【新課程】数研出版：数学Ⅱ[709]

p.9 練習1\({\small (1)}~x^3+3x^2+3x+1\)
\({\small (2)}~x^3-6x^2+12x-8\)
\({\small (3)}~27a^3+27a^2b+9ab^2+b^3\)
\({\small (4)}~8x^3-36x^2y+54xy^2-27y^3\)

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解法のPoint｜(a+b)³の展開の公式

p.9 問1[証明]
\(~~~(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(~=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3\)
\(~=a^3+b^3\) [終]
 
[証明]
\(~~~(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
\(~=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\)
\(~=a^3-b^3\) [終]

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解法のPoint｜(a+b)(a²-ab+b²)の展開の公式

p.9 練習2\({\small (1)}~x^3+8\)
\({\small (2)}~x^3-27\)
\({\small (3)}~27x^3+y^3\)
\({\small (4)}~8x^3-27a^3\)

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解法のPoint｜(a+b)(a²-ab+b²)の展開の公式

p.10 練習3\({\small (1)}~(x+2)(x^2-2x+4)\)
\({\small (2)}~(x-4)(x^2+4x+16)\)
\({\small (3)}~(a+3b)(a^2-3ab+9b^2)\)
\({\small (4)}~(2x-5y)(4x^2+10xy+25y^2)\)

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解法のPoint｜a³+b³の因数分解の公式

p.10 練習4

※ 数式は横にスクロールできます。

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解法のPoint｜6次式と3次式の因数分解

p.10 深める

※ 数式は横にスクロールできます。

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解法のPoint｜6次式と3次式の因数分解

p.11 問2\(~5~,~10~,~10~,~5\)

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解法のPoint｜二項定理と展開式

p.12 練習5　\(1~,~6~,~15~,~20~,~15~,~6~,~1\)
　\(1~,~7~,~21~,~35~,~35~,~21~,~7~,~1\)

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解法のPoint｜二項定理と展開式

p.13 練習6

※ 数式は横にスクロールできます。

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解法のPoint｜二項定理と展開式

p.13 練習7\({\small (1)}~4860\)　　\({\small (2)}~-720\)

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解法のPoint｜二項定理と項の係数

p.13 深める\(1.~~{}_{ n } {\rm C}_{ 0 }=1~,~{}_{ n } {\rm C}_{ 1 }=n\)
\(2.~~{}_{ n } {\rm C}_{ r+1 }={}_{ n-1 } {\rm C}_{ r }+{}_{ n-1 } {\rm C}_{ r+1 }\)

p.14 練習8\({\small (1)}~\)[証明] (左辺)

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&0
\\[3pt]~~~&=&\{1+(-1)\}^n\end{eqnarray}\)

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二項定理の展開式より、

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※ 数式は横にスクロールできます。

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したがって、
\({}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-1)^n{}_n \mathrm{ C }_n=0\)
[終]

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\({\small (2)}~\)[証明] (左辺)

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(-1)^n
\\[3pt]~~~&=&(1+(-2))^n\end{eqnarray}\)

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二項定理の展開式より、

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※ 数式は横にスクロールできます。

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したがって、

[終]

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■ この問題の詳しい解説はこちら！

p.14 練習9\({\small (1)}~105\)　　\({\small (2)}~140\)　　\({\small (3)}~35\)

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解法のPoint｜(a+b+c)ⁿの項の係数

p.15 研究 練習1\(~~~2520\)

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解法のPoint｜多項定理を用いた展開式の項の係数

p.17 練習10\({\small (1)}~\)商 \(3x-4\)、余り \(6\)
\({\small (2)}~\)商 \(2x+1\)、余り \(2x+2\)
\({\small (3)}~\)商 \(4x-1\)、余り \(-7x+3\)

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解法のPoint｜多項式を多項式で割った商と余り

p.18 練習11\(~~~{\rm B}=x^2+3x-2\)

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解法のPoint｜商と余りと割る多項式

p.18 練習12　商 \(x^2-ax+2a^2\)、余り \(-2a^3\)

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解法のPoint｜2種類の文字を含む多項式の割り算

p.19 練習13\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,ax^2\,}{\,5y\,}\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x+5\,}{\,x-3\,}\)

---

\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,x^2+x+1\,}\)　　\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,a(a+4b)\,}{\,2(a-b)\,}\)

---

解法のPoint｜分数式と共通因数の約分

p.20 練習14\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,x-3y\,}{\,x\,}\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x-1\,}{\,x-4\,}\)

