このページは、東京書籍｜Advanced数学A[002-901]
３章 整数の性質
３章 整数の性質
教科書の復習から入試の入門まで｜数学入門問題精講
旺文社の入門問題精講シリーズの紹介高校生の皆さん、数学の勉強に困ったことはありませんか？教科書の内容...
yorikuwa.com
リンク
文字数が多く、重くなるのでページを分割しています。
各章は下のリンクまたはページ下の「次へ」をクリックしてください。
Advanced数学A １章 場合の数と確率
Advanced数学A ２章 図形の性質
Advanced数学A ３章 整数の性質
３章 整数の性質
１節 整数の性質
p.119 問2\({\small (1)}~\)\(n=100a+10b+c\) を変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&100a+10b+c
\\[3pt]~~~&=&(99a+9b)+(a+b+c)
\\[3pt]~~~&=&3(33a+3b)+(a+b+c)\end{eqnarray}\)
ここで、\(a+b+c\) が \(3\) の倍数であるとき、\(a+b+c=3k\)（\(k\) は整数）とおけるので、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&3(33a+3b)+3k
\\[3pt]~~~&=&3(33a+3b+k)\end{eqnarray}\)
\(33a+3b+k\) は整数なので、
したがって、\(a+b+c\) が \(3\) の倍数ならば、\(n\) は \(3\) の倍数である [終]
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&100a+10b+c
\\[3pt]~~~&=&(99a+9b)+(a+b+c)
\\[3pt]~~~&=&9(11a+b)+(a+b+c)\end{eqnarray}\)
ここで、\(a+b+c\) が \(9\) の倍数であるとき、\(a+b+c=9k\)（\(k\) は整数）とおけるので、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&9(11a+b)+9k
\\[3pt]~~~&=&9(11a+b+k)\end{eqnarray}\)
\(11a+b+k\) は整数なので、
したがって、\(a+b+c\) が \(9\) の倍数ならば、\(n\) は \(9\) の倍数である [終]
解法のPoint｜3の倍数・9の倍数の判別
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&100a+10b+c
\\[3pt]~~~&=&(99a+9b)+(a+b+c)
\\[3pt]~~~&=&3(33a+3b)+(a+b+c)\end{eqnarray}\)
ここで、\(a+b+c\) が \(3\) の倍数であるとき、\(a+b+c=3k\)（\(k\) は整数）とおけるので、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&3(33a+3b)+3k
\\[3pt]~~~&=&3(33a+3b+k)\end{eqnarray}\)
\(33a+3b+k\) は整数なので、
したがって、\(a+b+c\) が \(3\) の倍数ならば、\(n\) は \(3\) の倍数である [終]
\({\small (2)}~\)\(n=100a+10b+c\) を変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&100a+10b+c
\\[3pt]~~~&=&(99a+9b)+(a+b+c)
\\[3pt]~~~&=&9(11a+b)+(a+b+c)\end{eqnarray}\)
ここで、\(a+b+c\) が \(9\) の倍数であるとき、\(a+b+c=9k\)（\(k\) は整数）とおけるので、
\(\begin{eqnarray}~~~n&=&9(11a+b)+9k
\\[3pt]~~~&=&9(11a+b+k)\end{eqnarray}\)
\(11a+b+k\) は整数なので、
したがって、\(a+b+c\) が \(9\) の倍数ならば、\(n\) は \(9\) の倍数である [終]
解法のPoint｜3の倍数・9の倍数の判別
p.119 問3\({\small (1)}~2~,~3~,~6\)
\({\small (2)}~5\)
\({\small (3)}~2~,~3~,~4~,~6~,~9\)
解法のPoint｜4の倍数・5の倍数・8の倍数の判別
解法のPoint｜3の倍数・9の倍数の判別
\({\small (2)}~5\)
\({\small (3)}~2~,~3~,~4~,~6~,~9\)
解法のPoint｜4の倍数・5の倍数・8の倍数の判別
解法のPoint｜3の倍数・9の倍数の判別
p.120 問4\({\small (1)}~5^2 \cdot 7\) \({\small (2)}~3^5\) \({\small (3)}~2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2\)
解法のPoint｜素因数分解の方法
解法のPoint｜素因数分解の方法
p.121 問6\({\small (1)}~1~,~3~,~5~,~9~,~15~,~45\)
\({\small (2)}~1~,~2~,~4~,~7~,~14~,~28~,~49~,~98~,~196\)
解法のPoint｜素因数分解と正の約数
\({\small (2)}~1~,~2~,~4~,~7~,~14~,~28~,~49~,~98~,~196\)
解法のPoint｜素因数分解と正の約数
p.122 問8\({\small (1)}~(a~,~b)=(1~,~3)~,~(3~,~1)~,~\)
\((-1~,~-3)~,~(-3~,~-1)\)
\({\small (2)}~(a~,~b)=(1~,~-6)~,~(-6~,~1)~,~\)
\((2~,~-3)~,~(-3~,~2)~,~(3~,~-2)~,~\)
\((-2~,~3)~,~(6~,~-1)~,~(-1~,~6)\)
\({\small (3)}~(a~,~b)=(3~,~7)~,~(6~,~4)~,~(4~,~5)~,~\)
