【新課程】数研出版：高等学校数学Ⅱ[710]

p.9 練習1\({\small (1)}~x^3+6x^2+12x+8\)
\({\small (2)}~x^3-3x^2+3x-1\)
\({\small (3)}~27a^3+27a^2b+9ab^2+b^3\)
\({\small (4)}~x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3\)

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解法のPoint｜(a+b)³の展開の公式

p.9練習2[証明]
\(~~~(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(~=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3\)
\(~=a^3+b^3\) [終]
 
[証明]
\(~~~(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
\(~=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\)
\(~=a^3-b^3\) [終]

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解法のPoint｜(a+b)(a²-ab+b²)の展開の公式

p.9 練習3\({\small (1)}~x^3+8\)
\({\small (2)}~x^3-27\)
\({\small (3)}~x^3+27y^3\)
\({\small (4)}~8x^3-a^3\)

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解法のPoint｜(a+b)(a²-ab+b²)の展開の公式

p.10 練習4\({\small (1)}~(x-1)(x^2+x+1)\)
\({\small (2)}~(x+3a)(x^2-3ax+9a^2)\)
\({\small (3)}~(x-4)(x^2+4x+16)\)
\({\small (4)}~(5x-y)(25x^2+5xy+y^2)\)

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解法のPoint｜a³+b³の因数分解の公式

p.10 練習5

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解法のPoint｜6次式と3次式の因数分解

p.10 深める\(\begin{split}&x^6-y^6\\[2pt]=~&(x^2)^3-(y^2)^3\\[2pt]&(x^2-y^2)\{(x^2)^2+x^2y^2+(y^2)^2\}\\[2pt]=~&(x^2-y^2)\{x^4+2x^2y^2+y^4-(xy)^2\}\\[2pt]~~=~&(x^2-y^2)\{(x^2+y^2)^2-(xy)^2\}\\[2pt]~~=~&(x^2-y^2)(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)\\[2pt]~~=~&(x+y)(x-y)\\[2pt]&~~(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)\end{split}\)

p.11 練習6\(~5~,~10~,~10~,~5\)

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解法のPoint｜二項定理と展開式

p.11 練習7\(~1~,~6~,~15~,~20~,~15~,~6~,~1\)

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解法のPoint｜二項定理と展開式

p.13 練習8

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解法のPoint｜二項定理と展開式

p.13 練習9\({\small (1)}~96\)　　\({\small (2)}~-80\)

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解法のPoint｜二項定理と項の係数

p.13 深める\(1.~~{}_{ n } {\rm C}_{ 0 }=1~,~{}_{ n } {\rm C}_{ 1 }=n\)
\(2.~~{}_{ n } {\rm C}_{ r+1 }={}_{ n-1 } {\rm C}_{ r }+{}_{ n-1 } {\rm C}_{ r+1 }\)

p.14 練習10[証明] (左辺)

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&0
\\[3pt]~~~&=&\{1+(-1)\}^n\end{eqnarray}\)

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二項定理の展開式より、

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※ 数式は横にスクロールできます。

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したがって、
\({}_n \mathrm{ C }_0-{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2-\cdots+(-1)^n{}_n \mathrm{ C }_n=0\)
[終]

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■ この問題の詳しい解説はこちら！

p.14 練習11\({\small (1)}~60\)　　\({\small (2)}~90\)　　\({\small (3)}~15\)

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解法のPoint｜(a+b+c)ⁿの項の係数

p.15 研究 練習1\(~~~2520\)

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解法のPoint｜多項定理を用いた展開式の項の係数

p.15 深める並んでいる \(n\) 個の \((a+b+c)\) のそれぞれから、
\(a\) を \(p\) 個、\(b\) を \(q\) 個、\(c\) を \(r\) 個
(ただし、\(p+q+r=n\)) 取り出す場合の数は、同じものを含む順列となるので、
　\(\displaystyle \frac{\,n!\,}{\,p!q!r!\,}\) 通り
となる
よって、\(a^pb^qc^r\) の係数が \(\displaystyle \frac{\,n!\,}{\,p!q!r!\,}\) となる

p.17 練習12\({\small (1)}~\)商 \(x^2-x-3\)、余り \(-14\)
\({\small (2)}~\)商 \(2x+7\)、余り \(x-10\)
\({\small (3)}~\)商 \(x-2\)、余り \(0\)

