このページは、数研出版：高等学校数学Ⅱ[710]
第５章 指数関数と対数関数
第５章 指数関数と対数関数
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高等学校数学Ⅱ 第１章 式と証明
高等学校数学Ⅱ 第２章 複素数と方程式
高等学校数学Ⅱ 第３章 図形と方程式
高等学校数学Ⅱ 第４章 三角関数
高等学校数学Ⅱ 第５章 指数関数と対数関数
高等学校数学Ⅱ 第６章 微分法と積分法
第５章 指数関数と対数関数
第１節 指数関数
p.155 練習1\({\small (1)}~1\) \({\small (2)}~1\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}\) \({\small (5)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\)
解法のPoint｜0や負の整数の指数
\({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}\) \({\small (5)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\)
解法のPoint｜0や負の整数の指数
p.155 練習2\({\small (1)}~a^3\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^5\,}\) \({\small (3)}~a^4\) \({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,b^3\,}{\,a^6\,}\)
解法のPoint｜指数法則を用いた計算
解法のPoint｜指数法則を用いた計算
p.156 練習3\({\small (1)}~1\) \({\small (2)}~3\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜累乗根で表された数
解法のPoint｜累乗根で表された数
p.157 練習4\({\small (1)}~2\) \({\small (2)}~\sqrt[\large 3]{4}\) \({\small (3)}~\sqrt[\large 4]{125}\) \({\small (4)}~\sqrt{3}\)
解法のPoint｜累乗根の性質と式の計算
解法のPoint｜累乗根の性質と式の計算
p.157 深める\(\begin{eqnarray}~~~&&\left(\sqrt[\large n]{a} \right)^m\\[3pt]~~~&=&\sqrt[\large n]{a}\times\sqrt[\large n]{a}\times\cdots\times\sqrt[\large n]{a}\\[3pt]~~~&=&\sqrt[\large n]{a\times a\times \cdots \times a}\\[3pt]~~~&=&\sqrt[\large n]{a^m}\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜累乗根の性質と式の計算
解法のPoint｜累乗根の性質と式の計算
p.158 練習5\({\small (1)}~3\) \({\small (2)}~8\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,25\,}\)
解法のPoint｜有理数(分数)が指数である累乗
解法のPoint｜有理数(分数)が指数である累乗
p.159 練習6\({\small (1)}~4\) \({\small (2)}~1\) \({\small (3)}~\sqrt[\large 8]{5}\) \({\small (4)}~2\)
解法のPoint｜有理数が指数の指数法則の計算
解法のPoint｜有理数が指数の指数法則の計算
p.162 練習9\({\small (1)}~\sqrt[\large 5]{8} \lt \sqrt[\large 3]{4} \lt \sqrt[\large 4]{8}\)
\({\small (2)}~0.2^3 \lt 1 \lt 0.2^{-1}\)
解法のPoint｜指数関数の大小比較
\({\small (2)}~0.2^3 \lt 1 \lt 0.2^{-1}\)
解法のPoint｜指数関数の大小比較
p.163 練習10\({\small (1)}~x=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~x=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\) \({\small (3)}~x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜指数関数を含む方程式
解法のPoint｜指数関数を含む方程式
p.163 練習11\({\small (1)}~x \lt 4\) \({\small (2)}~x{\small ~≦~}5\) \({\small (3)}~x \gt \displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\)
解法のPoint｜指数関数を含む不等式
解法のPoint｜指数関数を含む不等式
p.163 深める\(\begin{eqnarray}~~~\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^{x+1}& \lt &\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\right)^x\\[5pt]~~~\left(3^{-1}\right)^{x+1}& \lt &\left(3^{-2}\right)^x\\[3pt]~~~3^{-x-1}& \lt &3^{-3x}\end{eqnarray}\)
底が \(1\) より大きいので、
\(\begin{eqnarray}~~~-x-1& \lt &-3x\\[3pt]~~~x& \lt &1\end{eqnarray}\)
底が \(1\) より大きいので、
\(\begin{eqnarray}~~~-x-1& \lt &-3x\\[3pt]~~~x& \lt &1\end{eqnarray}\)
問題
p.165 問題 2\({\small (1)}~\) \(3\sqrt[3]{2}\) \({\small (2)}~\) \(\sqrt[4]{3}\)
解法のPoint｜累乗根の性質と式の計算
\({\small (3)}~\) \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) \({\small (4)}~\) \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
解法のPoint｜累乗根の性質と式の計算
\({\small (3)}~\) \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) \({\small (4)}~\) \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.165 問題 4\({\small (1)}~\) \(x=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\) \({\small (2)}~\) \(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜指数関数を含む方程式
\({\small (3)}~\) \(x \gt \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\) \({\small (4)}~\) \(x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜指数関数を含む不等式
