- 数学B「数列」の基本例題一覧ページです。
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数列の基本と等差数列
01｜一般項とそれぞれの項の求め方
数列 01一般項が \(a_n=2n+3\)、\(a_n=(-1)^n\) のそれぞれの初項から第 \(5\) 項までの求め方は？
02｜数列の一般項の推測
数列 02数列 \(\{~1 ~,~ 3 ~,~ 5 ~,~ 7 ~,~ \cdots~\}\)、\(\{~2 ~,~ 4 ~,~ 8 ~,~ 16 ~,~ \cdots~\}\)、
\(\{~1 ~,~ -4 ~,~ 9 ~,~ -16 ~,~ \cdots~\}\) のそれぞれの一般項を推測する方法は？
\(\{~1 ~,~ -4 ~,~ 9 ~,~ -16 ~,~ \cdots~\}\) のそれぞれの一般項を推測する方法は？
03｜等差数列と公差
数列 03数列 \([~~~~] ~,~ 2 ~,~ 5 ~,~ [~~~~] ~,~ [~~~~]\) が等差数列のとき、公差と \([~~~~]\) に入る数の求め方は？
04｜等差数列の一般項
数列 04初項 \(2\)、公差 \(3\) の等差数列の一般項 \(a_n\) の求め方は？
また、第 \(10\) 項の求め方は？
また、第 \(10\) 項の求め方は？
05｜等差数列の項から一般項を求める
数列 05第 \(5\) 項が \(14\)、第 \(7\) 項が \(20\) の等差数列の一般項 \(a_n\) の求め方は？
また、\(29\) は第何項か？
また、\(29\) は第何項か？
06｜等差数列であることの証明
数列 06一般項 \(a_n=3n-1\) の数列が等差数列であることの証明方法は？
また、初項と公差の求め方は？
また、初項と公差の求め方は？
07｜数列a,b,cが等差数列(等差中項)
数列 073つの数 \(2 ~,~ a ~,~ 8\) がこの順に等差数列となるとき、\(a\) の値の求め方は？(等差中項)
08｜等差数列の和
数列 08初項 \(2\)、末項 \(20\)、項数 \(10\) の等差数列の和の求め方は？
また、初項 \(30\)、公差 \(-4\)、項数 \(6\) の等差数列の和の求め方は？
また、初項 \(30\)、公差 \(-4\)、項数 \(6\) の等差数列の和の求め方は？
09｜項数を調べる等差数列の和
数列 09等差数列 \(\{~2 ~,~ 5 ~,~ 8 ~,~ \cdots ~,~ 29~\}\) の和の求め方は？
10｜等差数列の和から項数を求める
数列 10初項 \(2\)、公差 \(3\) の等差数列の和が \(40\) となるのは初項から第何項までの和となるか？
11｜自然数の和と倍数の和
数列 11\(1\) 〜 \(n\) までの自然数の和の求め方は？
また、\(1\) 〜 \(100\) までの自然数のうち \(2\) の倍数の和の求め方は？さらに、\(3\) で割って \(1\) 余る数の和の求め方は？
また、\(1\) 〜 \(100\) までの自然数のうち \(2\) の倍数の和の求め方は？さらに、\(3\) で割って \(1\) 余る数の和の求め方は？
12｜2桁の条件の自然数の和
数列 12\(2\) 桁の自然数のうち \(2\) の倍数の和の求め方は？また、\(3\) で割って \(2\) 余る数の和の求め方は？
13｜等差数列の和の最大値・最小値
数列 13初項 \(30\)、公差 \(-4\) の等差数列の項が初めて負となるのは第何項かの求め方は？また、この数列の和の最大値の求め方は？
14☆｜等差数列の部分和
数列 14☆初項 \(3\)、公差 \(2\) の等差数列の第 \(20\) 項から第 \(30\) 項までの和の求め方は？
15☆｜等差数列の項と和から一般項を求める
数列 15☆第 \(5\) 項が \(11\)、初項から第 \(10\) 項までの和が \(120\) の等差数列の一般項の求め方は？
16☆｜2つの等差数列の共通項の数列
数列 16☆\(2\) つの等差数列 \(a_n=3n+2 ~,~ b_n=5n-1\) に共通して含まれる項を小さい順にならべた数列 \(\{c_n\}\) の一般項の求め方は？
等比数列
17｜等比数列と公比
数列 17数列 \(1 ~,~ -2 ~,~ [~~~~] ~,~ [~~~~] ~,~ [~~~~]\) が等比数列のとき、公比と \([~~~~]\) に入る数の求め方は？
18｜等比数列の一般項
数列 18初項 \(2\)、公比 \(2\) の等比数列の一般項 \(a_n\) の求め方は？また、第 \(10\) 項は？
19｜等比数列の項から一般項を求める
数列 19第 \(4\) 項が \(24\)、第 \(6\) 項が \(96\) である等比数列の一般項 \(a_n\) の求め方は？
20｜等比数列であることの証明
数列 20\(a_n=3^n ~,~ b_n=5^n\) のとき、\(c_n=a_n b_n\) となる数列 \(\{c_n\}\) が等比数列であることの証明方法は？
21｜数列a,b,cが等比数列(等比中項)