\((1~,~-1)~,~(-2~,~2)~,~(0~,~1)\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\((-1~,~-3)~,~(-3~,~-1)\)
\({\small (2)}~(a~,~b)=(1~,~-6)~,~(-6~,~1)~,~\)
\((2~,~-3)~,~(-3~,~2)~,~(3~,~-2)~,~\)
\((-2~,~3)~,~(6~,~-1)~,~(-1~,~6)\)
\({\small (3)}~(a~,~b)=(3~,~7)~,~(6~,~4)~,~(4~,~5)~,~\)
\((1~,~-1)~,~(-2~,~2)~,~(0~,~1)\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.122 問9\({\small (1)}~(a~,~b)=(-1~,~7)~,~(9~,~-3)~,~\)
\((-3~,~-15)~,~(-13~,~-5)\)
\({\small (2)}~(a~,~b)=(5~,~0)~,~(7~,~-1)~,~(4~,~2)~,~\)
\((-1~,~-3)~,~(1~,~-4)~,~(2~,~-6)\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\((-3~,~-15)~,~(-13~,~-5)\)
\({\small (2)}~(a~,~b)=(5~,~0)~,~(7~,~-1)~,~(4~,~2)~,~\)
\((-1~,~-3)~,~(1~,~-4)~,~(2~,~-6)\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.124 問11\({\small (1)}~112\) \({\small (2)}~1176\) \({\small (3)}~44100\)
解法のPoint｜素因数分解と最大公約数・最小公倍数
解法のPoint｜素因数分解と最大公約数・最小公倍数
p.124 問12\({\small (1)}~\)最大公約数 \(12\)、最小公倍数 \(1008\)
\({\small (2)}~\)最大公約数 \(60\)、最小公倍数 \(25200\)
解法のPoint｜素因数分解と最大公約数・最小公倍数
\({\small (2)}~\)最大公約数 \(60\)、最小公倍数 \(25200\)
解法のPoint｜素因数分解と最大公約数・最小公倍数
p.127 問15\({\small (1)}~q=4~,~r=5~,~~41=9 \cdot 4+5\)
\({\small (2)}~q=-5~,~r=4~,~~-41=9 \cdot (-5)+4\)
\({\small (3)}~q=7~,~r=10~,~~108=14 \cdot 7+10\)
\({\small (4)}~q=-8~,~r=4~,~~-108=14 \cdot (-8)+4\)
解法のPoint｜整数の割り算・商と余りの式
\({\small (2)}~q=-5~,~r=4~,~~-41=9 \cdot (-5)+4\)
\({\small (3)}~q=7~,~r=10~,~~108=14 \cdot 7+10\)
\({\small (4)}~q=-8~,~r=4~,~~-108=14 \cdot (-8)+4\)
解法のPoint｜整数の割り算・商と余りの式
p.130 問18\({\small (1)}~\)[証明] \(n^2-n\) を因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2-n&=&n(n-1)\end{eqnarray}\)
\(n(n-1)\) について、
\(n-1~,~n\) は連続する \(2\) つの整数より、
\(n-1\) と \(n\) のいずれかは \(2\) の倍数であるので、\(n(n-1)\) は \(2\) の倍数になる
したがって、\(n^2-n\) は \(2\) の倍数となる [終]
\(\begin{eqnarray}~~~n^3-n&=&n(n^2-1)\\[3pt]~~~&=&n(n+1)(n-1)\\[3pt]~~~&=&(n-1)n(n+1)\end{eqnarray}\)
\((n-1)n(n+1)\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(n-1~,~n\) は連続する \(2\) つの整数より、
\(n-1\) と \(n\) のいずれかは \(2\) の倍数であるので、\((n-1)n(n+1)\) は \(2\) の倍数になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n-1~,~n~,~n+1\) は連続する \(3\) つの整数より、
いずれかは \(3\) の倍数であるので、\((n-1)n(n+1)\) は \(3\) の倍数になる
\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、\((n-1)n(n+1)\) は \(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数になる
したがって、\(n^3-n\) は \(6\) の倍数となる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\begin{eqnarray}~~~n^2-n&=&n(n-1)\end{eqnarray}\)
\(n(n-1)\) について、
\(n-1~,~n\) は連続する \(2\) つの整数より、
\(n-1\) と \(n\) のいずれかは \(2\) の倍数であるので、\(n(n-1)\) は \(2\) の倍数になる
したがって、\(n^2-n\) は \(2\) の倍数となる [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(n^3-n\) を因数分解すると、
\(\begin{eqnarray}~~~n^3-n&=&n(n^2-1)\\[3pt]~~~&=&n(n+1)(n-1)\\[3pt]~~~&=&(n-1)n(n+1)\end{eqnarray}\)