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解法のPoint｜多項式を多項式で割った商と余り

p.18 練習13\(~~~x^2+x-1\)

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解法のPoint｜商と余りと割る多項式

p.18 練習14　商 \(2x-5a\)、余り \(0\)

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解法のPoint｜2種類の文字を含む多項式の割り算

p.19 練習15\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,5b^2\,}{\,2a^2\,}\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x-3\,}{\,x+4\,}\)　　\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,2x-1\,}\)

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解法のPoint｜分数式と共通因数の約分

p.19 練習16\({\small (1)}~2x\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x-3\,}{\,x^2\,}\)

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解法のPoint｜分数式の乗法・除法

p.20 練習17\({\small (1)}~3\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x+4\,}{\,2x-1\,}\)　　\({\small (3)}~2x+1\)

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解法のPoint｜分数式の加法・減法

p.21 練習18\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,5x-1\,}{\,(x+1)(x-2)\,}\)　　\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,x+1\,}{\,x\,}\)

---

\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,x-1\,}{\,x-3\,}\)　　\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,3x+1\,}{\,x(x-1)\,}\)

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解法のPoint｜通分が必要な分数式の加法・減法

p.21 練習19\(~~~\displaystyle \frac{1}{\,x-1\,}\)

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解法のPoint｜分母分子に分数式を含む分数式

p.22 練習20　(1) と (4)

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解法のPoint｜恒等式となる等式の条件

p.23 練習21\(~~~a=2~,~b=-1~,~c=5\)

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解法のPoint｜恒等式となる等式の条件

p.24 練習22\(~~~a=1~,~b=-1\)

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解法のPoint｜分数式の恒等式

p.24 研究 練習1\(~~~a=2~,~b=1~,~c=-3\)

p.26 問題 1\({\small (1)}~\) \(8x^3-36x^2y+54xy^2-27y^3\)

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解法のPoint｜(a+b)³の展開の公式

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\({\small (2)}~\) \(a^6+2a^3b^3+b^6\)

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解法のPoint｜2乗×2乗の式の展開

p.26 問題 2

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解法のPoint｜a³+b³の因数分解の公式

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解法のPoint｜6次式と3次式の因数分解

p.26 問題 3\({\small (1)}~\) \(576\)

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解法のPoint｜x²を含む展開式の項の係数

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\({\small (2)}~\) \(1080\)

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解法のPoint｜多項定理を用いた展開式の項の係数

p.26 問題 4\({\small (1)}~\) \(x^3+x^2-5x-1\)

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解法のPoint｜商と余りと割られる多項式

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\({\small (2)}~\) \(x^2+3x-2\)

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解法のPoint｜商と余りと割る多項式

p.26 問題 5　\(\displaystyle\frac{\,3\,}{\,x(x+3)\,}\)

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解法のPoint｜通分が必要な分数式の加法・減法

p.26 問題 6　\(x-1\)

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解法のPoint｜分母分子に分数式を含む分数式

p.26 問題 7\({\small (1)}~\) \(a=-4~,~b=1\)
\({\small (2)}~\) \(a=1~,~b=3~,~c=1~,~d=0\)

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解法のPoint｜恒等式となる等式の条件

p.26 問題 8　\(a=4~,~b=3~,~c=6~,~d=4\)

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解法のPoint｜文字係数を含む多項式の割り算

p.27 練習23\({\small (1)}~\)[証明]
　(右辺)

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a-b)^3+3ab(a-b)
\\[3pt]~~~&=&a^3-3a^2b+3ab^2-b^3+3a^2b-3ab^2
\\[3pt]~~~&=&a^3-b^3\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(a^3-b^3=(a-b)^3+3ab(a-b)\)　[終]

 

\({\small (2)}~\)[証明]
　(右辺)

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(a+\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2
\\[5pt]~~~&=&a^2+2\cdot a\cdot\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}+\displaystyle\frac{\,b^2\,}{\,4\,}+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2
\\[5pt]~~~&=&a^2+ab+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,4\,}b^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2
\\[5pt]~~~&=&a^2+ab+b^2\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(a^2+ab+b^2=\left(a+\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2\)　[終]

 

\({\small (3)}~\)[証明]
　(左辺)

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(1+x)^3
\\[3pt]~~~&=&1+3x+3x^2+x^3\end{eqnarray}\)

---

　(右辺)