数列 213つの数 \(2 ~,~ a ~,~ 8\) がこの順に等比数列となるとき、\(a\) の値の求め方は？(等比中項)
22｜等比数列の和
数列 22初項 \(3\)、公比 \(2\)、項数 \(5\) の等比数列の和の求め方は？
また、初項 \(3\)、公比 \(1\)、項数 \(5\) の等比数列の和の求め方は？
また、初項 \(3\)、公比 \(1\)、項数 \(5\) の等比数列の和の求め方は？
23｜等比数列の項と和から初項と公比を求める
数列 23第 \(3\) 項が \(12\)、初項から第 \(3\) 項までの和が \(21\) の等比数列の初項と公比の求め方は？
24｜等比数列の和から初項と公比を求める
数列 24等比数列の和が \(S_3=21 ~,~ S_6=189\) のとき、この等比数列の初項と公比の求め方は？
25☆｜等比数列のa₁+a₂とa₃+a₄の値
数列 25☆公比が正の等比数列が \(a_1+a_2=9 ~,~ a_3+a_4=36\) を満たすとき、この等比数列の一般項の求め方は？
数列の和とシグマ記号
26｜自然数の2乗の和と3乗の和
数列 26自然数の \(2\) 乗の和 \(1^2+2^2+3^2+\cdots+10^2\)、
自然数の \(3\) 乗の和 \(1^3+2^3+3^3+\cdots+10^3\) の求め方は？
自然数の \(3\) 乗の和 \(1^3+2^3+3^3+\cdots+10^3\) の求め方は？
27｜シグマ記号を項の和で表す
数列 27数列の和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(2k-1)\) や \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3^k\) を項の和で表す方法は？
28｜項の和をシグマ記号で表す
数列 28数列の和 \(3+5+7+\cdots+21\) や \(1+2+2^2+\cdots+2^{n-1}\) を記号 \(\displaystyle \sum\) を用いて表す方法は？
29｜シグマ記号の書き換え
数列 29数列の和の等式 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(k+2)^2=\displaystyle \sum_{k=2}^{6}(k+1)^2=\displaystyle \sum_{k=3}^{7}k^2\) が成り立つことを証明する方法は？
30｜等比数列の和とシグマ記号
数列 30数列の和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{10}2^{k-1}\) 、 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3\cdot 2^{k-1}\) 、 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(-2)^{k}\) の求め方は？
31｜シグマ記号の公式
数列 31数列の和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{10}3\) 、 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{10}k\) 、 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{10}k^2\) 、 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{10}k^3\) の求め方は？
32｜シグマ記号の性質と公式
数列 32数列の和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2k-1)\) 、 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^2-3k+5)\) 、 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}2k\) の求め方は？
33｜シグマ記号で表し和を求める
数列 33数列 \(\{~3\cdot 1^2~,~5\cdot 2^2~,~7\cdot 3^2~,~9\cdot 4^2~,~\cdots~\}\) の初項から第 \(n\) 項までの和をシグマ記号 \(\displaystyle \sum\) で表し、和を求める方法は？
34｜一般項が数列の和となる数列の和
数列 34数列 \(\{~1 ~,~ 1+2 ~,~ 1+2+3 ~,~ \cdots~\}\) の初項から第 \(n\) 項までの数列の和の求め方は？(一般項が数列の和)
35☆｜nから下がっていく数列の和
数列 35☆数列 \(\{\,1\cdot n \,,\, 2\cdot (n-1) \,,\, 3\cdot (n-2) \,,\, \cdots \,,\, n\cdot 1 \,\}\) の第 \(k\) 項と、この数列の和の求め方は？
階差数列
36｜階差数列をもつ数列の一般項
数列 36次の数列の一般項を階差数列から求める方法は？