---

解法のPoint｜分数式の乗法・除法

p.20 練習15\({\small (1)}~x-2\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x+a\,}\)

---

解法のPoint｜分数式の加法・減法

p.21 練習16\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,x(x+2)\,}\)　　\({\small (2)}~-\displaystyle \frac{\,x-4\,}{\,(x-1)(x+2)\,}\)

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解法のPoint｜通分が必要な分数式の加法・減法

p.21 練習17\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,x\,}{\,y\,}\)　　\({\small (2)}~-a+1\)

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解法のPoint｜分母分子に分数式を含む分数式

p.22 問3　(2) と (4)

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解法のPoint｜恒等式となる等式の条件

p.23 練習18\({\small (1)}~a=3~,~b=-1\)
\({\small (2)}~a=1~,~b=2~,~c=1\)
\({\small (3)}~a=1~,~b=-3~,~c=1~,~d=0\)

---

解法のPoint｜恒等式となる等式の条件

p.24 練習19\(~~~a=-3~,~b=5\)

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解法のPoint｜分数式の恒等式

p.26 問題 1\({\small (1)}~\) \(8x^3y^3+12x^2y^2+6xy+1\)

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解法のPoint｜(a+b)³の展開の公式

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\({\small (2)}~\) \(a^6-2a^3b^3+b^6\)

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解法のPoint｜2乗×2乗の式の展開

p.26 問題 2\({\small (1)}~\) \((x+yz)(x^2-xyz+y^2z^2)\)
\({\small (2)}~\) \((x+y-1)(x^2+2xy+y^2+x+y+1)\)

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解法のPoint｜a³+b³の因数分解の公式

---

\({\small (3)}~\) \((a-3)^3\)

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解法のPoint｜a³+3a²b+3ab²+b³の因数分解の公式

p.26 問題 3\({\small (1)}~\) \(-2916\)

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解法のPoint｜x²を含む展開式の項の係数

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\({\small (2)}~\) \(-90\)

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解法のPoint｜多項定理を用いた展開式の項の係数

p.26 問題 4\({\small (1)}~\) 商 \(2x+5\)，余り \(6x-7\)

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解法のPoint｜多項式を多項式で割った商と余り

---

\({\small (2)}~\) 商 \(x^2-x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\)，余り \(-\displaystyle\frac{\,15\,}{\,2\,}\)

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解法のPoint｜商に分数を含む多項式の割り算

p.26 問題 5　\(3x^3-2x^2-5x+1\)

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解法のPoint｜商と余りと割られる多項式

p.26 問題 6\({\small (1)}~\) \(1\)　　\({\small (2)}~\) \(\displaystyle\frac{\,2x-y\,}{\,2x+y\,}\)

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解法のPoint｜分数式の乗法・除法

---

\({\small (3)}~\) \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,(x+1)^2(x+2)\,}\)

---

\({\small (4)}~\) \(\displaystyle\frac{\,3x-2\,}{\,(2x-1)(x-1)\,}\)

---

解法のPoint｜通分が必要な分数式の加法・減法

p.26 問題 7\({\small (1)}~\) \(a=2~,~b=-2~,~c=1\)
\({\small (2)}~\) \(a=-3~,~b=1~,~c=-2\)

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解法のPoint｜恒等式となる等式の条件

---

\({\small (3)}~\) \(a=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~b=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,}~,~c=\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\)

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解法のPoint｜分数式の恒等式

p.26 問題 　\(98\)

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p.28 練習20\({\small (1)}~\)[証明]
　(右辺)

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+x+1)(x^2-x+1)
\\[3pt]~~~&=&\{(x^2+1)+x\}\{(x^2+1)-x\}
\\[3pt]~~~&=&(x^2+1)^2-x^2
\\[3pt]~~~&=&x^4+2x^2+1-x^2
\\[3pt]~~~&=&x^4+x^2+1\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)\)　[終]

 
 

\({\small (2)}~\)[証明]
　(左辺)

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a^2-b^2)(x^2-y^2)
\\[3pt]~~~&=&a^2x^2-a^2y^2-b^2x^2+b^2y^2\end{eqnarray}\)

---

　(右辺)

---

---

したがって、
　\((a^2-b^2)(x^2-y^2)=(ax+by)^2-(ay+bx)^2\)　[終]

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p.28 練習21\({\small (1)}\)
[証明] \(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\)