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&1+x+x(1+x)+x(1+x)^2
\\[3pt]~~~&=&1+x+x+x^2+x(1+2x+x^2)
\\[3pt]~~~&=&1+2x+x^2+x+2x^2+x^3
\\[3pt]~~~&=&1+3x+3x^2+x^3\end{eqnarray}\)

---

したがって、\((1+x)^3=1+x+x(1+x)+x(1+x)^2\)　[終]

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p.27 練習24[証明] \(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\)

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　（左辺）

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+ca
\\[3pt]~~~&=&a^2+(-a-b)a
\\[3pt]~~~&=&a^2-a^2-ab
\\[3pt]~~~&=&-ab\end{eqnarray}\)

---

　（右辺）

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&b^2+bc
\\[3pt]~~~&=&b^2+b(-a-b)
\\[3pt]~~~&=&b^2-ab-b^2
\\[3pt]~~~&=&-ab\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(a^2+ca=b^2+bc\) [終]

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p.27 練習25[証明] \(a+b+c=0\) より、
　\(a+b=-c~,~b+c=-a~,~c+a=-b\)

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　（左辺）

---

---

したがって、

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p.28 練習26\({\small (1)}~\)[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、

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　\(a=kb~,~c=kd\)

---

　（左辺）

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a+c\,}{\,b+d\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,kb+kd\,}{\,b+d\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(b+d)\,}{\,b+d\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)

---

（右辺）

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,2a-3c\,}{\,2b-3d\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,2kb-3kd\,}{\,2b-3d\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb~,~c=kd\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k(2b-3d)\,}{\,2b-3d\,}\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(\displaystyle\frac{\,a+c\,}{\,b+d\,}=\displaystyle\frac{\,2a-3c\,}{\,2b-3d\,}\) [終]

 

\({\small (2)}~\)[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、

---

　\(a=kb~,~c=kd\)

---

　（左辺）

---

---

（右辺）

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a^2\,}{\,b^2\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,(kb)^2\,}{\,b^2\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb\,)\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,k^2 b^2\,}{\,b^2\,}\\[3pt]~~~&=&k^2\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(\displaystyle\frac{\,a^2+c^2\,}{\,b^2+d^2\,}=\displaystyle\frac{\,a^2\,}{\,b^2\,}\) [終]

---

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p.29 深める[証明]
　(左辺)−(右辺)
\(\begin{split}~~=~&\displaystyle \frac{\,a+c\,}{\,b+d\,}-\displaystyle \frac{\,a-c\,}{\,b-d\,}\\[3pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,(a+c)(b-d)-(a-c)(b+d)\,}{\,(b+d)(b-d)\,}\\[3pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,-2ad+2bc\,}{\,b^2-d^2\,}\\[3pt]~~=~&\displaystyle \frac{\,-2(ad-bc)\,}{\,b^2-d^2\,}\end{split}\)
\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle \frac{\,c\,}{\,d\,}\) より、\(ad-bc=0\) であるので、
\(~~=~0\)
したがって、
\(~~~\displaystyle \frac{\,a+c\,}{\,b+d\,}=\displaystyle \frac{\,a-c\,}{\,b-d\,}\)
[終]

p.30 練習27［証明］
　(左辺)－(右辺)

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(3x-4y)-(x-2y)
\\[3pt]~~~&=&3x-4y-x+2y
\\[3pt]~~~&=&2x-2y
\\[3pt]~~~&=&2(x-y)\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(x \gt y\) より、

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\(x-y \gt 0\) であるから、

---

　\(2(x-y) \gt 0\)

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したがって、

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　\((3x-4y)-(x-2y) \gt 0\) となり、

---

　\(3x-4y \gt x-2y\) [終]

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p.30 練習28［証明］
　(左辺)－(右辺)

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(xy+6)-(3x+2y)
\\[3pt]~~~&=&xy+6-3x-2y
\\[3pt]~~~&=&xy-3x-2y+6
\\[3pt]~~~&=&(y-3)x-2(y-3)
\\[3pt]~~~&=&(x-2)(y-3)\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(x \gt 2~,~y \gt 3\) より、

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\(x-2 \gt 0~,~y-3 \gt 0\) であるから、

---

　\((x-2)(y-3) \gt 0\)

---

したがって、

---

　\((xy+6)-(3x+2y) \gt 0\) となり、

---

　\(xy+6 \gt 3x+2y\) [終]

