中点 \({\rm L}\) を原点 \((0~,~0)\) にとる
また、3つの頂点を \({\rm A}(a~,~b)~,~\)\({\rm B}(-c~,~0)~,~\)\({\rm C}(c~,~0)\) \(~~(\,b \neq 0~,~c \gt 0\,)\) とおくと、
辺 \({\rm BC}\) の垂直二等分線は \(y\) 軸上、すなわち直線 \(x=0\) である
辺 \({\rm AB}\) の垂直二等分線の傾きは \(\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}\) となる
\((\,∵~\)傾きの積が \(-1\,)\)
\(\displaystyle {\rm N}\left(\frac{\,a-c\,}{\,2\,}~,~\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)\)
辺 \({\rm AC}\) の垂直二等分線の傾きは \(\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}\) となる
\((\,∵~\)傾きの積が \(-1\,)\)
\(\displaystyle {\rm M}\left(\frac{\,a+c\,}{\,2\,}~,~\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)\)
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また、3つの頂点を \({\rm A}(a~,~b)~,~\)\({\rm B}(-c~,~0)~,~\)\({\rm C}(c~,~0)\) \(~~(\,b \neq 0~,~c \gt 0\,)\) とおくと、
辺 \({\rm BC}\) の垂直二等分線は \(y\) 軸上、すなわち直線 \(x=0\) である
直線 \({\rm AB}\) の傾きは \(\displaystyle\frac{\,b-0\,}{\,a-(-c)\,}=\frac{\,b\,}{\,a+c\,}\)
辺 \({\rm AB}\) の垂直二等分線の傾きは \(\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}\) となる
\((\,∵~\)傾きの積が \(-1\,)\)
また、点 \({\rm N}\) は辺 \({\rm AB}\) の中点より、
\(\displaystyle {\rm N}\left(\frac{\,a-c\,}{\,2\,}~,~\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)\)
これより、辺 \({\rm AB}\) の垂直二等分線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}&=&\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}\left(x-\frac{\,a-c\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}x+\frac{\,(a+c)(a-c)\,}{\,2b\,}+\frac{\,b\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}x+\frac{\,a^2-c^2\,}{\,2b\,}+\frac{\,b^2\,}{\,2b\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}x+\frac{\,a^2+b^2-c^2\,}{\,2b\,}~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}x+\frac{\,(a+c)(a-c)\,}{\,2b\,}+\frac{\,b\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}x+\frac{\,a^2-c^2\,}{\,2b\,}+\frac{\,b^2\,}{\,2b\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a+c\,}{\,b\,}x+\frac{\,a^2+b^2-c^2\,}{\,2b\,}~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
次に、直線 \({\rm AC}\) の傾きは \(\displaystyle\frac{\,b-0\,}{\,a-c\,}=\frac{\,b\,}{\,a-c\,}\)
辺 \({\rm AC}\) の垂直二等分線の傾きは \(\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}\) となる
\((\,∵~\)傾きの積が \(-1\,)\)
また、点 \({\rm M}\) は辺 \({\rm AC}\) の中点より、
\(\displaystyle {\rm M}\left(\frac{\,a+c\,}{\,2\,}~,~\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)\)
これより、辺 \({\rm AC}\) の垂直二等分線の方程式は、
\(\begin{eqnarray}~~~y-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}&=&\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}\left(x-\frac{\,a+c\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}x+\frac{\,(a-c)(a+c)\,}{\,2b\,}+\frac{\,b\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}x+\frac{\,a^2-c^2\,}{\,2b\,}+\frac{\,b^2\,}{\,2b\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}x+\frac{\,a^2+b^2-c^2\,}{\,2b\,}~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}x+\frac{\,(a-c)(a+c)\,}{\,2b\,}+\frac{\,b\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}x+\frac{\,a^2-c^2\,}{\,2b\,}+\frac{\,b^2\,}{\,2b\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle -\frac{\,a-c\,}{\,b\,}x+\frac{\,a^2+b^2-c^2\,}{\,2b\,}~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) はともに \(y\) 軸との交点 \(\displaystyle {\rm P}\left(0~,~\frac{\,a^2+b^2-c^2\,}{\,2b\,}\right)\) を通り、辺 \({\rm BC}\) の垂直二等分線も \(y\) 軸上の点 \({\rm P}\) を通る
したがって、3辺の垂直二等分線は1点で交わる [終]
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問題
p.82 問題 5\({\small (1)}~\)\(a_1x+b_1y+c_1=0\) の傾きは、\(b_1\neq 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_1y&=&-a_1x-c_1
\\[3pt]~~~y&=&-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}x-\displaystyle\frac{\,c_1\,}{\,b_1\,}\end{eqnarray}\)
傾き \(\displaystyle -\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~b_2y&=&-a_2x-c_2
\\[3pt]~~~y&=&-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}x-\displaystyle\frac{\,c_2\,}{\,b_2\,}\end{eqnarray}\)
傾き \(\displaystyle -\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}\) となる
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}&=&-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}
\\[5pt]~~~a_1\,b_2&=&a_2\,b_1
\\[3pt]~~~a_1\,b_2-b_1\,a_2&=&0\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\left(-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}\right)\times\left(-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}\right)&=&-1
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,a_1\,a_2\,}{\,b_1\,b_2\,}&=&-1
\\[5pt]~~~a_1\,a_2&=&-b_1\,b_2
\\[3pt]~~~a_1\,a_2+b_1\,b_2&=&0\end{eqnarray}\)
2直線が平行のとき、\(a_1\,b_2-b_1\,a_2=0\)
2直線が垂直のとき、\(a_1\,a_2+b_1\,b_2=0\)
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\({\small (2)}~\) \(a_1 b_2 – a_2 b_1 \neq 0\)
解法のPoint｜連立方程式の解と2直線の関係
\(\begin{eqnarray}~~~b_1y&=&-a_1x-c_1
\\[3pt]~~~y&=&-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}x-\displaystyle\frac{\,c_1\,}{\,b_1\,}\end{eqnarray}\)