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　（左辺）

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2-bc
\\[3pt]~~~&=&a^2-b(-a-b)
\\[3pt]~~~&=&a^2+ab+b^2\end{eqnarray}\)

---

　（右辺）

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&b^2-ac
\\[3pt]~~~&=&b^2-a(-a-b)
\\[3pt]~~~&=&b^2+a^2+ab
\\[3pt]~~~&=&a^2+ab+b^2\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(a^2-bc=b^2-ac\) [終]

 
 

\({\small (2)}\)
[証明] \(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\)

---

　（左辺）

---

---

したがって、
　\(a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0\) [終]

---

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p.28 練習22[証明] \(a+b+c=0\) より、
　\(a+b=-c~,~b+c=-a~,~c+a=-b\)

---

　（左辺）

---

---

したがって、
　\(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc=0\) [終]

---

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p.28 深める[証明]
　(右辺)\(\begin{split}=~&a^3+ab^2+ac^2-a^2b-abc-ca^2\\[2pt]&~a^2b+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-abc\\[2pt]&~a^2c+b^2c+c^3-abc-bc^2-c^2a\\[2pt]=~&a^3+b^3+c^3-3abc\end{split}\)
したがって、\(~a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(~=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
[終]
[証明]
　(左辺)−(右辺)\(\begin{split}~=~&a^3+b^3+c^3-3abc\\[2pt]~=~&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{split}\)
\(a+b+c=0\) より、\(=~0\)
したがって、\(~a^2+b^2+c^2=3abc\)
[終]

p.29 練習23\({\small (1)}~\)[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、

---

　\(a=kb~,~c=kd\)

---

　（左辺）

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,3a+2c\,}{\,3b+2d\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,3kb+2kd\,}{\,3b+2d\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(3b+2d)\,}{\,3b+2d\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)

---

（右辺）

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,3a-2c\,}{\,3b-2d\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,3kb-2kd\,}{\,3b-2d\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(3b-2d)\,}{\,3b-2d\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(\displaystyle\frac{\,3a+2c\,}{\,3b+2d\,}=\displaystyle\frac{\,3a-2c\,}{\,3b-2d\,}\) [終]

 

\({\small (2)}~\)[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、

---

　\(a=kb~,~c=kd\)

---

　（左辺）

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a^2-b^2\,}{\,a^2+b^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(kb)^2-b^2\,}{\,(kb)^2+b^2\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2 b^2-b^2\,}{\,k^2 b^2+b^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,b^2(k^2-1)\,}{\,b^2(k^2+1)\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2-1\,}{\,k^2+1\,}\end{eqnarray}\)

---

（右辺）

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,c^2-d^2\,}{\,c^2+d^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(kd)^2-d^2\,}{\,(kd)^2+d^2\,}\hspace{25pt}(\,∵~ c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2 d^2-d^2\,}{\,k^2 d^2+d^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,d^2(k^2-1)\,}{\,d^2(k^2+1)\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2-1\,}{\,k^2+1\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(\displaystyle\frac{\,a^2-b^2\,}{\,a^2+b^2\,}=\displaystyle\frac{\,c^2-d^2\,}{\,c^2+d^2\,}\) [終]

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p.29 練習24[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、

---

　\(a=kb~,~c=kd\)

---

　（左辺）

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,ma+nc\,}{\,mb+nd\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,m \cdot kb+n \cdot kd\,}{\,mb+nd\,}\hspace{20pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(mb+nd)\,}{\,mb+nd\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)

---

（右辺）

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,kb\,}{\,b\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb\,)\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(\displaystyle\frac{\,ma+nc\,}{\,mb+nd\,}=\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}\) [終]

---

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p.29 深める
[証明]
　(左辺)−(右辺)\(\begin{split}=~&\displaystyle \frac{\,a+c\,}{\,b+d\,}-\displaystyle \frac{\,a-c\,}{\,b-d\,}\\[3pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,(a+c)(b-d)-(a-c)(b+d)\,}{\,(b+d)(b-d)\,}\\[3pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,-2ad+2bc\,}{\,b^2-d^2\,}\\[3pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,-2(ad-bc)\,}{\,b^2-d^2\,}\end{split}\)
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle \frac{\,c\,}{\,d\,}\) より、\(ad-bc=0\) であるので、\(~~=~0\)
したがって、\(~~~\displaystyle \frac{\,a+c\,}{\,b+d\,}=\displaystyle \frac{\,a-c\,}{\,b-d\,}\)
[終]

p.30 練習25\(~~~a=9~,~b=12~,~c=15\)