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p.31 練習29\({\small (1)}~\)[証明]
　(左辺)－(右辺)

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(x^2+9y^2)-6xy
\\[3pt]~~~&=&x^2-6xy+9y^2
\\[3pt]~~~&=&(x-3y)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)

---

よって、\(x^2+9y^2{\small ~≧~}6xy\) [終]

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また、等号が成立するのは、

---

　\(x-3y=0\) すなわち \(x=3y\) のとき

 

\({\small (2)}~\)[証明]
　(左辺)－(右辺)

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b)^2-4ab
\\[3pt]~~~&=&a^2+2ab+b^2-4ab
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ab+b^2
\\[3pt]~~~&=&(a-b)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)

---

よって、\((a+b)^2{\small ~≧~}4ab\) [終]

---

また、等号が成立するのは、

---

　\(a-b=0\) すなわち \(a=b\) のとき

---

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\({\small (3)}~\)[証明]
　(左辺)－(右辺)

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&2x^2+9y^2-6xy
\\[3pt]~~~&=&x^2+(x^2-6xy+9y^2)
\\[3pt]~~~&=&x^2+(x-3y)^2\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( x^2{\small ~≧~}0~,~(x-3y)^2{\small ~≧~}0 \) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(x-3y)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)

---

よって、\( 2x^2+9y^2{\small ~≧~}6xy \) [終]

---

また、等号が成立するのは、

---

　\(x=0\) かつ \(x-3y=0\)

---

　すなわち \( x=y=0 \) のとき

 

\({\small (4)}~\)[証明]
　(左辺)

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2-ab+b^2
\\[3pt]~~~&=&a^2-b\,a+b^2\end{eqnarray}\)

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\( a \) について、平方完成すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(a^2-ba+\displaystyle\frac{\,b^2\,}{\,4\,}\right)-\displaystyle\frac{\,b^2\,}{\,4\,}+b^2
\\[5pt]~~~&=&\left(a-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2\end{eqnarray}\)

---

ここで、\( \left(a-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2{\small ~≧~}0~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2{\small ~≧~}0 \) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\left(a-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,4\,}b^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)

---

よって、\( a^2-ab+b^2{\small ~≧~}0 \) [終]

---

また、等号が成立するのは、

---

　\(a-\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}=0\) かつ \(b=0\)

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　　\(~\Leftrightarrow~a=\displaystyle\frac{\,b\,}{\,2\,}\) より、\(a=0\)

---

　すなわち \( a=b=0 \) のとき

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p.32 練習30[証明] 両辺の平方の差は、

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　(左辺)²－(右辺)²

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(1+x\right)^2-\left(\sqrt{1+2x}\right)^2
\\[3pt]~~~&=&1+2x+x^2-(1+2x)
\\[3pt]~~~&=&x^2~\gt~0\end{eqnarray}\)

---

よって、

---

　\(\left(1+x\right)^2 \gt \left(\sqrt{1+2x}\right)^2\)

---

ここで、\( x \gt 0 \) であるので、\( 1+x \gt 0 \)、\( \sqrt{1+2x} \gt 0 \) より、

---

　\(1+x \gt \sqrt{1+2x}\) [終]

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p.33 練習31[証明] 両辺の平方の差は、

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　(左辺)²－(右辺)²

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(\,|\,a\,|+|\,b\,|\,\right)^2-|\,a-b\,|^2
\\[3pt]~~~&=&|\,a\,|^2+2|\,a\,||\,b\,|+|\,b\,|^2-(a-b)^2
\\[3pt]~~~&=&a^2+2|\,ab\,|+b^2-\left(\,a^2-2ab+b^2\,\right)
\\[3pt]~~~&=&a^2+2|\,ab\,|+b^2-a^2+2ab-b^2
\\[3pt]~~~&=&2\left(\,|\,ab\,|+ab\,\right){\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)

---

---

よって、\(\left(\,|\,a\,|+|\,b\,|\,\right)^2{\small ~≧~}|\,a-b\,|^2\)

---

\(|\,a\,|+|\,b\,|{\small ~≧~}0~,~|\,a-b\,|{\small ~≧~}0\) より、

---

　\(|\,a\,|+|\,b\,|{\small ~≧~}|\,a-b\,|\) [終]