傾き \(\displaystyle -\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}\) となる
\(a_2x+b_2y+c_2=0\) の傾きは、\(b_2\neq 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~b_2y&=&-a_2x-c_2
\\[3pt]~~~y&=&-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}x-\displaystyle\frac{\,c_2\,}{\,b_2\,}\end{eqnarray}\)
傾き \(\displaystyle -\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}\) となる
2直線が平行のとき傾きが等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}&=&-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}
\\[5pt]~~~a_1\,b_2&=&a_2\,b_1
\\[3pt]~~~a_1\,b_2-b_1\,a_2&=&0\end{eqnarray}\)
2直線が垂直のとき、傾きの積が \(-1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(-\displaystyle\frac{\,a_1\,}{\,b_1\,}\right)\times\left(-\displaystyle\frac{\,a_2\,}{\,b_2\,}\right)&=&-1
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,a_1\,a_2\,}{\,b_1\,b_2\,}&=&-1
\\[5pt]~~~a_1\,a_2&=&-b_1\,b_2
\\[3pt]~~~a_1\,a_2+b_1\,b_2&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、
2直線が平行のとき、\(a_1\,b_2-b_1\,a_2=0\)
2直線が垂直のとき、\(a_1\,a_2+b_1\,b_2=0\)
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\({\small (2)}~\) \(a_1 b_2 – a_2 b_1 \neq 0\)
解法のPoint｜連立方程式の解と2直線の関係
２節 円
p.84 問4\({\small (1)}~\)中心 \((3~,~-2)\)、半径 \(3\) の円
\({\small (2)}~\)中心 \(\left(0~,~-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\right)\)、半径 \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,17\,}\,}{\,2\,}\) の円
\({\small (3)}~\)点 \((-2~,~5)\)
解法のPoint｜x²+y²+lx+my+n=0の表す図形
\({\small (2)}~\)中心 \(\left(0~,~-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\right)\)、半径 \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,17\,}\,}{\,2\,}\) の円
\({\small (3)}~\)点 \((-2~,~5)\)
解法のPoint｜x²+y²+lx+my+n=0の表す図形
p.85 問6\({\small (1)}~x^2+y^2-8x+2y+4=0\)
\({\small (2)}~\)外心 \((4~,~-1)\)、半径 \(\sqrt{13}\)
解法のPoint｜3点を通る円の方程式
\({\small (2)}~\)外心 \((4~,~-1)\)、半径 \(\sqrt{13}\)
解法のPoint｜3点を通る円の方程式
p.91 問12\({\small (1)}~3x+4y=25\) \({\small (2)}~x-2\sqrt{2}y=-9\)
\({\small (3)}~y=4\) \({\small (4)}~x=-\sqrt{10}\)
解法のPoint｜円上の点における接線の方程式
\({\small (3)}~y=4\) \({\small (4)}~x=-\sqrt{10}\)
解法のPoint｜円上の点における接線の方程式
p.95 問16\(~~~x^2+y^2-x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}y-\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}=0\)
解法のPoint｜2つの円の交点を通る図形の方程式
解法のPoint｜2つの円の交点を通る図形の方程式
問題
p.95 問題 9\({\small (1)}~\) \((x+4)^2+(y-3)^2=16\)
解法のPoint｜軸に接する円の方程式
\({\small (2)}~\) \((x+4)^2+(y+5)^2=5\)
解法のPoint｜直線に接する円の方程式
\({\small (3)}~\) \((x-2)^2+y^2=4\)
\({\small (4)}~\) \((x-3)^2+(y-1)^2=26\)
解法のPoint｜直線上に中心がある円の方程式
解法のPoint｜軸に接する円の方程式
\({\small (2)}~\) \((x+4)^2+(y+5)^2=5\)
解法のPoint｜直線に接する円の方程式
\({\small (3)}~\) \((x-2)^2+y^2=4\)
\({\small (4)}~\) \((x-3)^2+(y-1)^2=26\)
解法のPoint｜直線上に中心がある円の方程式
p.95 問題 10中心 \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\)、半径 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\) の円
解法のPoint｜x²+y²+lx+my+n=0の表す図形
解法のPoint｜x²+y²+lx+my+n=0の表す図形
p.95 問題 11\({\small (1)}~\) \(x^2+y^2-2x-4y-20=0\)
\({\small (2)}~\) \(a=-1~,~5\)
解法のPoint｜3点を通る円の方程式
\({\small (2)}~\) \(a=-1~,~5\)
解法のPoint｜3点を通る円の方程式
p.95 問題 13\({\small (1)}~\) \(m=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と点と直線との距離
\({\small (2)}~\) \(x=1\)、\(-3x+4y=5\)
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解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と点と直線との距離
\({\small (2)}~\) \(x=1\)、\(-3x+4y=5\)
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p.95 問題 14\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+5\)、\(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x-5\)
解法のPoint｜直線に平行・垂直な円の接線の方程式
解法のPoint｜直線に平行・垂直な円の接線の方程式
３節 軌跡と領域
p.98 問1点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\({\rm AP}^2-{\rm BP}^2=16~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x-2)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x+2)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(x=-2\) である
■ この問題の詳しい解説はこちら！
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\({\rm AP}^2-{\rm BP}^2=16~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x-2)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x+2)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-2)^2+y^2-\left\{(x+2)^2+y^2\right\}&=&16\\[3pt]~~~x^2-4x+4+y^2-(x^2+4x+4+y^2)&=&16\\[3pt]~~~x^2-4x+4+y^2-x^2-4x-4-y^2&=&16\\[3pt]~~~-8x&=&16\\[3pt]~~~x&=&-2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(x=-2\) である
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.98 問2点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}:{\rm BP}&=&3:2\\[3pt]~~~\Leftrightarrow\,~~~~2{\rm AP}&=&3{\rm BP}\\[3pt]~\Leftrightarrow~~~4{\rm AP}^2&=&9{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x+2)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-3)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((7~,~0)\) 、半径 \(6\) の円である
■ この問題の詳しい解説はこちら！
