このページは、数研出版：新編数学Ⅱ[711]
第１章 式と証明
第１章 式と証明
それぞれの問題の解説はありませんが、類題の解説はリンク先にありますので参考にしてください。
また、解答は独自で解いたものですので、間違えやタイプミス等がありましたらご連絡ください。
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新編数学Ⅱ 第１章 式と証明
新編数学Ⅱ 第２章 複素数と方程式
新編数学Ⅱ 第３章 図形と方程式
新編数学Ⅱ 第４章 三角関数
新編数学Ⅱ 第５章 指数関数と対数関数
新編数学Ⅱ 第６章 微分法と積分法
第１章 式と証明
第１節 式と計算
p.9 練習1\({\small (1)}~x^3+6x^2+12x+8\)
\({\small (2)}~x^3-3x^2+3x-1\)
\({\small (3)}~27a^3+27a^2b+9ab^2+b^3\)
\({\small (4)}~x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3\)
解法のPoint｜(a+b)³の展開の公式
\({\small (2)}~x^3-3x^2+3x-1\)
\({\small (3)}~27a^3+27a^2b+9ab^2+b^3\)
\({\small (4)}~x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3\)
解法のPoint｜(a+b)³の展開の公式
p.9 練習2[証明]
\(~~~(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(~=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3\)
\(~=a^3+b^3\) [終]
[証明]
\(~~~(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
\(~=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\)
\(~=a^3-b^3\) [終]
解法のPoint｜(a+b)(a²-ab+b²)の展開の公式
\(~~~(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(~=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3\)
\(~=a^3+b^3\) [終]
[証明]
\(~~~(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
\(~=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\)
\(~=a^3-b^3\) [終]
解法のPoint｜(a+b)(a²-ab+b²)の展開の公式
p.9 練習3\({\small (1)}~x^3+8\)
\({\small (2)}~x^3-27\)
\({\small (3)}~x^3+27y^3\)
\({\small (4)}~8x^3-a^3\)
解法のPoint｜(a+b)(a²-ab+b²)の展開の公式
\({\small (2)}~x^3-27\)
\({\small (3)}~x^3+27y^3\)
\({\small (4)}~8x^3-a^3\)
解法のPoint｜(a+b)(a²-ab+b²)の展開の公式
p.10 練習4\({\small (1)}~(x+3)(x^2-3x+9)\)
\({\small (2)}~(x-1)(x^2+x+1)\)
\({\small (3)}~(5x+a)(25x^2-5ax+a^2)\)
\({\small (4)}~(4x-y)(16x^2+4xy+y^2)\)
解法のPoint｜a³+b³の因数分解の公式
\({\small (2)}~(x-1)(x^2+x+1)\)
\({\small (3)}~(5x+a)(25x^2-5ax+a^2)\)
\({\small (4)}~(4x-y)(16x^2+4xy+y^2)\)
解法のPoint｜a³+b³の因数分解の公式
p.10 練習5
解法のPoint｜6次式と3次式の因数分解
\({\small (1)}~(x+2)(x-2)(x^2-2x+4)(x^2+2x+4)\)
\({\small (2)}~(x+y)(x-y)(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+1y^2)\)
\({\small (2)}~(x+y)(x-y)(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+1y^2)\)
解法のPoint｜6次式と3次式の因数分解
p.10 深める\(\begin{split}&x^6-1\\[2pt]=~&(x^2)^3-1^3\\[2pt]~~=~&(x^2-1)\{(x^2)^2+x^2+1\}\\[2pt]~~=~&(x^2-1)\{x^4+2x^2+1-x^2\}\\[2pt]~~=~&(x^2-y^2)\{(x^2+1)^2-x^2\}\\[2pt]~~=~&(x^2-y^2)(x^2+1+x)(x^2+1-x)\\[2pt]~~=~&(x+1)(x-1)\\[2pt]&~~(x^2+x+1)(x^2-x+1)\end{split}\)
p.11 練習7
解法のPoint｜二項定理と展開式
\(~1~,~6~,~15~,~20~,~15~,~6~,~1\)
\(~~~a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6\)
\(~~~a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6\)
解法のPoint｜二項定理と展開式
p.13 練習8
解法のPoint｜二項定理と展開式
\({\small (1)}~x^4+4x^3+6x^2+4x+1\)
\({\small (2)}~x^6-12x^5+60x^4-160x^3+240x^2-192x+64\)
\({\small (2)}~x^6-12x^5+60x^4-160x^3+240x^2-192x+64\)
解法のPoint｜二項定理と展開式
p.14 練習10[証明] (左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&0
\\[3pt]~~~&=&\{1+(-1)\}^n\end{eqnarray}\)
二項定理の展開式より、
したがって、
\({}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-1)^n{}_n \mathrm{ C }_n=0\)
[終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\begin{eqnarray}~~~&=&0
\\[3pt]~~~&=&\{1+(-1)\}^n\end{eqnarray}\)
二項定理の展開式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0 \cdot 1^n \cdot (-1)^0+{}_n \mathrm{ C }_1 \cdot 1^{n-1} \cdot (-1)^1+{}_n \mathrm{ C }_2 \cdot 1^{n-2} \cdot (-1)^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot 1^0 \cdot (-1)^n
\\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-1)^n{}_n \mathrm{ C }_n\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-1)^n{}_n \mathrm{ C }_n\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、
\({}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-1)^n{}_n \mathrm{ C }_n=0\)
[終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.17 練習12\({\small (1)}~\)商 \(3x-1\)、余り \(6\)
\({\small (2)}~\)商 \(x^2-x-3\)、余り \(-14\)
\({\small (3)}~\)商 \(2x+7\)、余り \(x-10\)
\({\small (4)}~\)商 \(x-2\)、余り \(0\)
解法のPoint｜多項式を多項式で割った商と余り
\({\small (2)}~\)商 \(x^2-x-3\)、余り \(-14\)
\({\small (3)}~\)商 \(2x+7\)、余り \(x-10\)
\({\small (4)}~\)商 \(x-2\)、余り \(0\)
解法のPoint｜多項式を多項式で割った商と余り
p.19 練習15\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,5b^2\,}{\,2a^2\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x-3\,}{\,x+4\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,2x-1\,}\)
解法のPoint｜分数式と共通因数の約分
解法のPoint｜分数式と共通因数の約分
p.20 練習16\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,x-2\,}{\,x-3\,}\) \({\small (2)}~2x\)
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,x-2\,}{\,x^2\,}\) \({\small (4)}~x-1\)