---

等号が成り立つのは、

---

　\(|\,ab\,|+ab=0~~\Leftrightarrow~~|\,ab\,|=-ab\)

---

　すなわち \(ab{\small ~≦~}0\) のとき

---

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p.35 練習32\({\small (1)}~\)
[証明] \(a\gt 0\) より、\(a\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\gt 0\)

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よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,a\cdot\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,4\,}=4\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(a+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}{\small ~≧~}4\) [終]

---

また、等号が成り立つのは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~a=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,a\,}~\Leftrightarrow~a^2&=&4\end{eqnarray}\)

---

　\(a\gt 0\) より、\(a=2\) のとき

 

\({\small (2)}~\)
[証明] \(a\gt 0~,~b\gt 0\) より、\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\gt 0\)

---

よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\cdot\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,1\,}=2\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2\) [終]

---

また、等号が成り立つのは、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}~\Leftrightarrow~a^2&=&b^2\end{eqnarray}\)

---

　\(a\gt 0~,~b\gt 0\) より、\(a=b\) のとき

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p.36 問題9\({\small (1)}~\)[証明]
　(右辺)

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^2-2
\\[5pt]~~~&=&x^2+2\cdot x\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^2\,}-2
\\[5pt]~~~&=&x^2+2+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^2\,}-2
\\[5pt]~~~&=&x^2+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^2\,}\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(x^2+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^2\,}=\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^2-2\)　[終]

 

\({\small (2)}~\)[証明]
　(右辺)

---

---

したがって、\(x^3+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x^3\,}=\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)^3-3\left(x+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\right)\)　[終]

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p.36 問題10[証明] \(a+b+c=0\) より、\(c=-a-b\)

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　（左辺）

---

---

したがって、\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\) [終]

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p.36 問題11[証明] \(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}=k\) とおくと、

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　\(a=kb~,~c=kd\)

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　（左辺）

---

---

（右辺）

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}\\[3pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,kb\,}{\,b\,}\hspace{25pt}(\,∵~ a=kb\,)\\[3pt]~~~&=&k\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\displaystyle\frac{\,ma+nc\,}{\,mb+nd\,}=\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}\) [終]

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p.36 問題12\(~~~ax+by \gt bx+ay\)

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p.36 問題13[証明] 両辺の平方の差は、

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　(左辺)²－(右辺)²

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(\sqrt{2(a+b)}\right)^2-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2
\\[3pt]~~~&=&(a+b)-\left\{\left(\sqrt{a}\right)^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^2\right\}
\\[3pt]~~~&=&2(a+b)-(a+2\sqrt{ab}+b)
\\[3pt]~~~&=&2a+2b-a-2\sqrt{ab}-b
\\[3pt]~~~&=&a-2\sqrt{ab}+b
\\[3pt]~~~&=&\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)

---

よって、

---

　\(\left(\sqrt{2(a+b)}\right)^2 {\small ~≧~} \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

---

ここで、\( \sqrt{2(a+b)} \gt 0 \)、\( \sqrt{a}+\sqrt{b} \gt 0 \) より、

---

　\(\sqrt{2(a+b)} {\small ~≧~} \sqrt{a}+\sqrt{b}\) [終]

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p.36 問題14証明］
　(左辺)

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(a+b)\left(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}+\frac{\,1\,}{\,b\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&a\cdot\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}+a\cdot\frac{\,1\,}{\,b\,}+b\cdot\frac{\,1\,}{\,a\,}+b\cdot\frac{\,1\,}{\,b\,}
\\[5pt]~~~&=&1+\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}+1
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}+2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、

---

　\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,} \gt 0~,~\frac{\,b\,}{\,a\,} \gt 0\)

---

よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\frac{\,a\,}{\,b\,}\cdot\frac{\,b\,}{\,a\,}}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,1\,}=2\end{eqnarray}\)

---

よって、\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)

---

両辺に \(2\) を加えると、

---

　\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}+\frac{\,b\,}{\,a\,}+2{\small ~≧~}2+2\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、

---

　\(\displaystyle (a+b)\left(\frac{\,1\,}{\,a\,}+\frac{\,1\,}{\,b\,}\right){\small ~≧~}4\) [終]

---

また、等号が成立するのは \({\small [\,2\,]}\) より、

---

　\(\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}=\frac{\,b\,}{\,a\,}~\Leftrightarrow ~ a^2=b^2\)

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　\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、\(a=b\) のとき