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}:{\rm BP}&=&3:2\\[3pt]~~~\Leftrightarrow\,~~~~2{\rm AP}&=&3{\rm BP}\\[3pt]~\Leftrightarrow~~~4{\rm AP}^2&=&9{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x+2)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x-3)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4\left\{(x+2)^2+y^2\right\}&=&9\left\{(x-3)^2+y^2\right\}\\[3pt]~~~4(x^2+4x+4+y^2)&=&9(x^2-6x+9+y^2)\\[3pt]~~~4x^2+16x+16+4y^2&=&9x^2-54x+81+9y^2\\[3pt]~~~4x^2+16x+16+4y^2-9x^2+54x-81-9y^2&=&0\\[3pt]~~~-5x^2+70x-65-5y^2&=&0\\[3pt]~~~x^2-14x+13+y^2&=&0\\[3pt]~~~(x-7)^2+y^2&=&6^2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((7~,~0)\) 、半径 \(6\) の円である
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p.99 問3点 \({\rm R}\) の座標を \({\rm R}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(s~,~t)\) とおく。
点 \({\rm P}\) は円 \(x^2+y^2=4\) 上にあるので、
\(s^2+t^2=4~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm R}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AP}\) を \(1:2\) に内分する点より、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot 4+1\cdot s\,}{\,1+2\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,8+s\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3x&=&8+s
\\[3pt]~~~s&=&3x-8\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot 4+1\cdot t\,}{\,1+2\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,8+t\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3y&=&8+t
\\[3pt]~~~t&=&3y-8\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、
よって、条件を満たす点 \({\rm R}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm R}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \(\left(\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}\right)\) 、半径 \(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\) の円である
■ この問題の詳しい解説はこちら！
点 \({\rm P}\) は円 \(x^2+y^2=4\) 上にあるので、
\(s^2+t^2=4~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm R}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AP}\) を \(1:2\) に内分する点より、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot 4+1\cdot s\,}{\,1+2\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,8+s\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3x&=&8+s
\\[3pt]~~~s&=&3x-8\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot 4+1\cdot t\,}{\,1+2\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,8+t\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3y&=&8+t
\\[3pt]~~~t&=&3y-8\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(3x-8)^2+(3y-8)^2&=&4
\\[3pt]~~~\left\{3\left(x-\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}\right)\right\}^2+\left\{3\left(y-\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}\right)\right\}^2&=&4
\\[5pt]~~~9\left(x-\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}\right)^2+9\left(y-\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}\right)^2&=&4
\\[5pt]~~~\left(x-\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}\right)^2+\left(y-\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}\right)^2&=&\displaystyle\frac{\,4\,}{\,9\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~\left\{3\left(x-\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}\right)\right\}^2+\left\{3\left(y-\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}\right)\right\}^2&=&4
\\[5pt]~~~9\left(x-\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}\right)^2+9\left(y-\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}\right)^2&=&4
\\[5pt]~~~\left(x-\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}\right)^2+\left(y-\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}\right)^2&=&\displaystyle\frac{\,4\,}{\,9\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
※ \((3x-8)^2\) は展開せずに、\(\left\{3\left(x-\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}\right)\right\}^2=9\left(x-\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}\right)^2\) とした方が先の計算が楽になる。
よって、条件を満たす点 \({\rm R}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm R}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \(\left(\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,8\,}{\,3\,}\right)\) 、半径 \(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\) の円である
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p.99 問4点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(s~,~t)\) とおく。
点 \({\rm P}\) は放物線 \(y=x^2\) 上にあるので、
\(t=s^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm Q}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AP}\) の中点より、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,4+s\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2x&=&4+s
\\[3pt]~~~s&=&2x-4\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2+t\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2y&=&2+t
\\[3pt]~~~t&=&2y-2\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2y-2&=&(2x-4)^2
\\[3pt]~~~2y-2&=&\{2(x-2)\}^2
\\[3pt]~~~2y-2&=&4(x-2)^2