解法のPoint｜分数式の乗法・除法
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,x-2\,}{\,x^2\,}\) \({\small (4)}~x-1\)
解法のPoint｜分数式の乗法・除法
p.21 練習17\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,x+2\,}{\,x-1\,}\) \({\small (2)}~3\)
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,x+4\,}{\,2x-1\,}\) \({\small (4)}~2x+1\)
解法のPoint｜分数式の加法・減法
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,x+4\,}{\,2x-1\,}\) \({\small (4)}~2x+1\)
解法のPoint｜分数式の加法・減法
p.21 練習18\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,5x-1\,}{\,(x+1)(x-2)\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,x\,}\)
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,x-1\,}{\,x-3\,}\) \({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,3x+1\,}{\,x(x-1)\,}\)
解法のPoint｜通分が必要な分数式の加法・減法
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,x-1\,}{\,x-3\,}\) \({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,3x+1\,}{\,x(x-1)\,}\)
解法のPoint｜通分が必要な分数式の加法・減法
補充問題
p.24 補充問題 1\({\small (1)}~\) \(8x^3-36x^2+54x-27\)
解法のPoint｜(a+b)³の展開の公式
\({\small (2)}~\) \(1-x^3\)
解法のPoint｜(a+b)(a²-ab+b²)の展開の公式
解法のPoint｜(a+b)³の展開の公式
\({\small (2)}~\) \(1-x^3\)
解法のPoint｜(a+b)(a²-ab+b²)の展開の公式
第２節 等式・不等式の証明
p.26 練習22\({\small (1)}~\)[証明]
(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a-b)^3+3ab(a-b)
\\[3pt]~~~&=&a^3-3a^2b+3ab^2-b^3+3a^2b-3ab^2
\\[3pt]~~~&=&a^3-b^3\end{eqnarray}\)
したがって、\(a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)\) [終]
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(a+\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2
\\[5pt]~~~&=&a^2+2\cdot a\cdot\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,b^2\,}{\,4\,}+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2
\\[5pt]~~~&=&a^2+ab+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}b^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2
\\[5pt]~~~&=&a^2+ab+b^2\end{eqnarray}\)
したがって、\(a^2+ab+b^2=\left(a+\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2\) [終]
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(1+x)^3
\\[3pt]~~~&=&1+3x+3x^2+x^3\end{eqnarray}\)
(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&1+x+x(1+x)+x(1+x)^2
\\[3pt]~~~&=&1+x+x+x^2+x(1+2x+x^2)
\\[3pt]~~~&=&1+2x+x^2+x+2x^2+x^3
\\[3pt]~~~&=&1+3x+3x^2+x^3\end{eqnarray}\)
したがって、\((1+x)^3=1+x+x(1+x)+x(1+x)^2\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a-b)^3+3ab(a-b)
\\[3pt]~~~&=&a^3-3a^2b+3ab^2-b^3+3a^2b-3ab^2
\\[3pt]~~~&=&a^3-b^3\end{eqnarray}\)
したがって、\(a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(a+\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2
\\[5pt]~~~&=&a^2+2\cdot a\cdot\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,b^2\,}{\,4\,}+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2
\\[5pt]~~~&=&a^2+ab+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}b^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2
\\[5pt]~~~&=&a^2+ab+b^2\end{eqnarray}\)
したがって、\(a^2+ab+b^2=\left(a+\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2\) [終]
\({\small (3)}~\)[証明]
(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(1+x)^3
\\[3pt]~~~&=&1+3x+3x^2+x^3\end{eqnarray}\)
(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&1+x+x(1+x)+x(1+x)^2
\\[3pt]~~~&=&1+x+x+x^2+x(1+2x+x^2)
\\[3pt]~~~&=&1+2x+x^2+x+2x^2+x^3
\\[3pt]~~~&=&1+3x+3x^2+x^3\end{eqnarray}\)
したがって、\((1+x)^3=1+x+x(1+x)+x(1+x)^2\) [終]
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p.26 練習23[証明] \(a+b=c\) より、\(c=a+b\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+bc
\\[3pt]~~~&=&a^2+b(a+b)
\\[3pt]~~~&=&a^2+ab+b^2\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&b^2+ca
\\[3pt]~~~&=&b^2+(a+b)a
\\[3pt]~~~&=&b^2+a^2+ab
\\[3pt]~~~&=&a^2+ab+b^2\end{eqnarray}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+bc
\\[3pt]~~~&=&a^2+b(a+b)
\\[3pt]~~~&=&a^2+ab+b^2\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&b^2+ca
\\[3pt]~~~&=&b^2+(a+b)a
\\[3pt]~~~&=&b^2+a^2+ab
\\[3pt]~~~&=&a^2+ab+b^2\end{eqnarray}\)
したがって、\(a^2+bc=b^2+ca\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.26 練習24\({\small (1)}~\)[証明] \(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+ca
\\[3pt]~~~&=&a^2+(-a-b)a
\\[3pt]~~~&=&a^2-a^2-ab
\\[3pt]~~~&=&-ab\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&b^2+bc
\\[3pt]~~~&=&b^2+b(-a-b)
\\[3pt]~~~&=&b^2-ab-b^2
\\[3pt]~~~&=&-ab\end{eqnarray}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\)[証明] \(a+b+c=0\) より、
\(a+b=-c~,~b+c=-a~,~c+a=-b\)
（左辺）
■ この問題の詳しい解説はこちら！
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+ca
\\[3pt]~~~&=&a^2+(-a-b)a