\((n-1)n(n+1)\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(n-1~,~n\) は連続する \(2\) つの整数より、
\(n-1\) と \(n\) のいずれかは \(2\) の倍数であるので、\((n-1)n(n+1)\) は \(2\) の倍数になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n-1~,~n~,~n+1\) は連続する \(3\) つの整数より、
いずれかは \(3\) の倍数であるので、\((n-1)n(n+1)\) は \(3\) の倍数になる
\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、\((n-1)n(n+1)\) は \(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数になる
したがって、\(n^3-n\) は \(6\) の倍数となる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.130 問19[証明] この整数 \(n\) を \(2\) で割った余りで分類すると、
\(k\) を整数として、
\(n=2k~,~2k+1\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=2k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2\\[3pt]~~~&=&4 \cdot k^2\end{eqnarray}\)
\(k^2\) は整数より、
\(4\) で割った余りは \(0\) になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=2k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k+1)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2+4k+1\\[3pt]~~~&=&4(k^2+k)+1\end{eqnarray}\)
\(k^2+k\) は整数より、
\(4\) で割った余りは \(1\) になる
したがって、\(n^2\) を \(4\) で割った余りは \(0\) または \(1\) になる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(k\) を整数として、
\(n=2k~,~2k+1\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=2k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2\\[3pt]~~~&=&4 \cdot k^2\end{eqnarray}\)
\(k^2\) は整数より、
\(4\) で割った余りは \(0\) になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=2k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k+1)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2+4k+1\\[3pt]~~~&=&4(k^2+k)+1\end{eqnarray}\)
\(k^2+k\) は整数より、
\(4\) で割った余りは \(1\) になる
したがって、\(n^2\) を \(4\) で割った余りは \(0\) または \(1\) になる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.131 問20[証明] \(n(n+1)(5n+1)\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(n~,~n+1\) は連続する \(2\) つの整数より、
\(n\) と \(n+1\) のいずれかは \(2\) の倍数であるので、\(n(n+1)\) は \(2\) の倍数になる
\({\small [\,2\,]}\) 整数 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類すると、\(k\) を整数として、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small (1)}~n=3k\) のとき、
\(n\) が \(3\) の倍数となる
\({\small (2)}~n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~5n+1&=&5(3k+1)+1\\[3pt]~~~&=&15k+6\\[3pt]~~~&=&3(5k+2)\end{eqnarray}\)
よって、\(5n+1\) が \(3\) の倍数となる
\({\small (3)}~n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n+1&=&(3k+2)+1\\[3pt]~~~&=&3k+3\\[3pt]~~~&=&3(k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(n+1\) が \(3\) の倍数となる
これより、\(n(n+1)(5n+1)\) は \(3\) の倍数となる
\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、\(n(n+1)(5n+1)\) は \(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数になる
したがって、\(n(n+1)(5n+1)\) は \(6\) の倍数となる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small [\,1\,]}\) \(n~,~n+1\) は連続する \(2\) つの整数より、
\(n\) と \(n+1\) のいずれかは \(2\) の倍数であるので、\(n(n+1)\) は \(2\) の倍数になる