\\[3pt]~~~2y&=&4(x-2)^2+2
\\[3pt]~~~y&=&2(x-2)^2+1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
よって、条件を満たす点 \({\rm Q}\) は放物線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、放物線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm Q}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、放物線 \(y=2(x-2)^2+1\) である
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点 \({\rm P}\) は放物線 \(y=x^2\) 上にあるので、
\(t=s^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm Q}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AP}\) の中点より、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,4+s\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2x&=&4+s
\\[3pt]~~~s&=&2x-4\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,2+t\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2y&=&2+t
\\[3pt]~~~t&=&2y-2\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2y-2&=&(2x-4)^2
\\[3pt]~~~2y-2&=&\{2(x-2)\}^2
\\[3pt]~~~2y-2&=&4(x-2)^2
\\[3pt]~~~2y&=&4(x-2)^2+2
\\[3pt]~~~y&=&2(x-2)^2+1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ \((2x-4)^2\) は展開せずに、\(\{2(x-2)\}^2=4(x-2)^2\) とした方が先の計算が楽になる。
よって、条件を満たす点 \({\rm Q}\) は放物線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、放物線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm Q}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、放物線 \(y=2(x-2)^2+1\) である
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p.101 問5\({\small (1)}~\)境界線を含まない
解法のPoint｜直線が境界線の不等式の領域
\({\small (2)}~\)境界線を含む
\({\small (3)}~\)境界線を含まない
\({\small (4)}~\)境界線を含む
解法のPoint｜直線が境界線の不等式の領域
p.102 問6\({\small (1)}~\)境界線を含まない
解法のPoint｜円が境界線の不等式の領域
\({\small (2)}~\)境界線を含む
\({\small (3)}~\)境界線を含まない
\({\small (4)}~\)境界線を含む
解法のPoint｜円が境界線の不等式の領域
p.102 問7\({\small (1)}~x^2+y^2\gt 5\)
\({\small (2)}~(x-2)^2+(y-3)^2{\small ~≦~}13\)
解法のPoint｜不等式の領域の図の読み取り
\({\small (2)}~(x-2)^2+(y-3)^2{\small ~≦~}13\)
解法のPoint｜不等式の領域の図の読み取り
p.103 問9第１象限 \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x \gt 0 \\ y \gt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
第２象限 \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x \lt 0 \\ y \gt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
第３象限 \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x \lt 0 \\ y \lt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
第４象限 \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x \gt 0 \\ y \lt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜連立不等式の領域の図の読み取り
x \gt 0 \\ y \gt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
第２象限 \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x \lt 0 \\ y \gt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
第３象限 \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x \lt 0 \\ y \lt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
第４象限 \(\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l}
x \gt 0 \\ y \lt 0
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜連立不等式の領域の図の読み取り
p.105 問13\({\small (1)}~\) [証明] 不等式 \(x^2+y^2 {\small ~≦~} 8\) は、
中心 \((0~,~0)\)、半径 \(2\sqrt{\,2\,}\) の円の内部および周上で、この領域を \({\rm P}\) とする
不等式 \(x+y {\small ~≦~} 4\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~x+y&{\small ~≦~}&4
\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&-x+4\end{eqnarray}\)
直線 \(y=-x+4\) の下側および直線上の領域で、この領域を \({\rm Q}\) とする
また、直線 \(x+y-4=0\) と原点 \((0~,~0)\) との距離 \(d\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~d&=&\displaystyle \frac{\,|\,0+0-4\,|\,}{\,\sqrt{\,1^2+1^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}=2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
図より、\({\rm P} \subset {\rm Q}\)（ \({\rm P}\) が \({\rm Q}\) の部分集合 ）であるから、
\(x^2+y^2 {\small ~≦~} 8\) ならば \(x+y {\small ~≦~} 4\) である [終]
よって、中心 \((3~,~4)\)、半径 \(5\) の円の内部で、この領域を \({\rm P}\) とする
不等式 \(x \gt 0\) または \(y \gt 0\) の表す領域を \({\rm Q}\) とする
また、円 \({\rm P}\) の中心 \((3~,~4)\) と原点 \((0~,~0)\) との距離 \(d\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~d&=&\sqrt{\,3^2+4^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+16\,}=\sqrt{\,25\,}=5\end{eqnarray}\)
図より、\({\rm P} \subset {\rm Q}\)（ \({\rm P}\) が \({\rm Q}\) の部分集合 ）であるから、
\(x^2+y^2-6x-8y \lt 0\) ならば \(x \gt 0\) または \(y \gt 0\) である [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
中心 \((0~,~0)\)、半径 \(2\sqrt{\,2\,}\) の円の内部および周上で、この領域を \({\rm P}\) とする
不等式 \(x+y {\small ~≦~} 4\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~x+y&{\small ~≦~}&4
\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&-x+4\end{eqnarray}\)
直線 \(y=-x+4\) の下側および直線上の領域で、この領域を \({\rm Q}\) とする
また、直線 \(x+y-4=0\) と原点 \((0~,~0)\) との距離 \(d\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~d&=&\displaystyle \frac{\,|\,0+0-4\,|\,}{\,\sqrt{\,1^2+1^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,4\sqrt{\,2\,}\,}{\,2\,}=2\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
図より、\({\rm P} \subset {\rm Q}\)（ \({\rm P}\) が \({\rm Q}\) の部分集合 ）であるから、
