【新課程】数研出版：高等学校数学Ⅱ[710]

p.41 練習1\({\small (1)}~\)実部 \(-3\)、虚部 \(5\)
\({\small (2)}~\)実部 \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)、虚部 \(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\({\small (3)}~\)実部 \(1\)、虚部 \(0\)
\({\small (4)}~\)実部 \(0\)、虚部 \(-1\)

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解法のPoint｜複素数の実部・虚部

p.41 練習2\({\small (1)}~x=-4~,~y=-3\)
\({\small (2)}~x=-1~,~y=2\)

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解法のPoint｜複素数の相等

p.42 練習3\({\small (1)}~6+4i\)　　\({\small (2)}~2-2i\)
\({\small (3)}~3+2i\)　　\({\small (4)}~-2-i\)

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解法のPoint｜複素数の加法・減法

p.42 練習4\({\small (1)}~-2+11i\)　　\({\small (2)}~10+5i\)
\({\small (3)}~-5+12i\)　　\({\small (4)}~25\)

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解法のPoint｜複素数の乗法

p.42 練習5\({\small (1)}~2-3i\)　　\({\small (2)}~1+i\)

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\({\small (3)}~-\sqrt{3}i\)　　\({\small (4)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}i\)

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\({\small (5)}~-4\)

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解法のPoint｜共役な複素数

p.43 練習6\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,8\,}{\,13\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,13\,}i\)

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\({\small (2)}~-i\)　　\({\small (3)}~-1+2i\)

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解法のPoint｜複素数の除法

p.44 練習7\({\small (1)}~\sqrt{5}i\)　　\({\small (2)}~3i\)
\({\small (3)}~\pm3\sqrt{2}i\)

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解法のPoint｜負の数の平方根と虚数単位i

p.44 練習8\({\small (1)}~-2\sqrt{3}\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)

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\({\small (3)}~2i\)　　\({\small (4)}~-3i\)

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解法のPoint｜負の数の平方根の計算

p.45 練習9\({\small (1)}~\pm i\)　　\({\small (2)}~\pm2\sqrt{2}i\)

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解法のPoint｜複素数範囲の2次方程式の解

p.45 練習10\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,-3\pm\sqrt{7}i\,}{\,2\,}\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,2\pm\sqrt{2}i\,}{\,3\,}\)

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\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,-\sqrt{2}\pm\sqrt{2}i\,}{\,2\,}\)　　\({\small (4)}~\sqrt{3}\pm i\)

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解法のPoint｜複素数範囲の2次方程式の解

p.47 練習11\({\small (1)}~\)異なる２つの実数解
\({\small (2)}~\)異なる２つの実数解
\({\small (3)}~\)異なる２つの虚数解
\({\small (4)}~\)重解

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解法のPoint｜複素数範囲の2次方程式の解の判別式

p.47 練習12\(m\lt -3~,~1\lt m\) のとき
　異なる２つの実数解
\(m=1~,~-3\) のとき
　重解
\(-3\lt m\lt 1\) のとき
　異なる２つの虚数解

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解法のPoint｜複素数範囲の文字係数の2次方程式

p.48 練習13\({\small (1)}~\)和 \(-4\)、積 \(2\)
\({\small (2)}~\)和 \(2\)、積 \(-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)

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解法のPoint｜2次方程式の解と係数の関係

p.49 練習14\({\small (1)}~11\)　　\({\small (2)}~-36\)　　\({\small (3)}~13\)

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解法のPoint｜解と係数の関係と対称式の値

p.49 練習15\({\small (1)}~m=4\)、解は \(-1~,~-4\)
\({\small (2)}~m=6\)、解は \(-2~,~-3\)

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p.49 深める\(~~~(\alpha-\beta)^2=-4~,~\alpha-\beta=\pm 2i\)
\(\alpha-\beta\) の組合せが２通りある

p.50 練習16\({\small (1)}~\left(x-\displaystyle \frac{\,3+\sqrt{17}\,}{\,2\,}\right)\left(x-\displaystyle \frac{\,3-\sqrt{17}\,}{\,2\,}\right)\)