\({\small [\,2\,]}\) 整数 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類すると、\(k\) を整数として、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small (1)}~n=3k\) のとき、
\(n\) が \(3\) の倍数となる
\({\small (2)}~n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~5n+1&=&5(3k+1)+1\\[3pt]~~~&=&15k+6\\[3pt]~~~&=&3(5k+2)\end{eqnarray}\)
よって、\(5n+1\) が \(3\) の倍数となる
\({\small (3)}~n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n+1&=&(3k+2)+1\\[3pt]~~~&=&3k+3\\[3pt]~~~&=&3(k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(n+1\) が \(3\) の倍数となる
これより、\(n(n+1)(5n+1)\) は \(3\) の倍数となる
\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、\(n(n+1)(5n+1)\) は \(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数になる
したがって、\(n(n+1)(5n+1)\) は \(6\) の倍数となる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.135 問22\({\small (1)}~\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x=5n\\ y=7n\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \(n\) は整数
\({\small (2)}~\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x=6n\\ y=-5n\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \(n\) は整数
解法のPoint｜1次不定方程式の整数解
\({\small (2)}~\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x=6n\\ y=-5n\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \(n\) は整数
解法のPoint｜1次不定方程式の整数解
p.136 問23\({\small (1)}~\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x=7n+3\\ y=5n+2\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \(n\) は整数
\({\small (2)}~\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x=5n+15\\ y=-3n\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \(n\) は整数
解法のPoint｜1次不定方程式の整数解
\({\small (2)}~\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x=5n+15\\ y=-3n\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \(n\) は整数
解法のPoint｜1次不定方程式の整数解
p.139 問27\({\small (1)}~10010_{(2)}\) \({\small (2)}~100000_{(2)}\)
\({\small (3)}~1111101_{(2)}\)
解法のPoint｜10進法の数をn進法で表す
\({\small (3)}~1111101_{(2)}\)
解法のPoint｜10進法の数をn進法で表す
p.140 問28\({\small (1)}~1.75\) \({\small (2)}~3.25\)
\({\small (3)}~0.8125\)
解法のPoint｜10進法の小数をn進法で表す
\({\small (3)}~0.8125\)
解法のPoint｜10進法の小数をn進法で表す
問題
p.142 問題 3\({\small (1)}~\)\((a~,~b)=(-2~,~7)~,~(0~,~5)~,~\)
\((-4~,~1)~,~(-6~,~3)\)
\({\small (2)}~\)\((a~,~b)=(3~,~9)~,~(8~,~4)~,~(4~,~6)~,~\)
\((5~,~5)~,~(1~,~-3)~,~(-4~,~2)~,~(-1~,~1)\)
\({\small (3)}~\)\((a~,~b)=(1~,~2)~,~(2~,~1)~,~\)
\((0~,~-1)~,~(-1~,~0)\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\((-4~,~1)~,~(-6~,~3)\)
\({\small (2)}~\)\((a~,~b)=(3~,~9)~,~(8~,~4)~,~(4~,~6)~,~\)
\((5~,~5)~,~(1~,~-3)~,~(-4~,~2)~,~(-1~,~1)\)
\({\small (3)}~\)\((a~,~b)=(1~,~2)~,~(2~,~1)~,~\)
\((0~,~-1)~,~(-1~,~0)\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.142 問題 6\({\small (1)}~\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x=5n-1\\y=13n-3\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \(n\) は整数