\(x^2+y^2 {\small ~≦~} 8\) ならば \(x+y {\small ~≦~} 4\) である [終]
\({\small (2)}~\) [証明] 不等式 \(x^2+y^2-6x-8y \lt 0\) は、\(x\)、\(y\) について、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x^2-6x)+(y^2-8y)&\lt&0
\\[3pt]~~~(x^2-6x+9)-9+(y^2-8y+16)-16&\lt&0
\\[3pt]~~~(x-3)^2+(y-4)^2&\lt&25\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(x^2-6x+9)-9+(y^2-8y+16)-16&\lt&0
\\[3pt]~~~(x-3)^2+(y-4)^2&\lt&25\end{eqnarray}\)
よって、中心 \((3~,~4)\)、半径 \(5\) の円の内部で、この領域を \({\rm P}\) とする
不等式 \(x \gt 0\) または \(y \gt 0\) の表す領域を \({\rm Q}\) とする
また、円 \({\rm P}\) の中心 \((3~,~4)\) と原点 \((0~,~0)\) との距離 \(d\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~d&=&\sqrt{\,3^2+4^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,9+16\,}=\sqrt{\,25\,}=5\end{eqnarray}\)
図より、\({\rm P} \subset {\rm Q}\)（ \({\rm P}\) が \({\rm Q}\) の部分集合 ）であるから、
\(x^2+y^2-6x-8y \lt 0\) ならば \(x \gt 0\) または \(y \gt 0\) である [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
問題
p.107 問題 17\({\small (1)}~\) 点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\({\rm OP}^2={\rm AP}^2+{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm OP}^2=x^2+y^2\)
\({\rm AP}^2=(x-4)^2+(y-2)^2\)
\({\rm BP}^2=(x-5)^2+(y-1)^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((9~,~3)\) 、半径 \(2\sqrt{11}\) の円である
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\({\rm OP}^2+{\rm AP}^2=2{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm OP}^2=x^2+y^2\)
\({\rm AP}^2=(x-4)^2+(y-2)^2\)
\({\rm BP}^2=(x-5)^2+(y-1)^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(x=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\) である
■ この問題の詳しい解説はこちら！
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\({\rm OP}^2={\rm AP}^2+{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm OP}^2=x^2+y^2\)
\({\rm AP}^2=(x-4)^2+(y-2)^2\)
\({\rm BP}^2=(x-5)^2+(y-1)^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2&=&(x-4)^2+(y-2)^2+(x-5)^2+(y-1)^2\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&x^2-8x+16+y^2-4y+4+x^2-10x+25+y^2-2y+1\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&2x^2-18x+2y^2-6y+46\\[3pt]~~~x^2-18x+y^2-6y+46&=&0\\[3pt]~~~(x-9)^2+(y-3)^2&=&44~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((9~,~3)\) 、半径 \(2\sqrt{11}\) の円である
\({\small (2)}~\)点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\({\rm OP}^2+{\rm AP}^2=2{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm OP}^2=x^2+y^2\)
\({\rm AP}^2=(x-4)^2+(y-2)^2\)
\({\rm BP}^2=(x-5)^2+(y-1)^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+y^2+(x-4)^2+(y-2)^2&=&2\left\{(x-5)^2+(y-1)^2\right\}\\[3pt]~~~x^2+y^2+x^2-8x+16+y^2-4y+4&=&2(x^2-10x+25+y^2-2y+1)\\[3pt]~~~2x^2-8x+2y^2-4y+20&=&2x^2-20x+2y^2-4y+52\\[3pt]~~~-8x+20&=&-20x+52\\[3pt]~~~12x&=&32\\[3pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(x=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\) である
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.107 問題 18点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(s~,~t)\) とおく。
点 \({\rm P}\) は直線 \(2x-y-1=0\) 上にあるので、
\(2s-t-1=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm Q}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AP}\) を \(3:5\) に内分する点より、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,5\cdot (-3)+3\cdot s\,}{\,3+5\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-15+3s\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~8x&=&-15+3s
\\[3pt]~~~3s&=&8x+15
\\[3pt]~~~s&=&\displaystyle\frac{\,8x+15\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,5\cdot 1+3\cdot t\,}{\,3+5\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,5+3t\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~8y&=&5+3t
\\[3pt]~~~3t&=&8y-5
\\[3pt]~~~t&=&\displaystyle\frac{\,8y-5\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、
よって、条件を満たす点 \({\rm Q}\) は直線 \(2x-y+4=0\) 上にある
逆に、直線 \(2x-y+4=0\) 上の任意の点 \({\rm Q}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(2x-y+4=0\) である
■ この問題の詳しい解説はこちら！
点 \({\rm P}\) は直線 \(2x-y-1=0\) 上にあるので、
\(2s-t-1=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm Q}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AP}\) を \(3:5\) に内分する点より、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,5\cdot (-3)+3\cdot s\,}{\,3+5\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,-15+3s\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~8x&=&-15+3s
\\[3pt]~~~3s&=&8x+15
\\[3pt]~~~s&=&\displaystyle\frac{\,8x+15\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,5\cdot 1+3\cdot t\,}{\,3+5\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,5+3t\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~8y&=&5+3t
\\[3pt]~~~3t&=&8y-5
\\[3pt]~~~t&=&\displaystyle\frac{\,8y-5\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2\cdot\displaystyle\frac{\,8x+15\,}{\,3\,}-\displaystyle\frac{\,8y-5\,}{\,3\,}-1&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,2(8x+15)-(8y-5)\,}{\,3\,}-1&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,16x+30-8y+5\,}{\,3\,}&=&1