\\[3pt]~~~&=&a^2-a^2-ab
\\[3pt]~~~&=&-ab\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&b^2+bc
\\[3pt]~~~&=&b^2+b(-a-b)
\\[3pt]~~~&=&b^2-ab-b^2
\\[3pt]~~~&=&-ab\end{eqnarray}\)
したがって、\(a^2+ca=b^2+bc\) [終]
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\({\small (2)}~\)[証明] \(a+b+c=0\) より、
\(a+b=-c~,~b+c=-a~,~c+a=-b\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc
\\[3pt]~~~&=&ab(-c)+bc(-a)+ca(-b)+3abc
\\[3pt]~~~&=&-abc-abc-abc+3abc
\\[3pt]~~~&=&-3abc+3abc
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&ab(-c)+bc(-a)+ca(-b)+3abc
\\[3pt]~~~&=&-abc-abc-abc+3abc
\\[3pt]~~~&=&-3abc+3abc
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、
\(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc=0\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.26 深める１の方法
[証明]
(左辺)
\(\begin{split}~~=~&b^2+c^2\\[2pt]~~=~&b^2-2bc+c^2+2bc\\[2pt]~~=~&(b-c)^2+2bc\end{split}\)
ここで、\(a+b=c\) より、\(b-c=-a\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&(-a)^2+2bc\\[2pt]~~=~&a^2+2bc\end{split}\)
\(=\)(右辺)
したがって、\(b^2+c^2=a^2+2bc\) [終]
２の方法
[証明]
\(c=a+b\) を左辺に代入すると、
(左辺)
\(\begin{split}~~=~&b^2+(a+b)^2\\[2pt]~~=~&b^2+a^2+2ab+b^2\\[2pt]~~=~&a^2+2ab+2b^2\end{split}\)
\(c=a+b\) を右辺に代入すると、
(右辺)
\(\begin{split}~~=~&a^2+2b(a+b)\\[2pt]~~=~&a^2+2ab+2b^2\end{split}\)
(左辺)＝(右辺) となるので、
\(b^2+c^2=a^2+2bc\) [終]
[証明]
(左辺)
\(\begin{split}~~=~&b^2+c^2\\[2pt]~~=~&b^2-2bc+c^2+2bc\\[2pt]~~=~&(b-c)^2+2bc\end{split}\)
ここで、\(a+b=c\) より、\(b-c=-a\) を代入すると、
\(\begin{split}~~=~&(-a)^2+2bc\\[2pt]~~=~&a^2+2bc\end{split}\)
\(=\)(右辺)
したがって、\(b^2+c^2=a^2+2bc\) [終]
２の方法
[証明]
\(c=a+b\) を左辺に代入すると、
(左辺)
\(\begin{split}~~=~&b^2+(a+b)^2\\[2pt]~~=~&b^2+a^2+2ab+b^2\\[2pt]~~=~&a^2+2ab+2b^2\end{split}\)
\(c=a+b\) を右辺に代入すると、
(右辺)
\(\begin{split}~~=~&a^2+2b(a+b)\\[2pt]~~=~&a^2+2ab+2b^2\end{split}\)
(左辺)＝(右辺) となるので、
\(b^2+c^2=a^2+2bc\) [終]
p.28 練習26\({\small (1)}~\)[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、
\(a=kb~,~c=kd\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a+c\,}{\,b+d\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,kb+kd\,}{\,b+d\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(b+d)\,}{\,b+d\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,2a-3c\,}{\,2b-3d\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2kb-3kd\,}{\,2b-3d\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(2b-3d)\,}{\,2b-3d\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\frac{\,a+c\,}{\,b+d\,}=\displaystyle\frac{\,2a-3c\,}{\,2b-3d\,}\) [終]
\(a=kb~,~c=kd\)
（左辺）
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a^2\,}{\,b^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(kb)^2\,}{\,b^2\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2 b^2\,}{\,b^2\,}\\[3pt]~~~&=&k^2\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\frac{\,a^2+c^2\,}{\,b^2+d^2\,}=\displaystyle\frac{\,a^2\,}{\,b^2\,}\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(a=kb~,~c=kd\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a+c\,}{\,b+d\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,kb+kd\,}{\,b+d\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(b+d)\,}{\,b+d\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,2a-3c\,}{\,2b-3d\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2kb-3kd\,}{\,2b-3d\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(2b-3d)\,}{\,2b-3d\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\frac{\,a+c\,}{\,b+d\,}=\displaystyle\frac{\,2a-3c\,}{\,2b-3d\,}\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、
\(a=kb~,~c=kd\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a^2+c^2\,}{\,b^2+d^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(kb)^2+(kd)^2\,}{\,b^2+d^2\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2 b^2+k^2 d^2\,}{\,b^2+d^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2(b^2+d^2)\,}{\,b^2+d^2\,}\\[3pt]~~~&=&k^2\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a^2\,}{\,b^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(kb)^2\,}{\,b^2\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2 b^2\,}{\,b^2\,}\\[3pt]~~~&=&k^2\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle\frac{\,a^2+c^2\,}{\,b^2+d^2\,}=\displaystyle\frac{\,a^2\,}{\,b^2\,}\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.29 練習27［証明］
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(3x-4y)-(x-2y)
\\[3pt]~~~&=&3x-4y-x+2y
\\[3pt]~~~&=&2x-2y
\\[3pt]~~~&=&2(x-y)\end{eqnarray}\)
ここで、\(x \gt y\) より、
\(x-y \gt 0\) であるから、
\(2(x-y) \gt 0\)
したがって、
\((3x-4y)-(x-2y) \gt 0\) となり、