\({\small (2)}~\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x=40n-3\\y=-93n+7\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \(n\) は整数
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x=40n-3\\y=-93n+7\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \(n\) は整数
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.142 問題 10[証明] \(a+b\) と \(ab\) が互いに素でない、すなわち \(2\) 以上の公約数をもつと仮定する
このとき、\(a+b\) と \(ab\) は共通の素因数 \(p\) をもつ
\(p\) は \(ab\) の素因数であるから、\(p\) は \(a\) または \(b\) の素因数である
そこで、\(p\) が \(a\) の素因数である場合を考えると、
\(p\) は \(a+b\) の素因数でもあるから、自然数 \(s~,~t\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~a=ps~~~,~~~a+b=pt\end{eqnarray}\)
この \(2\) つの式から \(a\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~b&=&(a+b)-a
\\[3pt]~~~&=&pt-ps
\\[3pt]~~~&=&p(t-s)\end{eqnarray}\)
よって、\(p\) は \(b\) の素因数でもある
すなわち、\(p\) は \(a\) と \(b\) の共通の素因数となる
これは、\(a\) と \(b\) が互いに素であることに矛盾する
（※ \(p\) が \(b\) の素因数である場合も、同様にして矛盾が導かれる。）
したがって、\(a+b\) と \(ab\) も互いに素である [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
このとき、\(a+b\) と \(ab\) は共通の素因数 \(p\) をもつ
\(p\) は \(ab\) の素因数であるから、\(p\) は \(a\) または \(b\) の素因数である
そこで、\(p\) が \(a\) の素因数である場合を考えると、
\(p\) は \(a+b\) の素因数でもあるから、自然数 \(s~,~t\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~a=ps~~~,~~~a+b=pt\end{eqnarray}\)
この \(2\) つの式から \(a\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~b&=&(a+b)-a
\\[3pt]~~~&=&pt-ps
\\[3pt]~~~&=&p(t-s)\end{eqnarray}\)
よって、\(p\) は \(b\) の素因数でもある
すなわち、\(p\) は \(a\) と \(b\) の共通の素因数となる
これは、\(a\) と \(b\) が互いに素であることに矛盾する
（※ \(p\) が \(b\) の素因数である場合も、同様にして矛盾が導かれる。）
したがって、\(a+b\) と \(ab\) も互いに素である [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
練習問題 整数の性質
p.143 練習問題 2\({\small (1)}~\)個数 \(9\) 個、総和 \(217\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,217\,}{\,100\,}\)
解法のPoint｜素因数分解と正の約数
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,217\,}{\,100\,}\)
解法のPoint｜素因数分解と正の約数
p.143 練習問題 6\({\small (1)}~7\) と \(84\) 、\(21\) と \(28\)
\({\small (2)}~18\) と \(180\) 、\(36\) と \(90\)
解法のPoint｜最大公約数と最小公倍数の性質
解法のPoint｜2つの自然数の積と最大公約数
\({\small (2)}~18\) と \(180\) 、\(36\) と \(90\)
解法のPoint｜最大公約数と最小公倍数の性質
解法のPoint｜2つの自然数の積と最大公約数
p.143 練習問題 8\({\small (1)}~\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x=41n+4\\y=-113n-11\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \(n\) は整数
\({\small (2)}~\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x=41n+12\\y=-113n-33\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \(n\) は整数
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}x=41n+12\\y=-113n-33\end{array}\right.\end{eqnarray}\) \(n\) は整数
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.143 練習問題 9\(5\) 個入りの箱 \(18\) 箱と \(8\) 個入り \(0\) 箱
\(5\) 個入りの箱 \(10\) 箱と \(8\) 個入り \(5\) 箱
\(5\) 個入りの箱 \(2\) 箱と \(8\) 個入り \(10\) 箱
解法のPoint｜1次不定方程式の整数解