\({\small (1)}~\)\(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 3 ~,~ 7 ~,~ 13 ~,~ 21 ~,~ \cdots~\}\)
\({\small (2)}~\)\(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 3 ~,~ 7 ~,~ 15 ~,~ 31 ~,~ \cdots~\}\)
\({\small (1)}~\)\(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 3 ~,~ 7 ~,~ 13 ~,~ 21 ~,~ \cdots~\}\)
\({\small (2)}~\)\(\{a_n\}=\{~1 ~,~ 3 ~,~ 7 ~,~ 15 ~,~ 31 ~,~ \cdots~\}\)
37☆｜隣り合う2つの項の差が等差数列or等比数列
数列 37☆\(a_1=3 ~,~ a_2=5 ~,~ a_3=9\) を満たす数列 \(\{a_n\}\) の階差数列が等差数列 or 等比数列のとき、それぞれの一般項の求め方は？
38｜数列の和の式から一般項を求める
数列 38初項から第 \(n\) 項までの和が \(S_n=n^2+n\) のとき、一般項 \(a_n\) の求め方は？
いろいろな数列の和
39｜部分分数に分ける分数数列の和
数列 39分数数列の和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,k(k+1)\,}\) と \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,(2k-1)(2k+1)\,}\) を部分分数に分けて求める方法は？
40｜平方根を含む数列の和
数列 40平方根を含む分数数列の和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,\sqrt{k}+\sqrt{k+1}\,}\) の求め方は？
41☆｜3つの因数をもつ分数数列の和
数列 41☆分数数列の和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{\,1\,}{\,k(k+1)(k+2)\,}\) を部分分数に分けて求める方法は？
42｜等差数列×等比数列の数列の和
数列 42等差数列 × 等比数列の数列の和 \(1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots+n\cdot 2^n\) の求め方は？
群数列
43｜群数列の第n群の最初の項と第n群の和
数列 43群数列 \(2 ~|~ 4 ~,~ 6 ~|~ 8 ~,~ 10 ~,~ 12 ~|~ 14 ~,~ \cdots\) の第 \(n\) 群の最初の項の求め方は？また、第 \(n\) 群のすべての項の和は？
44☆｜分数タイプの群数列
数列 44☆数列 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1\,} ~,~ \frac{\,1\,}{\,2\,} ~,~ \frac{\,2\,}{\,2\,} ~,~ \frac{\,1\,}{\,3\,} ~,~ \frac{\,2\,}{\,3\,} ~,~ \frac{\,3\,}{\,3\,} ~,~ \frac{\,1\,}{\,4\,} ~,~ \cdots \) において、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,20\,}\) は初めから数えて何項目か？また、第 \(200\) 項目の分数は？
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,20\,}\) は初めから数えて何項目か？また、第 \(200\) 項目の分数は？
45☆｜自然数がn個続く群数列
数列 45☆自然数が \(n\) 個続く数列 \(\{~1 ~,~ 2 ~,~ 2 ~,~ 3 ~,~ 3 ~,~ 3 ~,~ 4 ~,~ \cdots~\}\) において、
自然数 \(10\) が初めて現れるのは何項目か？また、第 \(100\) 項目の求め方は？
自然数 \(10\) が初めて現れるのは何項目か？また、第 \(100\) 項目の求め方は？
漸化式
46｜漸化式で表された数列
数列 46漸化式 \(a_1=2 ~,~ a_{n+1}=3a_n+2\) で定められる数列の初項から第 \(5\) 項までの求め方は？
47｜等差数列と等比数列の漸化式
数列 47漸化式 \(a_1=3 ~,~ a_{n+1}=a_n+2\) や漸化式 \(a_1=3 ~,~ a_{n+1}=2\,a_n\) で定められる数列の一般項 \(a_n\) の求め方は？
48｜階差数列をもつ数列の漸化式
数列 48漸化式 \(a_1=1 ~,~ a_{n+1}=a_n+2n\) や
漸化式 \(a_1=2 ~,~ a_{n+1}=a_n+2^n\) で定められる数列の一般項 \(a_n\) の求め方は？