\\[5pt]~~~16x-8y+35&=&3
\\[3pt]~~~16x-8y+32&=&0
\\[3pt]~~~2x-y+4&=&0\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,2(8x+15)-(8y-5)\,}{\,3\,}-1&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,16x+30-8y+5\,}{\,3\,}&=&1
\\[5pt]~~~16x-8y+35&=&3
\\[3pt]~~~16x-8y+32&=&0
\\[3pt]~~~2x-y+4&=&0\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm Q}\) は直線 \(2x-y+4=0\) 上にある
逆に、直線 \(2x-y+4=0\) 上の任意の点 \({\rm Q}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(2x-y+4=0\) である
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.107 問題 19点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\angle {\rm APB}=90°\) より \({\rm AP}^2+{\rm BP}^2={\rm AB}^2\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x-1)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x+1)^2+y^2\)
\({\rm AB}^2=\{1-(-1)\}^2=2^2\)
代入すると、
ただし、\(\triangle {\rm PAB}\) をつくるので、3点 \({\rm A}\) 、\({\rm B}\) 、\({\rm P}\) は一直線上にない
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,1\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,1\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心が原点、半径 \(1\) の円である（ただし、2点 \((1~,~0)\) 、\((-1~,~0)\) を除く）
■ この問題の詳しい解説はこちら！
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\angle {\rm APB}=90°\) より \({\rm AP}^2+{\rm BP}^2={\rm AB}^2\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x-1)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=(x+1)^2+y^2\)
\({\rm AB}^2=\{1-(-1)\}^2=2^2\)
代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-1)^2+y^2+(x+1)^2+y^2&=&2^2\\[3pt]~~~x^2-2x+1+y^2+x^2+2x+1+y^2&=&4\\[3pt]~~~2x^2+2y^2+2&=&4\\[3pt]~~~2x^2+2y^2&=&2\\[3pt]~~~x^2+y^2&=&1~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
ただし、\(\triangle {\rm PAB}\) をつくるので、3点 \({\rm A}\) 、\({\rm B}\) 、\({\rm P}\) は一直線上にない
2点 \({\rm A}\) 、\({\rm B}\) は \(x\) 軸上にあるので、点 \({\rm P}\) の \(y\) 座標が \(0\) とならない。
\({\small [\,1\,]}\) で \(y=0\) とすると、\(x=1~,~-1\) となるので、2点 \((1~,~0)\) 、\((-1~,~0)\) を除く
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,1\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,1\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心が原点、半径 \(1\) の円である（ただし、2点 \((1~,~0)\) 、\((-1~,~0)\) を除く）
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p.107 問題 20\({\small (1)}~\)境界線を含む
解法のPoint｜連立不等式の表す領域
\({\small (4)}~\)境界線を含まない
解法のPoint｜積の形の不等式の表す領域
\({\small (2)}~\)境界線を含む
\({\small (3)}~\)境界線を含まない
解法のPoint｜連立不等式の表す領域
\({\small (4)}~\)境界線を含まない
解法のPoint｜積の形の不等式の表す領域
p.107 問題 21\({\small (1)}~\) [証明] 不等式 \(x^2+y^2-6x+8y+16 \lt 0\) は、\(x\)、\(y\) について、平方完成すると、
よって、中心 \((3~,~-4)\)、半径 \(3\) の円の内部で、この領域を \({\rm P}\) とする
不等式 \(x \gt 0\) かつ \(y \lt 0\) の表す領域（第4象限）を \({\rm Q}\) とする
図より、\({\rm P} \subset {\rm Q}\)（ \({\rm P}\) が \({\rm Q}\) の部分集合 ）であるから、
\(x^2+y^2-6x+8y+16 \lt 0\) ならば \(x \gt 0\) かつ \(y \lt 0\) である [終]
よって、中心 \((-1~,~2)\)、半径 \(2\sqrt{\,5\,}\) の円の外部および周上で、この領域を \({\rm P}\) とする
不等式 \(x^2+y^2 {\small ~≧~} 5\) は、
中心 \((0~,~0)\)、半径 \(\sqrt{\,5\,}\) の円の外部および周上で、この領域を \({\rm Q}\) とする
また、2つの円の中心間の距離 \(d\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~d&=&\sqrt{\,(-1)^2+2^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+4\,}=\sqrt{\,5\,}\end{eqnarray}\)
図より、\({\rm P} \subset {\rm Q}\)（ \({\rm P}\) が \({\rm Q}\) の部分集合 ）であるから、
\(x^2+y^2+2x-4y {\small ~≧~} 15\) ならば \(x^2+y^2 {\small ~≧~} 5\) である [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~(x^2-6x)+(y^2+8y)+16&\lt&0
\\[3pt]~~~(x^2-6x+9)-9+(y^2+8y+16)-16+16&\lt&0
\\[3pt]~~~(x-3)^2+(y+4)^2&\lt&9\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(x^2-6x+9)-9+(y^2+8y+16)-16+16&\lt&0
\\[3pt]~~~(x-3)^2+(y+4)^2&\lt&9\end{eqnarray}\)
よって、中心 \((3~,~-4)\)、半径 \(3\) の円の内部で、この領域を \({\rm P}\) とする
不等式 \(x \gt 0\) かつ \(y \lt 0\) の表す領域（第4象限）を \({\rm Q}\) とする
図より、\({\rm P} \subset {\rm Q}\)（ \({\rm P}\) が \({\rm Q}\) の部分集合 ）であるから、
\(x^2+y^2-6x+8y+16 \lt 0\) ならば \(x \gt 0\) かつ \(y \lt 0\) である [終]
\({\small (2)}~\) [証明] 不等式 \(x^2+y^2+2x-4y {\small ~≧~} 15\) は、\(x\)、\(y\) について、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x^2+2x)+(y^2-4y)&{\small ~≧~}&15
\\[3pt]~~~(x^2+2x+1)-1+(y^2-4y+4)-4&{\small ~≧~}&15
\\[3pt]~~~(x+1)^2+(y-2)^2&{\small ~≧~}&20\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(x^2+2x+1)-1+(y^2-4y+4)-4&{\small ~≧~}&15
\\[3pt]~~~(x+1)^2+(y-2)^2&{\small ~≧~}&20\end{eqnarray}\)
よって、中心 \((-1~,~2)\)、半径 \(2\sqrt{\,5\,}\) の円の外部および周上で、この領域を \({\rm P}\) とする
不等式 \(x^2+y^2 {\small ~≧~} 5\) は、
中心 \((0~,~0)\)、半径 \(\sqrt{\,5\,}\) の円の外部および周上で、この領域を \({\rm Q}\) とする
また、2つの円の中心間の距離 \(d\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~d&=&\sqrt{\,(-1)^2+2^2\,}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,1+4\,}=\sqrt{\,5\,}\end{eqnarray}\)
図より、\({\rm P} \subset {\rm Q}\)（ \({\rm P}\) が \({\rm Q}\) の部分集合 ）であるから、
\(x^2+y^2+2x-4y {\small ~≧~} 15\) ならば \(x^2+y^2 {\small ~≧~} 5\) である [終]