\(3x-4y \gt x-2y\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(3x-4y)-(x-2y)
\\[3pt]~~~&=&3x-4y-x+2y
\\[3pt]~~~&=&2x-2y
\\[3pt]~~~&=&2(x-y)\end{eqnarray}\)
ここで、\(x \gt y\) より、
\(x-y \gt 0\) であるから、
\(2(x-y) \gt 0\)
したがって、
\((3x-4y)-(x-2y) \gt 0\) となり、
\(3x-4y \gt x-2y\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.29 練習28［証明］
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(xy+6)-(3x+2y)
\\[3pt]~~~&=&xy+6-3x-2y
\\[3pt]~~~&=&xy-3x-2y+6
\\[3pt]~~~&=&(y-3)x-2(y-3)
\\[3pt]~~~&=&(x-2)(y-3)\end{eqnarray}\)
ここで、\(x \gt 2~,~y \gt 3\) より、
\(x-2 \gt 0~,~y-3 \gt 0\) であるから、
\((x-2)(y-3) \gt 0\)
したがって、
\((xy+6)-(3x+2y) \gt 0\) となり、
\(xy+6 \gt 3x+2y\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(xy+6)-(3x+2y)
\\[3pt]~~~&=&xy+6-3x-2y
\\[3pt]~~~&=&xy-3x-2y+6
\\[3pt]~~~&=&(y-3)x-2(y-3)
\\[3pt]~~~&=&(x-2)(y-3)\end{eqnarray}\)
ここで、\(x \gt 2~,~y \gt 3\) より、
\(x-2 \gt 0~,~y-3 \gt 0\) であるから、
\((x-2)(y-3) \gt 0\)
したがって、
\((xy+6)-(3x+2y) \gt 0\) となり、
\(xy+6 \gt 3x+2y\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.30 練習29\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+4y^2)-4xy
\\[3pt]~~~&=&x^2-4xy+4y^2
\\[3pt]~~~&=&(x-2y)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\(x^2+4y^2{\small ~≧~}4xy\) [終]
また、等号が成立するのは、
\(x-2y=0\) すなわち \(x=2y\) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+y)^2-4xy
\\[3pt]~~~&=&x^2+2xy+y^2-4xy
\\[3pt]~~~&=&x^2-2xy+y^2
\\[3pt]~~~&=&(x-y)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\((x+y)^2{\small ~≧~}4xy\) [終]
また、等号が成立するのは、
\(x-y=0\) すなわち \(x=y\) のとき
■ この問題の詳しい解説はこちら！
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+4y^2)-4xy
\\[3pt]~~~&=&x^2-4xy+4y^2
\\[3pt]~~~&=&(x-2y)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\(x^2+4y^2{\small ~≧~}4xy\) [終]
また、等号が成立するのは、
\(x-2y=0\) すなわち \(x=2y\) のとき
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x+y)^2-4xy
\\[3pt]~~~&=&x^2+2xy+y^2-4xy
\\[3pt]~~~&=&x^2-2xy+y^2
\\[3pt]~~~&=&(x-y)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\((x+y)^2{\small ~≧~}4xy\) [終]
また、等号が成立するのは、
\(x-y=0\) すなわち \(x=y\) のとき
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.31 練習30\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+2b^2-2ab
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ab+b^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&(a-b)^2+b^2\end{eqnarray}\)
ここで、\( (a-b)^2{\small ~≧~}0~,~b^2{\small ~≧~}0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(a-b)^2+b^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\( a^2+2b^2{\small ~≧~}2ab \) [終]
また、等号が成立するのは、
\(a-b=0\) かつ \(b=0\)
すなわち \( a=b=0 \) のとき
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2-ab+b^2
\\[3pt]~~~&=&a^2-b\,a+b^2\end{eqnarray}\)
\( a \) について、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(a^2-ba+\displaystyle\frac{\,b^2\,}{\,4\,}\right)-\displaystyle\frac{\,b^2\,}{\,4\,}+b^2
\\[5pt]~~~&=&\left(a-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2\end{eqnarray}\)
ここで、\( \left(a-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2{\small ~≧~}0~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2{\small ~≧~}0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(a-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\( a^2-ab+b^2{\small ~≧~}0 \) [終]
また、等号が成立するのは、
\(a-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}=0\) かつ \(b=0\)
\(~\Leftrightarrow~a=\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\) より、\(a=0\)
すなわち \( a=b=0 \) のとき
■ この問題の詳しい解説はこちら！
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+2b^2-2ab
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ab+b^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&(a-b)^2+b^2\end{eqnarray}\)
ここで、\( (a-b)^2{\small ~≧~}0~,~b^2{\small ~≧~}0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(a-b)^2+b^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\( a^2+2b^2{\small ~≧~}2ab \) [終]
また、等号が成立するのは、
\(a-b=0\) かつ \(b=0\)
すなわち \( a=b=0 \) のとき
\({\small (2)}~\)[証明]
(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2-ab+b^2
\\[3pt]~~~&=&a^2-b\,a+b^2\end{eqnarray}\)
\( a \) について、平方完成すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(a^2-ba+\displaystyle\frac{\,b^2\,}{\,4\,}\right)-\displaystyle\frac{\,b^2\,}{\,4\,}+b^2
\\[5pt]~~~&=&\left(a-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2\end{eqnarray}\)
ここで、\( \left(a-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2{\small ~≧~}0~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2{\small ~≧~}0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(a-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\( a^2-ab+b^2{\small ~≧~}0 \) [終]