漸化式 \(a_1=2 ~,~ a_{n+1}=a_n+2^n\) で定められる数列の一般項 \(a_n\) の求め方は？
49｜特性方程式を用いる漸化式
数列 49漸化式 \(a_1=2 ~,~ a_{n+1}=3a_n+2\) で定められる数列の一般項 \(a_n\) の求め方は？
50｜図形の性質と漸化式
数列 50どの2本も平行でなく、どの3本も1点で交わらない \(n\) 本の直線によってつくられる交点の個数 \(a_n\) の求め方は？
51｜確率と漸化式
数列 51サイコロを \(n\) 回投げるとき、1の目が奇数回出る確率 \(p_n\) の求め方は？ただし、\(0\) は偶数とする。
特別な解法の漸化式
52☆｜bₙ=aₙ₊₁-aₙと置き換える漸化式
数列 52☆漸化式 \(a_1=1 ~,~ a_{n+1}=2a_n+n\) を \(b_n=a_{n+1}-a_n\) と置き換えて、一般項 \(a_n\) を求める方法は？
53☆｜bₙ=aₙ/nと置き換える漸化式
数列 53☆漸化式 \(a_1=3 ~,~\)\(na_{n+1}=(n+1)a_n+2n(n+1)\) を \(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,n\,}\) と置き換えて、一般項 \(a_n\) を求める方法は？
54☆｜bₙ=aₙ/2ⁿと置き換える漸化式
数列 54☆漸化式 \(a_1=2 ~,~\)\(a_{n+1}=2a_n+3\cdot 2^{n+1}\) を \(b_n=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2^n\,}\) と置き換えて、一般項 \(a_n\) を求める方法は？
55☆｜bₙ=1/aₙと置き換える漸化式
数列 55☆漸化式 \(a_1=1 ~,~ a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,3a_n+1\,}\) を \(b_n=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a_n\,}\) と置き換えて、一般項 \(a_n\) を求める方法は？
56☆｜Sₙとaₙを含む漸化式
数列 56☆数列の和 \(S_n\) と \(a_n\) を含む漸化式 \(S_n=3a_n+n\) の一般項 \(a_n\) の求め方は？
57☆｜2つの解をもつ隣接3項間漸化式
数列 57☆隣接3項間漸化式 \(a_1=0 ~,~ a_2=1 ~,~ a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=0\) の一般項 \(a_n\) の求め方は？
58☆｜解の1つが1の隣接3項間漸化式
数列 58☆隣接3項間漸化式 \(a_1=0 ~,~ a_2=1 ~,~ a_{n+2}+2a_{n+1}-3a_n=0\) の一般項 \(a_n\) の求め方は？
59☆｜重解をもつ隣接３項間漸化式
数列 59☆隣接3項間漸化式 \(a_1=0 ~,~ a_2=2 ~,~ a_{n+2}-4a_{n+1}+4a_n=0\) の一般項 \(a_n\) の求め方は？
60☆｜等比数列に式変形する連立漸化式
数列 60☆\(a_1=1 ~,~ b_1=2 ~,~\)\( a_{n+1}=a_n+2b_n ~,~\)\( b_{n+1}=2a_n+b_n\) の \(a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta(a_n+\alpha b_n)\) と式変形して一般項を求める解法は？
61☆｜隣接3項間漸化式にする連立漸化式
数列 61☆\(a_1=1 ~,~ b_1=2 ~,~\)\( a_{n+1}=a_n+2b_n ~,~\)\( b_{n+1}=2a_n+b_n\) を \(a_{n+2} ~,~ a_{n+1} ~,~ a_n\) の隣接3項間漸化式から一般項を求める解法は？
数学的帰納法
62｜数学的帰納法を用いる等式の証明
数列 62すべての自然数 \(n\) についての等式 \(1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2\) の証明方法は？(数学的帰納法)
63｜数学的帰納法を用いる整数の性質の証明
数列 63すべての自然数 \(n\) について \(3^n-1\) が偶数であることの証明方法は？(数学的帰納法)
64｜数学的帰納法を用いる不等式の証明
数列 64\(3\) 以上のすべての自然数についての不等式 \(2^n \gt 2n\) の証明方法は？(数学的帰納法)
65｜数学的帰納法を用いる一般項の証明
数列 65漸化式 \(a_1=1 ~,~\)\( a_{n+1}=\displaystyle \frac{\,a_n\,}{\,2a_n+1\,}~~\)\((n=1~,~2~,~3~,~\cdots)\) の一般項を推定して、数学的帰納法で証明する方法は？
66☆｜二項定理を用いた証明
数列 66☆すべての自然数 \(n\) について \(3^n-1\) が偶数であることを二項定理を用いて証明する方法は？