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解法のPoint｜連比を用いた計算

p.30 練習26\(~~~a:b:c=2:1:3\)

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解法のPoint｜2つの文字の和と連比

p.31 問4\({\small (1)}~\)[証明]
\(a>b\) と基本性質２より \(a+c>b+c\)
\(c>d\) と基本性質２より \(c+b>d+b\)
これらと、基本性質１より、
　\(a+c>b+d\) [終]

 

\({\small (2)}~\)[証明]
\(a>b~,~c>0\) と基本性質３より \(ac>bc\)
\(c>d~,~b>0\) と基本性質３より \(bc>bd\)
これらと、基本性質１より、
　\(ac>bd\) [終]

p.32 練習27［証明］
　(左辺)－(右辺)

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(ac+bd)-(ad+bc)
\\[3pt]~~~&=&ac+bd-ad-bc
\\[3pt]~~~&=&ac-ad-bc+bd
\\[3pt]~~~&=&(c-d)a-(c-d)b
\\[3pt]~~~&=&(a-b)(c-d)\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(a \gt b~,~c \gt d\) より、

---

\(a-b \gt 0~,~c-d \gt 0\) であるから、

---

　\((a-b)(c-d) \gt 0\)

---

したがって、

---

　\((ac+bd)-(ad+bc) \gt 0\) となり、

---

　\(ac+bd \gt ad+bc\) [終]

---

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p.32 問5[証明]
　(左辺)－(右辺)

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a^2+b^2)-2ab
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ab+b^2
\\[3pt]~~~&=&(a-b)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(a^2+b^2{\small ~≧~}2ab\) [終]

---

また、等号が成立するのは、

---

　\(a-b=0\) すなわち \(a=b\) のとき

---

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p.33 練習28\({\small (1)}~\)[証明]
　(左辺)－(右辺)

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+ab+b^2-0
\\[3pt]~~~&=&a^2+b\,a+b^2\end{eqnarray}\)

---

\( a \) について、平方完成すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(a^2+ba+\displaystyle\frac{\,b^2\,}{\,4\,}\right)-\displaystyle\frac{\,b^2\,}{\,4\,}+b^2
\\[5pt]~~~&=&\left(a+\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( \left(a+\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2{\small ~≧~}0~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2{\small ~≧~}0 \) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\left(a+\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)

---

よって、\( a^2+ab+b^2{\small ~≧~}0 \) [終]

---

また、等号が成立するのは、

---

　\(a+\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}=0\) かつ \(b=0\)

---

　　\(~\Leftrightarrow~a=-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\) より、\(a=0\)

---

　すなわち \( a=b=0 \) のとき

---

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---

\({\small (2)}~\)[証明]
　(左辺)－(右辺)

---

---

よって、\((a^2+b^2)(x^2+y^2){\small ~≧~}(ax+by)^2\) [終]

---

また、等号が成立するのは、

---

　\(ay-bx=0\) すなわち \(ay=bx\) のとき

---

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p.33 練習29[証明]
　(左辺)－(右辺)

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+b^2-2(a+b-1)
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2-2a-2b+2
\\[3pt]~~~&=&(a^2-2a)+(b^2-2b)+2
\\[3pt]~~~&=&(a^2-2a+1)-1+(b^2-2b+1)-1+2
\\[3pt]~~~&=&(a-1)^2+(b-1)^2\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( (a-1)^2{\small ~≧~}0~,~(b-1)^2{\small ~≧~}0 \) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(a-1)^2+(b-1)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)

---

よって、\( a^2+b^2{\small ~≧~}2(a+b-1) \) [終]

---

また、等号が成立するのは、

---

　\(a-1=0\) かつ \(b-1=0\)

---

　すなわち \( a=b=1 \) のとき

---

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p.34 練習30[証明] 両辺の平方の差は、

---

　(左辺)²－(右辺)²

---

---

よって、

---

　\(\left(3\sqrt{a}+2\sqrt{b}\right)^2 \gt \left(\sqrt{9a+4b}\right)^2\)

---

ここで、\( 3\sqrt{a}+2\sqrt{b} \gt 0 \)、\( \sqrt{9a+4b} \gt 0 \) より、

---

　\(3\sqrt{a}+2\sqrt{b} \gt \sqrt{9a+4b}\) [終]