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p.36 問題15得点の最大値は \(196\) 点
分け方の例は、
　\(\{1~,~6~,~7\}\) と \(\{2~,~3~,~4~,~5\}\)

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p.37 章末問題A 1\({\small (1)}~\) \(2\sqrt{5}\)　　\({\small (2)}~\) \(18\)　　\({\small (3)}~\) \(34\sqrt{5}\)

p.37 章末問題A 2\({\small (1)}~\) 商 \(x^3+x^2+x+1\)，余り \(0\)

---

解法のPoint｜多項式を多項式で割った商と余り

---

\({\small (2)}~\) 商 \(2x-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\)，余り \(-x+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\)

---

解法のPoint｜商に分数を含む多項式の割り算

p.37 章末問題A 3\({\small (1)}~\) \(\displaystyle\frac{\,x\,}{\,x-1\,}\)　　\({\small (2)}~\) \(\displaystyle\frac{\,a+2\,}{\,a^2\,}\)

---

解法のPoint｜分数式の乗法・除法

---

\({\small (3)}~\) \(-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x(x+1)\,}\)　　\({\small (4)}~\) \(0\)

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解法のPoint｜通分が必要な分数式の加法・減法

p.37 章末問題A 4\({\small (1)}~\) \(a=3~,~b=3~,~c=1\)

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解法のPoint｜恒等式となる等式の条件

---

\({\small (2)}~\) \(a=1~,~b=-1~,~c=2\)

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解法のPoint｜分数式の恒等式

p.37 章末問題A 5\({\small (1)}~\)[証明]

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\(\small [\,1\,]\) \(|\,a\,|-|\,b\,|\lt 0\) のとき

---

　\(|\,a-b\,|{\small ~≧~}0\) であるから、\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a-b\,|\) は成り立つ

---

\(\small [\,2\,]\) \(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≧~}0\) のとき

---

　両辺の平方の差は、

---

　(右辺)²－(左辺)²

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&|\,a-b\,|^2-\left(\,|\,a\,|-|\,b\,|\,\right)^2
\\[3pt]~~~&=&(a-b)^2-\left(\,|\,a\,|^2-2|\,a\,||\,b\,|+|\,b\,|^2\,\right)
\\[3pt]~~~&=&a^2-2ab+b^2-a^2+2|\,ab\,|-b^2
\\[3pt]~~~&=&2\left(\,|\,ab\,|-ab\,\right){\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)

---

---

よって、\(|\,a-b\,|^2{\small ~≧~}\left(\,|\,a\,|-|\,b\,|\,\right)^2\)

---

\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≧~}0~,~|\,a-b\,|{\small ~≧~}0\) より、

---

　\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a-b\,|\)

---

\(\small [\,1\,]\)、\(\small [\,2\,]\) より、\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a-b\,|\) [終]

 

\({\small (2)}~\)[証明]

---

\(\small [\,1\,]\) \(|\,a\,|-|\,b\,|\lt 0\) のとき

---

　\(|\,a+b\,|{\small ~≧~}0\) であるから、\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a+b\,|\) は成り立つ

---

\(\small [\,2\,]\) \(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≧~}0\) のとき

---

　両辺の平方の差は、

---

　(右辺)²－(左辺)²

---

\(\begin{eqnarray}~~~&=&|\,a+b\,|^2-\left(\,|\,a\,|-|\,b\,|\,\right)^2
\\[3pt]~~~&=&(a+b)^2-\left(\,|\,a\,|^2-2|\,a\,||\,b\,|+|\,b\,|^2\,\right)
\\[3pt]~~~&=&a^2+2ab+b^2-a^2+2|\,ab\,|-b^2
\\[3pt]~~~&=&2\left(\,|\,ab\,|+ab\,\right){\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)

---

---

よって、\(|\,a+b\,|^2{\small ~≧~}\left(\,|\,a\,|-|\,b\,|\,\right)^2\)

---

\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≧~}0~,~|\,a+b\,|{\small ~≧~}0\) より、

---

　\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a+b\,|\)

---

\(\small [\,1\,]\)、\(\small [\,2\,]\) より、\(|\,a\,|-|\,b\,|{\small ~≦~}|\,a+b\,|\) [終]

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p.37 章末問題A 6[証明]
等式について、

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　(左辺)

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したがって、

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次に、不等式について、

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　(左辺)－(右辺)