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練習問題 図形と方程式
p.110 練習問題A 3\({\small (1)}~\) \(\sqrt{\,13\,}\) \({\small (2)}~\) \(\displaystyle \frac{\,11\,}{\,2\,}\)
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p.110 練習問題A 4[証明] 長方形 \({\rm ABCD}\) の頂点 \({\rm B}\) を原点にとり、辺 \({\rm BC}\) を \(x\) 軸、辺 \({\rm BA}\) を \(y\) 軸にとる
点 \({\rm A}\) の座標を \({\rm A}(0~,~d)\)、点 \({\rm C}\) の座標を \({\rm C}(c~,~0)\) とおくと、点 \({\rm D}\) の座標は \({\rm D}(c~,~d)\) となる
また、平面上の任意の点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(a~,~b)\) とおく
ここで、2点間の距離より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PA}^2&=&a^2+(b-d)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2-2bd+d^2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PB}^2&=&a^2+b^2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PC}^2&=&(a-c)^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ac+c^2+b^2~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PD}^2&=&(a-c)^2+(b-d)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ac+c^2+b^2-2bd+d^2~~~\cdots{\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\rm PA}^2+{\rm PC}^2={\rm PB}^2+{\rm PD}^2\) [終]
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点 \({\rm A}\) の座標を \({\rm A}(0~,~d)\)、点 \({\rm C}\) の座標を \({\rm C}(c~,~0)\) とおくと、点 \({\rm D}\) の座標は \({\rm D}(c~,~d)\) となる
また、平面上の任意の点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(a~,~b)\) とおく
ここで、2点間の距離より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PA}^2&=&a^2+(b-d)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2-2bd+d^2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PB}^2&=&a^2+b^2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PC}^2&=&(a-c)^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ac+c^2+b^2~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PD}^2&=&(a-c)^2+(b-d)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ac+c^2+b^2-2bd+d^2~~~\cdots{\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{\rm PA}^2+{\rm PC}^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2-2bd+d^2+a^2-2ac+c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+2b^2-2ac-2bd+c^2+d^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2-2bd+d^2+a^2-2ac+c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+2b^2-2ac-2bd+c^2+d^2\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,2\,]}~,~{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&{\rm PB}^2+{\rm PD}^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bd+d^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+2b^2-2ac-2bd+c^2+d^2\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bd+d^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+2b^2-2ac-2bd+c^2+d^2\end{eqnarray}\)
したがって、
\({\rm PA}^2+{\rm PC}^2={\rm PB}^2+{\rm PD}^2\) [終]
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p.110 練習問題A 7点 \({\rm G}\) の座標を \({\rm G}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(s~,~t)\) とおく。
点 \({\rm P}\) は円 \(x^2+y^2=9\) 上にあるので、
\(s^2+t^2=9~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm G}\) の満たす条件は、\(\triangle {\rm ABP}\) の重心より、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,4+2+s\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,6+s\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3x&=&6+s
\\[3pt]~~~s&=&3x-6\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,-2+5+t\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,3+t\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3y&=&3+t
\\[3pt]~~~t&=&3y-3\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(3x-6)^2+(3y-3)^2&=&9
\\[3pt]~~~\{3(x-2)\}^2+\{3(y-1)\}^2&=&9
\\[3pt]~~~9(x-2)^2+9(y-1)^2&=&9
\\[3pt]~~~(x-2)^2+(y-1)^2&=&1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
よって、条件を満たす点 \({\rm G}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm G}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((2~,~1)\) 、半径 \(1\) の円である
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点 \({\rm P}\) は円 \(x^2+y^2=9\) 上にあるので、
\(s^2+t^2=9~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm G}\) の満たす条件は、\(\triangle {\rm ABP}\) の重心より、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,4+2+s\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~x&=&\displaystyle \frac{\,6+s\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3x&=&6+s
\\[3pt]~~~s&=&3x-6\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,-2+5+t\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~y&=&\displaystyle \frac{\,3+t\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3y&=&3+t
\\[3pt]~~~t&=&3y-3\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(3x-6)^2+(3y-3)^2&=&9
\\[3pt]~~~\{3(x-2)\}^2+\{3(y-1)\}^2&=&9
\\[3pt]~~~9(x-2)^2+9(y-1)^2&=&9
\\[3pt]~~~(x-2)^2+(y-1)^2&=&1~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ \((3x-6)^2\) は展開せずに、\(\{3(x-2)\}^2=9(x-2)^2\) とした方が先の計算が楽になる。