---

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p.35 練習31[証明] 両辺の平方の差は、

---

　(右辺)²－(左辺)²

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(\,|\,a\,|+|\,b\,|\,\right)^2-|\,a-b\,|^2
\\[3pt]~~~&=&|\,a\,|^2+2|\,a\,||\,b\,|+|\,b\,|^2-(a-b)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+2|\,ab\,|+b^2-\left(\,a^2-2ab+b^2\,\right)
\\[3pt]~~~&=&a^2+2|\,ab\,|+b^2-a^2+2ab-b^2
\\[3pt]~~~&=&2\left(\,|\,ab\,|+ab\,\right){\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(|\,a-b\,|^2{\small ~≦~}\left(\,|\,a\,|+|\,b\,|\,\right)^2\)

---

\(|\,a-b\,|{\small ~≧~}0~,~|\,a\,|+|\,b\,|{\small ~≧~}0\) より、

---

　\(|\,a-b\,|{\small ~≦~}|\,a\,|+|\,b\,|\) [終]

---

等号が成り立つのは、

---

　\(|\,ab\,|+ab=0~~\Leftrightarrow~~|\,ab\,|=-ab\)

---

　すなわち \(ab{\small ~≦~}0\) のとき

---

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p.37 問6［証明］
　(左辺)

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b)\left(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}+\frac{\,1\,}{\,b\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&a\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}+a\cdot\frac{\,1\,}{\,b\,}+b\cdot\frac{\,1\,}{\,a\,}+b\cdot\frac{\,1\,}{\,b\,}
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}+2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、

---

　\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,} \gt 0~,~\frac{\,b\,}{\,a\,} \gt 0\)

---

よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\frac{\,a\,}{\,b\,}\cdot\frac{\,b\,}{\,a\,}}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,1\,}=2\end{eqnarray}\)

---

よって、\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)

---

両辺に \(2\) を加えると、

---

　\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}+2{\small ~≧~}2+2\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、

---

　\(\displaystyle (a+b)\left(\frac{\,1\,}{\,a\,}+\frac{\,1\,}{\,b\,}\right){\small ~≧~}4\) [終]

---

また、等号が成立するのは \({\small [\,2\,]}\) より、

---

　\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}=\frac{\,b\,}{\,a\,}~\Leftrightarrow ~ a^2=b^2\)

---

　\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、\(a=b\) のとき

---

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p.37 練習32\({\small (1)}~\)[証明] \(a\gt 0\) より、\(2a\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}\gt 0\)

---

よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~2a+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,2a\cdot\displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,6\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(2a+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2\sqrt{\,6\,}\) [終]

---

また、等号が成り立つのは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~2a=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,a\,}~\Leftrightarrow~2a^2&=&3\\[5pt]~~~a^2&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

---

　\(a\gt 0\) より、\(a=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,2\,}\) のとき

---

■ この問題の詳しい解説はこちら！

---

\({\small (2)}~\)［証明］
　(左辺)

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(\displaystyle\frac{\,b\,}{\,a\,}+\frac{\,d\,}{\,c\,}\right)\left(\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,c\,}{\,d\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,b\,}{\,a\,}\cdot\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}\cdot\frac{\,c\,}{\,d\,}+\frac{\,d\,}{\,c\,}\cdot\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,d\,}{\,c\,}\cdot\frac{\,c\,}{\,d\,}
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle\frac{\,bc\,}{\,ad\,}+\frac{\,ad\,}{\,bc\,}+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,bc\,}{\,ad\,}+\frac{\,ad\,}{\,bc\,}+2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(a \gt 0~,~b \gt 0~,~c \gt 0~,~d \gt 0\) より、

---

　\(\displaystyle \frac{\,bc\,}{\,ad\,} \gt 0~,~\frac{\,ad\,}{\,bc\,} \gt 0\)

---

よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,bc\,}{\,ad\,}+\frac{\,ad\,}{\,bc\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\frac{\,bc\,}{\,ad\,}\cdot\frac{\,ad\,}{\,bc\,}}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,1\,}=2\end{eqnarray}\)

---

よって、\(\displaystyle \frac{\,bc\,}{\,ad\,}+\frac{\,ad\,}{\,bc\,}{\small ~≧~}2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)

---

両辺に \(2\) を加えると、

---

　\(\displaystyle \frac{\,bc\,}{\,ad\,}+\frac{\,ad\,}{\,bc\,}+2{\small ~≧~}2+2\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、

---

　\(\displaystyle \left(\frac{\,b\,}{\,a\,}+\frac{\,d\,}{\,c\,}\right)\left(\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,c\,}{\,d\,}\right){\small ~≧~}4\) [終]