\(5\) 個入りの箱 \(10\) 箱と \(8\) 個入り \(5\) 箱
\(5\) 個入りの箱 \(2\) 箱と \(8\) 個入り \(10\) 箱
解法のPoint｜1次不定方程式の整数解
p.144 発展 問1\({\small (1)}~1\) \({\small (2)}~3\) \({\small (3)}~4\) \({\small (4)}~2\)
解法のPoint｜合同式の定義と表し方
解法のPoint｜合同式の定義と表し方
p.144 発展 問2（例）\(7\equiv 2~,~13\equiv 3\pmod 5\) の \(2\) 組とする。
\({\rm [\,1\,]}\) について、
\(7+13=20\equiv 0~,~2+3=5\equiv 0\pmod 5\) より、\(7+13\equiv 2+3\pmod 5\) が成り立つ。
\(7-13=-6\equiv 4~,~2-3=-1\equiv 4\pmod 5\) より、\(7-13\equiv 2-3\pmod 5\) が成り立つ。
\({\rm [\,2\,]}\) について、
\(7 \cdot 13=91\equiv 1~,~2 \cdot 3=6\equiv 1\pmod 5\) より、\(7 \cdot 13\equiv 2 \cdot 3\pmod 5\) が成り立つ。
解法のPoint｜合同式の定義と表し方
\({\rm [\,1\,]}\) について、
\(7+13=20\equiv 0~,~2+3=5\equiv 0\pmod 5\) より、\(7+13\equiv 2+3\pmod 5\) が成り立つ。
\(7-13=-6\equiv 4~,~2-3=-1\equiv 4\pmod 5\) より、\(7-13\equiv 2-3\pmod 5\) が成り立つ。
\({\rm [\,2\,]}\) について、
\(7 \cdot 13=91\equiv 1~,~2 \cdot 3=6\equiv 1\pmod 5\) より、\(7 \cdot 13\equiv 2 \cdot 3\pmod 5\) が成り立つ。
解法のPoint｜合同式の定義と表し方
p.145 発展 問4\({\small (1)}~\)[証明] \(a\) を \(3\) で割った余りは \(0~,~1~,~2\) より、
\({\small [\,1\,]}\) \(a\equiv 0 \pmod{3}\) のとき、
\(a^2\equiv 0^2\equiv 0 \pmod{3}\)
これより、\(0\) に合同
\({\small [\,2\,]}\) \(a\equiv 1 \pmod{3}\) のとき、
\(a^2\equiv 1^2\equiv 1 \pmod{3}\)
これより、\(1\) に合同
\({\small [\,3\,]}\) \(a\equiv 2 \pmod{3}\) のとき、
\(a^2\equiv 2^2\equiv 4\equiv 1 \pmod{3}\)
これより、\(1\) に合同
したがって、\(a^2\) は \(3\) を法として \(0\) または \(1\) に合同である [終]
\({\small (1)}\) より、\(a^2\) と \(b^2\) はともに \(3\) を法として \(1\) に合同であるから、
\(a^2\equiv 1~,~b^2\equiv 1 \pmod{3}\)
よって、合同式の性質より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+b^2&\equiv& 1+1 \pmod{3}\\[3pt]~~~&\equiv& 2 \pmod{3}\end{eqnarray}\)
ここで、\(a^2+b^2=c^2\) であるから、
\(c^2\equiv 2 \pmod{3}\)
\({\small (1)}\) より、\(c^2\) は \(3\) を法として \(0\) または \(1\) に合同であり、\(2\) に合同になることはない
よって、矛盾する
したがって、\(a~,~b\) の少なくとも一方は \(3\) の倍数である [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small [\,1\,]}\) \(a\equiv 0 \pmod{3}\) のとき、
\(a^2\equiv 0^2\equiv 0 \pmod{3}\)
これより、\(0\) に合同
\({\small [\,2\,]}\) \(a\equiv 1 \pmod{3}\) のとき、
\(a^2\equiv 1^2\equiv 1 \pmod{3}\)
これより、\(1\) に合同
\({\small [\,3\,]}\) \(a\equiv 2 \pmod{3}\) のとき、
\(a^2\equiv 2^2\equiv 4\equiv 1 \pmod{3}\)
これより、\(1\) に合同
したがって、\(a^2\) は \(3\) を法として \(0\) または \(1\) に合同である [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(a~,~b\) がともに \(3\) の倍数でないと仮定すると、
\({\small (1)}\) より、\(a^2\) と \(b^2\) はともに \(3\) を法として \(1\) に合同であるから、
\(a^2\equiv 1~,~b^2\equiv 1 \pmod{3}\)
よって、合同式の性質より、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+b^2&\equiv& 1+1 \pmod{3}\\[3pt]~~~&\equiv& 2 \pmod{3}\end{eqnarray}\)
ここで、\(a^2+b^2=c^2\) であるから、
\(c^2\equiv 2 \pmod{3}\)
\({\small (1)}\) より、\(c^2\) は \(3\) を法として \(0\) または \(1\) に合同であり、\(2\) に合同になることはない
よって、矛盾する
したがって、\(a~,~b\) の少なくとも一方は \(3\) の倍数である [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