また、等号が成立するのは、
\(a-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}=0\) かつ \(b=0\)
\(~\Leftrightarrow~a=\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\) より、\(a=0\)
すなわち \( a=b=0 \) のとき
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p.31 練習31[証明] 両辺の平方の差は、
(左辺)²－(右辺)²
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(1+x\right)^2-\left(\sqrt{1+2x}\right)^2
\\[3pt]~~~&=&1+2x+x^2-(1+2x)
\\[3pt]~~~&=&x^2~\gt~0\end{eqnarray}\)
よって、
\(\left(1+x\right)^2 \gt \left(\sqrt{1+2x}\right)^2\)
ここで、\( x \gt 0 \) であるので、\( 1+x \gt 0 \)、\( \sqrt{1+2x} \gt 0 \) より、
\(1+x \gt \sqrt{1+2x}\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
(左辺)²－(右辺)²
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(1+x\right)^2-\left(\sqrt{1+2x}\right)^2
\\[3pt]~~~&=&1+2x+x^2-(1+2x)
\\[3pt]~~~&=&x^2~\gt~0\end{eqnarray}\)
よって、
\(\left(1+x\right)^2 \gt \left(\sqrt{1+2x}\right)^2\)
ここで、\( x \gt 0 \) であるので、\( 1+x \gt 0 \)、\( \sqrt{1+2x} \gt 0 \) より、
\(1+x \gt \sqrt{1+2x}\) [終]
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p.31 深める\(a \lt 0~,~b \lt 0\) のとき、
反例 \(a=-5~,~b=-3\)
\(a \gt 0~,~b \lt 0\) のとき、
反例 \(a=3~,~b=-5\)
反例 \(a=-5~,~b=-3\)
\(a \gt 0~,~b \lt 0\) のとき、
反例 \(a=3~,~b=-5\)
p.32 練習32[証明] 両辺の平方の差は、
(左辺)²－(右辺)²
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(\,|\,a\,|+2|\,b\,|\,\right)^2-|\,a+2b\,|^2
\\[3pt]~~~&=&|\,a\,|^2+4|\,a\,||\,b\,|+4|\,b\,|^2-(a+2b)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+4|\,ab\,|+4b^2-\left(\,a^2+4ab+4b^2\,\right)
\\[3pt]~~~&=&a^2+4|\,ab\,|+4b^2-a^2-4ab-4b^2
\\[3pt]~~~&=&4\left(\,|\,ab\,|-ab\,\right){\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
よって、\(\left(\,|\,a\,|+2|\,b\,|\,\right)^2{\small ~≧~}|\,a+2b\,|^2\)
\(|\,a\,|+2|\,b\,|{\small ~≧~}0~,~|\,a+2b\,|{\small ~≧~}0\) より、
\(|\,a\,|+2|\,b\,|{\small ~≧~}|\,a+2b\,|\) [終]
等号が成り立つのは、
\(|\,ab\,|-ab=0~~\Leftrightarrow~~|\,ab\,|=ab\)
すなわち \(ab{\small ~≧~}0\) のとき
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(左辺)²－(右辺)²
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(\,|\,a\,|+2|\,b\,|\,\right)^2-|\,a+2b\,|^2
\\[3pt]~~~&=&|\,a\,|^2+4|\,a\,||\,b\,|+4|\,b\,|^2-(a+2b)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+4|\,ab\,|+4b^2-\left(\,a^2+4ab+4b^2\,\right)
\\[3pt]~~~&=&a^2+4|\,ab\,|+4b^2-a^2-4ab-4b^2
\\[3pt]~~~&=&4\left(\,|\,ab\,|-ab\,\right){\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
∵ \(|\,ab\,|{\small ~≧~}ab\) より、\(|\,ab\,|-ab{\small ~≧~}0\)
よって、\(\left(\,|\,a\,|+2|\,b\,|\,\right)^2{\small ~≧~}|\,a+2b\,|^2\)
\(|\,a\,|+2|\,b\,|{\small ~≧~}0~,~|\,a+2b\,|{\small ~≧~}0\) より、
\(|\,a\,|+2|\,b\,|{\small ~≧~}|\,a+2b\,|\) [終]
等号が成り立つのは、
\(|\,ab\,|-ab=0~~\Leftrightarrow~~|\,ab\,|=ab\)
すなわち \(ab{\small ~≧~}0\) のとき
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.34 練習33\({\small (1)}~\)
[証明] \(a\gt 0\) より、\(a\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,a\cdot\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,4\,}=4\end{eqnarray}\)
したがって、\(a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}{\small ~≧~}4\) [終]
また、等号が成り立つのは、
\(\begin{eqnarray}~~~a=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}~\Leftrightarrow~a^2&=&4\end{eqnarray}\)
\(a\gt 0\) より、\(a=2\) のとき
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\cdot\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,1\,}=2\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2\) [終]
また、等号が成り立つのは、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}~\Leftrightarrow~a^2&=&b^2\end{eqnarray}\)
\(a\gt 0~,~b\gt 0\) より、\(a=b\) のとき
■ この問題の詳しい解説はこちら！
[証明] \(a\gt 0\) より、\(a\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,a\cdot\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,4\,}=4\end{eqnarray}\)
したがって、\(a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}{\small ~≧~}4\) [終]
また、等号が成り立つのは、
\(\begin{eqnarray}~~~a=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}~\Leftrightarrow~a^2&=&4\end{eqnarray}\)
\(a\gt 0\) より、\(a=2\) のとき
\({\small (2)}~\)
[証明] \(a\gt 0~,~b\gt 0\) より、\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\cdot\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,1\,}=2\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2\) [終]
また、等号が成り立つのは、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}~\Leftrightarrow~a^2&=&b^2\end{eqnarray}\)
\(a\gt 0~,~b\gt 0\) より、\(a=b\) のとき
■ この問題の詳しい解説はこちら！
補充問題
p.35 補充問題 6[証明] \(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\)
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^3+b^3+c^3
\\[3pt]~~~&=&a^3+b^3+(-a-b)^3