---

また、等号が成立するのは \({\small [\,2\,]}\) より、

---

　\(\displaystyle \frac{\,bc\,}{\,ad\,}=\frac{\,ad\,}{\,bc\,}~\Leftrightarrow ~ (bc)^2=(ad)^2\)

---

　\(a \gt 0~,~b \gt 0~,~c \gt 0~,~d \gt 0\) より、\(ad=bc\) のとき

---

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p.37 深めるそれぞれの等号成立条件は、

---

\(x>0\) かつ \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) より、\(x=1\)

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\(x>0\) かつ \(x=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,x\,}\) より、\(x=2\)

---

となるので、\(~x+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}=2~,~x+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,x\,}=4\)
を同時に満たす \(x\) は存在しないから

p.38 問題9\({\small (1)}~\)[証明]
　(右辺)

---

---

したがって、\(x^3+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^3\,}=\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^3-3\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)\)　[終]

 
 

\({\small (2)}~\)[証明]
　(右辺)

---

---

したがって、\(x^3-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^3\,}=\left(x-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^3+3\left(x-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)\)　[終]

---

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p.38 問題10[証明] \(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\)

---

　（左辺）

---

---

したがって、

---

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p.38 問題11[証明] \(\displaystyle\frac{\,x\,}{\,a\,}=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,z\,}{\,c\,}=k\) とおくと、

---

　\(x=ka~,~y=kb~,~z=kc\)

---

　（左辺）

---

---

（右辺）

---

---

したがって、\(\displaystyle\frac{\,x+2y+3z\,}{\,a+2b+3c\,}=\displaystyle\frac{\,x+y+z\,}{\,a+b+c\,}\) [終]

---

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p.38 問題12[証明] 両辺の平方の差は、

---

　(右辺)²－(左辺)²

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(1+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}\right)^2-\left(\sqrt{1+a}\right)^2
\\[5pt]~~~&=&1+a+\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,4\,}-(1+a)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,4\,}~\gt~0\end{eqnarray}\)

---

よって、

---

　\(\left(1+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}\right)^2 \gt \left(\sqrt{1+a}\right)^2\)

---

ここで、\( a \gt 0 \) であるので、\( 1+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,} \gt 0 \)、\( \sqrt{1+a} \gt 0 \) より、

---

　\(1+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,} \gt \sqrt{1+a}\)

---

したがって、

---

　\(\sqrt{1+a} \lt 1+\displaystyle \frac{\,a\,}{\,2\,}\) [終]

---

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p.38 問題13\({\small (1)}~\)[証明]

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\(\small [\,1\,]\) \(|\,a\,|-|\,b\,|\lt 0\) のとき

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　\(|\,a-b\,|{\small ~≧~}0\) であるから、\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a-b\,|\) は成り立つ

---

\(\small [\,2\,]\) \(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≧~}0\) のとき

---

　両辺の平方の差は、

---

　(右辺)²－(左辺)²

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&|\,a-b\,|^2-\left(\,|\,a\,|-|\,b\,|\,\right)^2
\\[3pt]~~~&=&(a-b)^2-\left(\,|\,a\,|^2-2|\,a\,||\,b\,|+|\,b\,|^2\,\right)
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ab+b^2-a^2+2|\,ab\,|-b^2
\\[3pt]~~~&=&2\left(\,|\,ab\,|-ab\,\right){\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)

---

---

よって、\(|\,a-b\,|^2{\small ~≧~}\left(\,|\,a\,|-|\,b\,|\,\right)^2\)

---

\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≧~}0~,~|\,a-b\,|{\small ~≧~}0\) より、

---

　\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a-b\,|\)

---

\(\small [\,1\,]\)、\(\small [\,2\,]\) より、\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a-b\,|\) [終]

 

\({\small (2)}~\)[証明]

---

\(\small [\,1\,]\) \(|\,a\,|-|\,b\,|\lt 0\) のとき

---

　\(|\,a+b\,|{\small ~≧~}0\) であるから、\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a+b\,|\) は成り立つ

---

\(\small [\,2\,]\) \(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≧~}0\) のとき

---

　両辺の平方の差は、

---

　(右辺)²－(左辺)²

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&|\,a+b\,|^2-\left(\,|\,a\,|-|\,b\,|\,\right)^2
\\[3pt]~~~&=&(a+b)^2-\left(\,|\,a\,|^2-2|\,a\,||\,b\,|+|\,b\,|^2\,\right)
\\[3pt]~~~&=&a^2+2ab+b^2-a^2+2|\,ab\,|-b^2
\\[3pt]~~~&=&2\left(\,|\,ab\,|+ab\,\right){\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)