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\({\small (2)}~2\left(x-\displaystyle \frac{\,1+\sqrt{7}\,}{\,2\,}\right)\left(x-\displaystyle \frac{\,1-\sqrt{7}\,}{\,2\,}\right)\)

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\({\small (3)}~(x+2-\sqrt{2}i)(x+2+\sqrt{2}i)\)

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解法のPoint｜複素数範囲での2次式の因数分解

p.51 練習17\({\small (1)}~x^2-x-2=0\)
\({\small (2)}~x^2-4x+1=0\)
\({\small (3)}~x^2-2x+5=0\)

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解法のPoint｜2数を解とする2次方程式

p.51 練習18\({\small (1)}~-1+\sqrt{5}i~,~-1-\sqrt{5}i\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,3+\sqrt{3}i\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,3-\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\)

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解法のPoint｜和と積の値と2数

p.52 練習19\({\small (1)}~x^2+x-3=0\)
\({\small (2)}~x^2-11x+1=0\)

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p.53 練習20\({\small (1)}~0\lt m\lt 1\)
\({\small (2)}~m\gt 9\)
\({\small (3)}~m\lt 0\)

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p.53 深める\(D\gt 0\) がないとき、
\(-3{\small ~≦~} m {\small ~≦~} 2\) の範囲に解をもつので、
例えば、\(m=0\) のとき、
\(~~~x^2+6=0\)
これより、実数解をもたないので、異なる２つの正の解をもたない

p.55 問題 1\({\small (1)}~\) \(x=-5~,~y=-2\)
\({\small (2)}~\) \(x=3~,~y=2\)

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解法のPoint｜複素数の相等

p.55 問題 2\({\small (1)}~\) \(\displaystyle\frac{\,-1-\sqrt{3}\,i\,}{\,2\,}\)　　\({\small (2)}~\) \(0\)　　\({\small (3)}~\) \(0\)

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解法のPoint｜複素数の乗法

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解法のPoint｜複素数の除法

p.55 問題 3\({\small (1)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,\sqrt{5}\pm\sqrt{3}\,i\,}{\,4\,}\)

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\({\small (2)}~\) \(x=\pm\displaystyle\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}i\)

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解法のPoint｜複素数範囲の2次方程式の解

p.55 問題 4\({\small (1)}~\) \(1\)　　\({\small (2)}~\) \(-3\)　　\({\small (3)}~\) \(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\)

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解法のPoint｜解と係数の関係と対称式の値

p.55 問題 5\({\small (1)}~\) \(x^2-3x-11=0\)
\({\small (2)}~\) \(x^2+14x-4=0\)
\({\small (3)}~\) \(x^2-6x-7=0\)

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p.55 問題 6① 成り立たない

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　\(\sqrt{-3}\sqrt{-5}=-\sqrt{15}\)

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② 成り立つ

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③ 成り立つ

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④ 成り立たない

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　\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{-3}\,}=-\sqrt{-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}}\)

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解法のPoint｜負の数の平方根の計算

p.56 練習21\({\small (1)}~-3\)　　\({\small (2)}~1\)　　\({\small (3)}~0\)

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解法のPoint｜剰余の定理と余りの値

p.56 練習22[証明] \(P(x)\) を \(ax+b\) で割ったときの商を \(Q(x)\)、余りを \(R\) とすると、
　\(P(x)=(ax+b)Q(x)+R\)
ここで、\(x=-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\) を代入すると、
\(P\left(-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\right)\)
　　　\(=(-b+b)Q\left(-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\right)+R=R\)
したがって、整式 \(P(x)\) を１次式 \(ax+b\) で割った余りは、\(P\left(-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\right)\) に等しい [終]

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解法のPoint｜剰余の定理と余りの値

p.57 練習23\(~~~a=-1\)

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解法のPoint｜剰余の定理と文字係数

p.57 練習24\(~~~-x+4\)

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p.58 練習25　②と③

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解法のPoint｜因数定理を用いた3次式の因数分解

p.58 練習26\({\small (1)}~(x-1)(x+2)(x-4)\)
\({\small (2)}~(x+1)(x-3)^2\)
\({\small (3)}~(x-2)(2x+1)(x+3)\)