\\[3pt]~~~&=&a^3+b^3+(-1)^3 \cdot (a+b)^3
\\[3pt]~~~&=&a^3+b^3-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)
\\[3pt]~~~&=&a^3+b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3
\\[3pt]~~~&=&-3a^2b-3ab^2\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&3abc
\\[3pt]~~~&=&3ab(-a-b)
\\[3pt]~~~&=&-3a^2b-3ab^2\end{eqnarray}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^3+b^3+c^3
\\[3pt]~~~&=&a^3+b^3+(-a-b)^3
\\[3pt]~~~&=&a^3+b^3+(-1)^3 \cdot (a+b)^3
\\[3pt]~~~&=&a^3+b^3-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)
\\[3pt]~~~&=&a^3+b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3
\\[3pt]~~~&=&-3a^2b-3ab^2\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&3abc
\\[3pt]~~~&=&3ab(-a-b)
\\[3pt]~~~&=&-3a^2b-3ab^2\end{eqnarray}\)
したがって、\(a^3+b^3+c^3=3abc\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.35 補充問題 8［証明］
(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b)\left(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}+\frac{\,1\,}{\,b\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&a\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}+a\cdot\frac{\,1\,}{\,b\,}+b\cdot\frac{\,1\,}{\,a\,}+b\cdot\frac{\,1\,}{\,b\,}
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}+2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,} \gt 0~,~\frac{\,b\,}{\,a\,} \gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\frac{\,a\,}{\,b\,}\cdot\frac{\,b\,}{\,a\,}}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,1\,}=2\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}+2{\small ~≧~}2+2\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\displaystyle (a+b)\left(\frac{\,1\,}{\,a\,}+\frac{\,1\,}{\,b\,}\right){\small ~≧~}4\) [終]
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}=\frac{\,b\,}{\,a\,}~\Leftrightarrow ~ a^2=b^2\)
\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、\(a=b\) のとき
■ この問題の詳しい解説はこちら！
(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b)\left(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}+\frac{\,1\,}{\,b\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&a\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}+a\cdot\frac{\,1\,}{\,b\,}+b\cdot\frac{\,1\,}{\,a\,}+b\cdot\frac{\,1\,}{\,b\,}
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}+2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,} \gt 0~,~\frac{\,b\,}{\,a\,} \gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\frac{\,a\,}{\,b\,}\cdot\frac{\,b\,}{\,a\,}}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,1\,}=2\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
両辺に \(2\) を加えると、
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}+2{\small ~≧~}2+2\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\displaystyle (a+b)\left(\frac{\,1\,}{\,a\,}+\frac{\,1\,}{\,b\,}\right){\small ~≧~}4\) [終]
また、等号が成立するのは \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}=\frac{\,b\,}{\,a\,}~\Leftrightarrow ~ a^2=b^2\)
\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、\(a=b\) のとき
■ この問題の詳しい解説はこちら！
章末問題
p.36 章末問題A 1\({\small (1)}~\) \(a^6+2a^3b^3+b^6\)
解法のPoint｜2乗×2乗の式の展開
\({\small (2)}~\) \(3n^2+3n+1\)
解法のPoint｜a³+b³の因数分解の公式
解法のPoint｜2乗×2乗の式の展開
\({\small (2)}~\) \(3n^2+3n+1\)
解法のPoint｜a³+b³の因数分解の公式
p.36 章末問題A 2\({\small (1)}~\) 商 \(x^3+x^2+x+1\)，余り \(0\)
\({\small (2)}~\) 商 \(2x-1\)，余り \(4x-5\)
解法のPoint｜多項式を多項式で割った商と余り
\({\small (2)}~\) 商 \(2x-1\)，余り \(4x-5\)
解法のPoint｜多項式を多項式で割った商と余り
p.36 章末問題A 3\({\small (1)}~\) \(-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x(x+1)\,}\) \({\small (2)}~\) \(0\)
解法のPoint｜通分が必要な分数式の加法・減法
解法のPoint｜通分が必要な分数式の加法・減法
p.36 章末問題A 4\({\small (1)}~\) \(a=3~,~b=3~,~c=1\)
解法のPoint｜恒等式となる等式の条件
\({\small (2)}~\) \(a=1~,~b=-1~,~c=2\)
解法のPoint｜分数式の恒等式
解法のPoint｜恒等式となる等式の条件
\({\small (2)}~\) \(a=1~,~b=-1~,~c=2\)
解法のPoint｜分数式の恒等式
p.36 章末問題A 5\({\small (1)}~\)[証明]
(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^2-2
\\[5pt]~~~&=&x^2+2\cdot x\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^2\,}-2
\\[5pt]~~~&=&x^2+2+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^2\,}-2
\\[5pt]~~~&=&x^2+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^2+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^2\,}=\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^2-2\) [終]
したがって、\(x^3+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^3\,}=\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^3-3\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^2-2
\\[5pt]~~~&=&x^2+2\cdot x\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^2\,}-2