---

---

よって、\(|\,a+b\,|^2{\small ~≧~}\left(\,|\,a\,|-|\,b\,|\,\right)^2\)

---

\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≧~}0~,~|\,a+b\,|{\small ~≧~}0\) より、

---

　\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a+b\,|\)

---

\(\small [\,1\,]\)、\(\small [\,2\,]\) より、\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a+b\,|\) [終]

---

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p.38 問題14\({\small (1)}~\)[証明] \(a\gt 0~,~b\gt 0\) より、\(ab\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,ab\,}\gt 0\)

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よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~ab+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,ab\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,ab\cdot\displaystyle \frac{\,4\,}{\,ab\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,4\,}=4\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(ab+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,ab\,}{\small ~≧~}4\) [終]

---

また、等号が成り立つのは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~ab=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,ab\,}~\Leftrightarrow~(ab)^2&=&4\end{eqnarray}\)

---

　\(ab\gt 0\) より、\(ab=2\) のとき

---

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\({\small (2)}~\)
［証明］
　(左辺)

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(a+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,b\,}\right)\left(b+\frac{\,9\,}{\,a\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&a\cdot b+a\cdot\displaystyle\frac{\,9\,}{\,a\,}+\frac{\,4\,}{\,b\,}\cdot b+\frac{\,4\,}{\,b\,}\cdot\frac{\,9\,}{\,a\,}
\\[5pt]~~~&=&ab+9+4+\displaystyle\frac{\,36\,}{\,ab\,}
\\[5pt]~~~&=&ab+\displaystyle\frac{\,36\,}{\,ab\,}+13~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、

---

　\(\displaystyle ab \gt 0~,~\frac{\,36\,}{\,ab\,} \gt 0\)

---

よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle ab+\frac{\,36\,}{\,ab\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{ab\cdot\frac{\,36\,}{\,ab\,}}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,36\,}=12\end{eqnarray}\)

---

よって、\(\displaystyle ab+\frac{\,36\,}{\,ab\,}{\small ~≧~}12~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)

---

両辺に \(13\) を加えると、

---

　\(\displaystyle ab+\frac{\,36\,}{\,ab\,}+13{\small ~≧~}12+13\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、

---

　\(\displaystyle \left(a+\frac{\,4\,}{\,b\,}\right)\left(b+\frac{\,9\,}{\,a\,}\right){\small ~≧~}25\) [終]

---

また、等号が成立するのは \({\small [\,2\,]}\) より、

---

　\(\displaystyle ab=\frac{\,36\,}{\,ab\,}~\Leftrightarrow ~ (ab)^2=36\)

---

　\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、\(ab=6\) のとき

---

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p.38 問題 15　\(a=2\) のとき最小値 \(18\)

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p.38 問題 16[証明] 長方形の隣り合う \(2\) 辺の長さを \(a~,~b\) とする

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面積が一定値 \(S\) より、

---

　\(ab=S~~~\cdots{\small [\,1\,]}\)

---

また、周の長さは \(2(a+b)\) である

---

\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、相加平均と相乗平均の大小関係から、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle\frac{\,a+b\,}{\,2\,}&{\small ~≧~}&\sqrt{ab}
\\[5pt]~~~\displaystyle\frac{\,a+b\,}{\,2\,}&{\small ~≧~}&\sqrt{S}\hspace{20pt}(\,∵~{\small [\,1\,]}\,)
\\[5pt]~~~a+b&{\small ~≧~}&2\sqrt{S}
\\[5pt]~~~2(a+b)&{\small ~≧~}&4\sqrt{S}
\end{eqnarray}\)

---

また、等号が成立するのは \(a=b\) のときで、そのとき周の長さは \(2(a+b)\) は最小値 \(4\sqrt{S}\) をとる

---

よって、\(a=b\) のとき、この長方形は正方形となる

---

したがって、面積が一定値 \(S\) である長方形のうち、周の長さが最小となるのは正方形である。

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p.39 演習問題A 1　\(0\)

---

解法のPoint｜通分が必要な分数式の加法・減法

p.39 演習問題A 2　\(a=3\)、商 \(x+2\)