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解法のPoint｜因数定理を用いた3次式の因数分解

p.59 研究 練習1　商 \(x^2-3x-3\)、余り \(0\)

p.60 練習27\({\small (1)}~x=2~,~-1\pm\sqrt{3}i\)
\({\small (2)}~x=-1~,~\displaystyle \frac{\,1\pm\sqrt{3}i\,}{\,2\,}\)

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解法のPoint｜3次方程式x³=a³の解

p.60 深める\(~~~(\omega ^2)^3=1\)

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解法のPoint｜1の3乗根ωを用いた式の値

p.61 練習28\({\small (1)}~x=\pm2~,~\pm\sqrt{5}i\)
\({\small (2)}~x=\pm1~,~\pm i\)

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解法のPoint｜x²=tと置き換える4次方程式

p.61 練習29\({\small (1)}~x=-3~,~-2~,~1\)
\({\small (2)}~x=-2~,~-1\)
\({\small (3)}~x=1~,~1\pm\sqrt{3}\)
\({\small (4)}~x=2~,~\displaystyle \frac{\,-1\pm\sqrt{15}i\,}{\,4\,}\)

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解法のPoint｜因数定理を用いた3次方程式の解

p.62 練習30\(~~~a=-4~,~b=6\)
　他の解 \(-3~,~1-i\)

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p.63 発展 練習1\({\small (1)}~7\)　　\({\small (2)}~3\)

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p.64 問題 7　\(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\)

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解法のPoint｜剰余の定理と余りの値

p.64 問題 8\({\small (1)}~\) \(P(-1)=-a+b-1\)、\(P(3)=3a+b+27\)
\({\small (2)}~\) \(a=-4~,~b=-8\)

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解法のPoint｜剰余の定理と文字係数

p.64 問題 9　\(0\)

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解法のPoint｜1の3乗根ωを用いた式の値

p.64 問題 10\({\small (1)}~\) \(x=\pm2~,~\pm\sqrt{6}\,i\)

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解法のPoint｜x²=tと置き換える4次方程式

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\({\small (2)}~\) \(x=-3~,~-1~,~\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\)

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解法のPoint｜因数定理を用いた3次方程式の解

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\({\small (3)}~\) \(x=\pm1~,~\displaystyle\frac{\,1\pm\sqrt{5}\,}{\,2\,}\)

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解法のPoint｜因数定理を用いた4次方程式の解

p.64 問題 11\({\small (1)}~\) \(a=-1~,~b=2\)
\({\small (2)}~\) \(2\)

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p.64 問題 12　\(2~,~1+\sqrt{3}~{\rm cm}\)

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解法のPoint｜因数定理を用いた3次方程式の解

p.65 章末問題A 1\({\small (1)}~\) \(7+\sqrt{2}\,i\)

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解法のPoint｜負の数の平方根の計算

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\({\small (2)}~\) \(-2-2i\)

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解法のPoint｜複素数の乗法

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\({\small (3)}~\) \(\displaystyle\frac{\,7\,}{\,10\,}-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,10\,}i\)

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解法のPoint｜複素数の除法

p.65 章末問題A 2\({\small (1)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,-1\pm\sqrt{3}\,i\,}{\,4\,}\)

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解法のPoint｜3次方程式x³=a³の解

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\({\small (2)}~\) \(x=\pm\displaystyle\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}~,~\pm\sqrt{2}\,i\)

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解法のPoint｜x²=tと置き換える4次方程式

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\({\small (3)}~\) \(x=2~,~\displaystyle\frac{\,-5\pm\sqrt{23}\,i\,}{\,2\,}\)

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解法のPoint｜因数定理を用いた3次方程式の解

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\({\small (4)}~\) \(x=-2~,~-1~,~2~,~3\)

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解法のPoint｜x²=tと置き換える4次方程式

p.65 章末問題A 3　\(a=-3~,~b=1\)、他の解は \(-1~,~2-i\)

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p.65 章末問題B 4　\(z=3+2i~,~-3-2i\)

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p.65 章末問題B 5　\(a=-3~,~b=-1\)

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p.65 章末問題B 6　\(4\lt m\lt8\)

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p.65 章末問題B 8　\(-2{\small ~≦~}a\lt2~,~b=-1\)