\\[5pt]~~~&=&x^2+2+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^2\,}-2
\\[5pt]~~~&=&x^2+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^2+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^2\,}=\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^2-2\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^3-3\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&x^3+3\cdot x^2\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}+3\cdot x\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^2\,}+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^3\,}-3x-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&x^3+3x+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,x\,}+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^3\,}-3x-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&x^3+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&x^3+3\cdot x^2\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}+3\cdot x\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^2\,}+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^3\,}-3x-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&x^3+3x+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,x\,}+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^3\,}-3x-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&x^3+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(x^3+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^3\,}=\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^3-3\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.36 章末問題A 6[証明]
等式について、
(左辺)
したがって、
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\end{eqnarray}\)
等式より、
したがって、
\(a^2+b^2+c^2{\small ~≧~}ab+bc+ca\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
等式について、
(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca
\\[3pt]~~~&=&2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca
\\[3pt]~~~&=&2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{eqnarray}\)
したがって、
\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
次に、不等式について、
(左辺)－(右辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\end{eqnarray}\)
等式より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
したがって、
\(a^2+b^2+c^2{\small ~≧~}ab+bc+ca\) [終]
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p.36 章末問題A 7\({\small (1)}~\)>[証明] \(a\gt 0~,~b\gt 0\) より、\(ab\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,9\,}{\,ab\,}\gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~ab+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,ab\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,ab\cdot\displaystyle \frac{\,9\,}{\,ab\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,9\,}=6\end{eqnarray}\)
したがって、\(ab+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,ab\,}{\small ~≧~}6\) [終]
また、等号が成り立つのは、
\(\begin{eqnarray}~~~ab=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,ab\,}~\Leftrightarrow~(ab)^2&=&9\end{eqnarray}\)
\(ab\gt 0\) より、\(ab=3\) のとき
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\({\small (2)}~\)［証明］
(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(a+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,b\,}\right)\left(b+\frac{\,4\,}{\,a\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&a\cdot b+a\cdot\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a\,}+\frac{\,1\,}{\,b\,}\cdot b+\frac{\,1\,}{\,b\,}\cdot\frac{\,4\,}{\,a\,}
\\[5pt]~~~&=&ab+4+1+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,ab\,}
\\[5pt]~~~&=&ab+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,ab\,}+5~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、
\(\displaystyle ab \gt 0~,~\frac{\,4\,}{\,ab\,} \gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle ab+\frac{\,4\,}{\,ab\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{ab\cdot\frac{\,4\,}{\,ab\,}}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,4\,}=4\end{eqnarray}\)
\(\displaystyle ab+\frac{\,4\,}{\,ab\,}+5{\small ~≧~}4+5\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\displaystyle \left(a+\frac{\,1\,}{\,b\,}\right)\left(b+\frac{\,4\,}{\,a\,}\right){\small ~≧~}9\) [終]
\(\displaystyle ab=\frac{\,4\,}{\,ab\,}~\Leftrightarrow ~ (ab)^2=4\)
\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、\(ab=2\) のとき
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よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~ab+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,ab\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,ab\cdot\displaystyle \frac{\,9\,}{\,ab\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,9\,}=6\end{eqnarray}\)