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解法のPoint｜文字係数を含む多項式の割り算

p.39 演習問題A 3[証明]
　(左辺)－(右辺)

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^3+b^3+c^3-3abc\end{eqnarray}\)

---

等式を用いると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\end{eqnarray}\)

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後半部分を \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) でくくり出すと、

---

ここで、

---

\(a \gt 0~,~b \gt 0~,~c \gt 0\) より、\(a+b+c \gt 0\)

---

\((a-b)^2 {\small ~≧~} 0~,~(b-c)^2 {\small ~≧~} 0~,~(c-a)^2 {\small ~≧~} 0\) より、\((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 {\small ~≧~} 0\)

---

であることから、

---

---

したがって、\(a^3+b^3+c^3 {\small ~≧~} 3abc\) [終]

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p.39 演習問題A 4[証明] \( (1+x)^n \) の展開式は二項定理より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+x)^n
\\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1 \,x+{}_n \mathrm{ C }_2 \,x^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \,x^n
\\[3pt]~~~&=&1+nx+\left({}_n \mathrm{ C }_2 \,x^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \,x^n\right)\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( n \) が2以上の自然数、\( x \gt 0 \) より、

---

　\( {}_n \mathrm{ C }_2 \,x^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \,x^n \gt 0 \)

---

よって、

---

---

したがって、\( (1+x)^n \gt 1+nx \) [終]

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p.39 演習問題B 5　\(x=1~,~y=2\)

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p.39 演習問題B 6[証明]（左辺）を \(x~,~y~,~z\) についてまとめると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&a(y-z)+b(z-x)+c(x-y)\\[3pt]~~~&=&ay-az+bz-bx+cx-cy\\[3pt]~~~&=&(-b+c)x+(a-c)y+(-a+b)z\\[3pt]~~~&=&(c-b)x+(a-c)y+(b-a)z\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(\displaystyle\frac{\,x\,}{\,b+c\,}=\displaystyle\frac{\,y\,}{\,c+a\,}=\displaystyle\frac{\,z\,}{\,a+b\,}=k\) とおくと、

---

　\(x=k(b+c)~,~y=k(c+a)~,~z=k(a+b)\)

---

これを代入すると、

---

---

（左辺）\(=\)（右辺）となるので、

---

　\(a(y-z)+b(z-x)+c(x-y)=0\) [終]

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p.39 演習問題B 7[証明]
等式について、

---

　(左辺)

---

---

　(右辺)

---

---

したがって、

---

 

次に、不等式について、

---

　(左辺)－(右辺)

---

---

等式より、

---

---

したがって、

---

---

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p.39 演習問題B 8　\(\displaystyle 2ab \lt \frac{\,1\,}{\,2\,} \lt a^2+b^2\)

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p.39 演習問題B 9\({\small (1)}~\)[証明]

---

\(|\,a\,|\lt 1~,~|\,b\,|\lt 1\) より、

---

　\(|\,ab\,| \lt 1\)

---

よって、\(-1\lt ab\lt 1\)

---

\(\begin{eqnarray}~~~-1&\lt &ab
\\[3pt]~~~ab&\gt &-1
\\[3pt]~~~ab+1&\gt &0
\end{eqnarray}\)

---

[終]

 

\({\small (2)}~\)[証明] 両辺の平方の差は、

---

　(右辺)²－(左辺)²

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(1+ab)^2-|\,a+b\,|^2
\\[3pt]~~~&=&1+2ab+a^2b^2-(a+b)^2
\\[3pt]~~~&=&1+2ab+a^2b^2-\left(\,a^2+2ab+b^2\,\right)
\\[3pt]~~~&=&1+a^2b^2-a^2-b^2
\\[3pt]~~~&=&\left(\,1-a^2\,\right)-b^2\left(\,1-a^2\,\right)
\\[3pt]~~~&=&\left(\,1-a^2\,\right)\left(\,1-b^2\,\right)\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(|\,a\,|\lt 1\) より \(a^2\lt 1\) であるから、

---

　\(1-a^2\gt 0\)

---

また、\(|\,b\,|\lt 1\) より \(b^2\lt 1\) であるから、

---

　\(1-b^2\gt 0\)

---

よって、\(\left(\,1-a^2\,\right)\left(\,1-b^2\,\right)\gt 0\)

---

ゆえに、\((1+ab)^2\gt |\,a+b\,|^2\)

---

(1) より \(1+ab\gt 0\) であるから、

---

　\(|\,a+b\,|\lt 1+ab\) [終]

---

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