よって、条件を満たす点 \({\rm G}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm G}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((2~,~1)\) 、半径 \(1\) の円である
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p.110 練習問題A 8\({\small (1)}~\) \(\begin{eqnarray}\left\{~\begin{array}{l}y \lt x+1\\[4pt]y \gt -\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}x+1\\[6pt]y \gt 4x-8\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\) \(\begin{eqnarray}\left\{~\begin{array}{l}x^2+y^2 \gt 1\\(x-1)^2+y^2 \lt 4\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜連立不等式の領域の図の読み取り
\({\small (2)}~\) \(\begin{eqnarray}\left\{~\begin{array}{l}x^2+y^2 \gt 1\\(x-1)^2+y^2 \lt 4\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜連立不等式の領域の図の読み取り
p.111 練習問題B 10\({\small (1)}~\) \(\sqrt{\,x_1^{\,2}+y_1^{\,2}\,}\)
\({\small (2)}~\) \(\displaystyle \frac{\,|x_1 y_2 – x_2 y_1|\,}{\,\sqrt{\,x_1^{\,2}+y_1^{\,2}\,}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\triangle{\rm OAB}\) の面積は、辺 \({\rm OA}\) を底辺として、高さが \(d\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle{\rm OAB}&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}{\rm OA}{\, \small \times \,}d
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\sqrt{x_1^2+y_1^2}{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,|\,x_1y_2-x_2y_1\,|\,}{\,\sqrt{x_1^2+y_1^2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,x_1y_2-x_2y_1\,|\end{eqnarray}\)
したがって、\(\triangle{\rm OAB}\) の面積は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,x_1y_2-x_2y_1\,|\) で表される。
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\({\small (2)}~\) \(\displaystyle \frac{\,|x_1 y_2 – x_2 y_1|\,}{\,\sqrt{\,x_1^{\,2}+y_1^{\,2}\,}\,}\)
\({\small (3)}~\)\(\triangle{\rm OAB}\) の面積は、辺 \({\rm OA}\) を底辺として、高さが \(d\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle{\rm OAB}&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}{\rm OA}{\, \small \times \,}d
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\sqrt{x_1^2+y_1^2}{\, \small \times \,}\displaystyle\frac{\,|\,x_1y_2-x_2y_1\,|\,}{\,\sqrt{x_1^2+y_1^2}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,x_1y_2-x_2y_1\,|\end{eqnarray}\)
したがって、\(\triangle{\rm OAB}\) の面積は \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,x_1y_2-x_2y_1\,|\) で表される。
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p.111 練習問題B 13\({\small (1)}~\) \(-2\sqrt{\,2\,} \lt k \lt 2\sqrt{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\) \({\rm M}\left(-\displaystyle \frac{\,k\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,k\,}{\,2\,}\right)\)
\({\small (3)}~\)中点 \({\rm M}\) の座標を \({\rm M}(x~,~y)\) とおく
(2)より、点 \({\rm M}\) の満たす条件は、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&-\displaystyle\frac{\,k\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~k&=&-2x~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle\frac{\,k\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~k&=&2y~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}={\small [\,4\,]}\) より \(k\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-2x&=&2y
\\[3pt]~~~2y&=&-2x
\\[3pt]~~~y&=&-x\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}\) より \(-2\sqrt{2} \lt k \lt 2\sqrt{2}\) であり、\({\small [\,3\,]}\) より \(k=-2x\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-2\sqrt{2} \lt -2x \lt 2\sqrt{2}
\\[3pt]~~~&&-\sqrt{2} \lt x \lt \sqrt{2}~~~~~(\,∵~{\, \small \div \,} -2\,)\end{eqnarray}\)
よって、条件を満たす点 \({\rm M}\) は直線 \(y=-x\) の \(-\sqrt{2} \lt x \lt \sqrt{2}\) の部分にある
逆に、この範囲の直線上の任意の点 \({\rm M}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(y=-x\) の \(-\sqrt{2} \lt x \lt \sqrt{2}\) の部分である
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\({\small (2)}~\) \({\rm M}\left(-\displaystyle \frac{\,k\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,k\,}{\,2\,}\right)\)
\({\small (3)}~\)中点 \({\rm M}\) の座標を \({\rm M}(x~,~y)\) とおく
(2)より、点 \({\rm M}\) の満たす条件は、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&-\displaystyle\frac{\,k\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~k&=&-2x~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle\frac{\,k\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~k&=&2y~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}={\small [\,4\,]}\) より \(k\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-2x&=&2y
\\[3pt]~~~2y&=&-2x
\\[3pt]~~~y&=&-x\end{eqnarray}\)
\({\small (1)}\) より \(-2\sqrt{2} \lt k \lt 2\sqrt{2}\) であり、\({\small [\,3\,]}\) より \(k=-2x\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~&&-2\sqrt{2} \lt -2x \lt 2\sqrt{2}
\\[3pt]~~~&&-\sqrt{2} \lt x \lt \sqrt{2}~~~~~(\,∵~{\, \small \div \,} -2\,)\end{eqnarray}\)
よって、条件を満たす点 \({\rm M}\) は直線 \(y=-x\) の \(-\sqrt{2} \lt x \lt \sqrt{2}\) の部分にある
逆に、この範囲の直線上の任意の点 \({\rm M}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(y=-x\) の \(-\sqrt{2} \lt x \lt \sqrt{2}\) の部分である
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