したがって、\(ab+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,ab\,}{\small ~≧~}6\) [終]
また、等号が成り立つのは、
\(\begin{eqnarray}~~~ab=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,ab\,}~\Leftrightarrow~(ab)^2&=&9\end{eqnarray}\)
\(ab\gt 0\) より、\(ab=3\) のとき
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\({\small (2)}~\)［証明］
(左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(a+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,b\,}\right)\left(b+\frac{\,4\,}{\,a\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&a\cdot b+a\cdot\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a\,}+\frac{\,1\,}{\,b\,}\cdot b+\frac{\,1\,}{\,b\,}\cdot\frac{\,4\,}{\,a\,}
\\[5pt]~~~&=&ab+4+1+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,ab\,}
\\[5pt]~~~&=&ab+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,ab\,}+5~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、
\(\displaystyle ab \gt 0~,~\frac{\,4\,}{\,ab\,} \gt 0\)
よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle ab+\frac{\,4\,}{\,ab\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{ab\cdot\frac{\,4\,}{\,ab\,}}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,4\,}=4\end{eqnarray}\)
よって、\(\displaystyle ab+\frac{\,4\,}{\,ab\,}{\small ~≧~}4~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)
両辺に \(5\) を加えると、
\(\displaystyle ab+\frac{\,4\,}{\,ab\,}+5{\small ~≧~}4+5\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\displaystyle \left(a+\frac{\,1\,}{\,b\,}\right)\left(b+\frac{\,4\,}{\,a\,}\right){\small ~≧~}9\) [終]
また、等号が成立するのは \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\displaystyle ab=\frac{\,4\,}{\,ab\,}~\Leftrightarrow ~ (ab)^2=4\)
\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、\(ab=2\) のとき
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p.37 章末問題B 8\({\small (1)}~\) \((2x-y)^3\)
解法のPoint｜部分的な3次式の因数分解
解法のPoint｜x³+y³+z³-3xyzの因数分解
解法のPoint｜部分的な3次式の因数分解
\({\small (2)}~\) \((x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\)
解法のPoint｜x³+y³+z³-3xyzの因数分解
p.37 章末問題B 9[証明] \( \left(1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n\,}\right)^n \) の展開式は二項定理より、
ここで、\( n \) が2以上の自然数より、
\( {}_n \mathrm{ C }_2 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^2\,}+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^n\,} \gt 0 \)
よって、
したがって、\( \left(1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n\,}\right)^n \gt 2 \) [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n\,}\right)^n
\\[5pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n\,}+{}_n \mathrm{ C }_2 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^2\,}+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^n\,}
\\[5pt]~~~&=&1+n\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n\,}+\left({}_n \mathrm{ C }_2 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^2\,}+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^n\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&1+1+\left({}_n \mathrm{ C }_2 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^2\,}+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^n\,}\right)
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n\,}+{}_n \mathrm{ C }_2 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^2\,}+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^n\,}
\\[5pt]~~~&=&1+n\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n\,}+\left({}_n \mathrm{ C }_2 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^2\,}+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^n\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&1+1+\left({}_n \mathrm{ C }_2 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^2\,}+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^n\,}\right)
\end{eqnarray}\)
ここで、\( n \) が2以上の自然数より、
\( {}_n \mathrm{ C }_2 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^2\,}+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^n\,} \gt 0 \)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n\,}\right)^n&=&2+\left({}_n \mathrm{ C }_2 \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^2\,}+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n^n\,}\right)\\[5pt]~~~&\gt&2\end{eqnarray}\)
したがって、\( \left(1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,n\,}\right)^n \gt 2 \) [終]
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p.37 章末問題B 10\({\small (1)}~\) \(\displaystyle\frac{\,4\,}{\,1-x^4\,}\) \({\small (2)}~\) \(0\)
解法のPoint｜通分が必要な分数式の加法・減法
解法のPoint｜通分が必要な分数式の加法・減法
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