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)
\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\end{eqnarray}\)

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等式より、

---

---

したがって、

---

　\(a^2+b^2+c^2{\small ~≧~}ab+bc+ca\) [終]

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p.37 章末問題A 7\({\small (1)}~\)[証明] \(a\gt 0~,~b\gt 0\) より、\(ab\gt 0~,~\displaystyle \frac{\,16\,}{\,ab\,}\gt 0\)

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よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、

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\(\begin{eqnarray}~~~ab+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,ab\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{\,ab\cdot\displaystyle \frac{\,16\,}{\,ab\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,16\,}=8\end{eqnarray}\)

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したがって、\(ab+\displaystyle \frac{\,16\,}{\,ab\,}{\small ~≧~}8\) [終]

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また、等号が成り立つのは、

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\(\begin{eqnarray}~~~ab=\displaystyle \frac{\,16\,}{\,ab\,}~\Leftrightarrow~(ab)^2&=&16\end{eqnarray}\)

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　\(ab\gt 0\) より、\(ab=4\) のとき

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\({\small (2)}~\)［証明］
　(左辺)

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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\left(a+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,b\,}\right)\left(b+\frac{\,4\,}{\,a\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&a\cdot b+a\cdot\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a\,}+\frac{\,1\,}{\,b\,}\cdot b+\frac{\,1\,}{\,b\,}\cdot\frac{\,4\,}{\,a\,}
\\[5pt]~~~&=&ab+4+1+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,ab\,}
\\[5pt]~~~&=&ab+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,ab\,}+5~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

---

ここで、\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、

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　\(\displaystyle ab \gt 0~,~\frac{\,4\,}{\,ab\,} \gt 0\)

---

よって、相加平均と相乗平均の大小関係より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle ab+\frac{\,4\,}{\,ab\,}&{\small ~≧~}&2\sqrt{ab\cdot\frac{\,4\,}{\,ab\,}}
\\[5pt]~~~&=&2\sqrt{\,4\,}=4\end{eqnarray}\)

---

よって、\(\displaystyle ab+\frac{\,4\,}{\,ab\,}{\small ~≧~}4~~~\cdots{\small [\,2\,]}\)

---

両辺に \(5\) を加えると、

---

　\(\displaystyle ab+\frac{\,4\,}{\,ab\,}+5{\small ~≧~}4+5\)

---

\({\small [\,1\,]}\) より、

---

　\(\displaystyle \left(a+\frac{\,1\,}{\,b\,}\right)\left(b+\frac{\,4\,}{\,a\,}\right){\small ~≧~}9\) [終]

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また、等号が成立するのは \({\small [\,2\,]}\) より、

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　\(\displaystyle ab=\frac{\,4\,}{\,ab\,}~\Leftrightarrow ~ (ab)^2=4\)

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　\(a \gt 0~,~b \gt 0\) より、\(ab=2\) のとき

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p.38 章末問題B 8\({\small (1)}~\) \((2x-y)^3\)

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解法のPoint｜a³+3a²b+3ab²+b³の因数分解の公式

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p.38 章末問題B 9　\(\displaystyle\frac{\,4\,}{\,1-x^4\,}\)

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解法のPoint｜通分が必要な分数式の加法・減法

p.38 章末問題B 10　\(a=1~,~b=3\)、商 \(x+2\)

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解法のPoint｜文字係数を含む多項式の割り算

p.38 章末問題B 11　\(x=1~,~y=2\)

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p.38 章末問題B 12　\(x=4~,~y=8~,~z=12\)

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p.38 章末問題B 13[証明] \( (1+x)^n \) の展開式は二項定理より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+x)^n
\\[3pt]~~~&=&{}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1 \,x+{}_n \mathrm{ C }_2 \,x^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \,x^n
\\[3pt]~~~&=&1+nx+\left({}_n \mathrm{ C }_2 \,x^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \,x^n\right)\end{eqnarray}\)

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ここで、\( n \) が2以上の自然数、\( x \gt 0 \) より、

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　\( {}_n \mathrm{ C }_2 \,x^2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n \,x^n \gt 0 \)

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よって、

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したがって、\( (1+x)^n \gt 1+nx \) [終]

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p.38 章末問題B 14　\(\displaystyle a^2+b^2 \gt \frac{\,1\,}{\,2\,} \gt 2ab\)

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