解法のPoint｜指数関数を含む方程式
\({\small (3)}~\) \(x \gt \displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}\) \({\small (4)}~\) \(x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜指数関数を含む不等式
p.165 問題 5\({\small (1)}~\) \(x=3\) \({\small (2)}~\) \(x \lt -1~,~2 \lt x\)
解法のPoint｜指数関数を含む2次方程式・2次不等式
解法のPoint｜指数関数を含む2次方程式・2次不等式
p.165 問題 6\({\small (1)}~\) \(y=t^2-2t+3\)
\({\small (2)}~\) \(0 \lt t \lt 4\)
\({\small (3)}~\) \(x=0\) で最小値 \(2\)
解法のPoint｜指数関数を含む関数の最大値・最小値
\({\small (2)}~\) \(0 \lt t \lt 4\)
\({\small (3)}~\) \(x=0\) で最小値 \(2\)
解法のPoint｜指数関数を含む関数の最大値・最小値
第２節 対数関数
p.167 練習14\({\small (1)}~\log_{3}9=2\) \({\small (2)}~\log_{5}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,25\,}=-2\) \({\small (3)}~\log_{\frac{1}{2}}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}=3\)
解法のPoint｜対数の定義と指数への変換
解法のPoint｜対数の定義と指数への変換
p.167 練習15\({\small (1)}~16=4^2\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,100\,}=10^{-2}\) \({\small (3)}~3=9^{\frac{1}{2}}\)
解法のPoint｜対数の定義と指数への変換
解法のPoint｜対数の定義と指数への変換
p.167 練習16\({\small (1)}~5\) \({\small (2)}~2\) \({\small (3)}~-3\) \({\small (4)}~4\)
\({\small (5)}~-1\) \({\small (6)}~-1\) \({\small (7)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) \({\small (8)}~2\)
解法のPoint｜対数の式の値
\({\small (5)}~-1\) \({\small (6)}~-1\) \({\small (7)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) \({\small (8)}~2\)
解法のPoint｜対数の式の値
p.168 練習17\({\small [2]}~\)
\(\log_{a}M=p~,~\log_{a}N=q\) とすると、
\(M=a^p~,~N=a^q\)
\(N\neq0\) より、
\(\displaystyle \frac{\,M\,}{\,N\,}=\displaystyle \frac{\,a^p\,}{\,a^q\,}=a^{p-q}\)
対数の定義より、
\(\log_{a}\displaystyle \frac{\,M\,}{\,N\,}=p-q\)
したがって、
\(\log_{a}\displaystyle \frac{\,M\,}{\,N\,}=\log_{a}M-\log_{a}N\) [終]
\({\small [3]}~\)
\(\log_{a}M=p\) とすると、\(M=a^p\)
両辺を \(k\) 乗すると、
\(M^k=(a^p)^k=a^{pk}\)
ここで、\(\log_{a}\) を取ると
\(\log_{a}M^k=\log_{a}a^{pk}=pk\)
したがって、\(p\) を元に戻すと、
\(\log_{a}M^k=k\log_{a}M\) [終]
解法のPoint｜対数の性質と和・差の計算
\(\log_{a}M=p~,~\log_{a}N=q\) とすると、
\(M=a^p~,~N=a^q\)
\(N\neq0\) より、
\(\displaystyle \frac{\,M\,}{\,N\,}=\displaystyle \frac{\,a^p\,}{\,a^q\,}=a^{p-q}\)
対数の定義より、
\(\log_{a}\displaystyle \frac{\,M\,}{\,N\,}=p-q\)
したがって、
\(\log_{a}\displaystyle \frac{\,M\,}{\,N\,}=\log_{a}M-\log_{a}N\) [終]
\({\small [3]}~\)
\(\log_{a}M=p\) とすると、\(M=a^p\)
両辺を \(k\) 乗すると、
\(M^k=(a^p)^k=a^{pk}\)
ここで、\(\log_{a}\) を取ると
\(\log_{a}M^k=\log_{a}a^{pk}=pk\)
したがって、\(p\) を元に戻すと、
\(\log_{a}M^k=k\log_{a}M\) [終]
解法のPoint｜対数の性質と和・差の計算
p.169 練習18\({\small (1)}~2\) \({\small (2)}~-2\) \({\small (3)}~2\) \({\small (4)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜対数の性質と和・差の計算
解法のPoint｜対数の性質と和・差の計算
p.169 練習19\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) \({\small (3)}~3\)
解法のPoint｜底の変換公式を用いた計算
解法のPoint｜底の変換公式を用いた計算
p.172 練習21\({\small (1)}~2\log_{4}5 \lt 3\log_{4}3\)
\({\small (2)}~\log_{\frac{1}{4}}3 \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\log_{\frac{1}{4}}8\)
\({\small (3)}~\log_{2}3 \lt 2\)
解法のPoint｜対数関数の大小比較
\({\small (2)}~\log_{\frac{1}{4}}3 \lt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\log_{\frac{1}{4}}8\)
\({\small (3)}~\log_{2}3 \lt 2\)
解法のPoint｜対数関数の大小比較
p.172 練習22\({\small (1)}~x=16\) \({\small (2)}~x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜対数関数を含む方程式
\({\small (3)}~0 \lt x{\small ~≦~}16\) \({\small (4)}~x \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
\({\small (5)}~x \gt 9\) \({\small (6)}~0 \lt x{\small ~≦~}0.25\)
解法のPoint｜対数関数を含む不等式
解法のPoint｜対数関数を含む方程式
\({\small (3)}~0 \lt x{\small ~≦~}16\) \({\small (4)}~x \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
\({\small (5)}~x \gt 9\) \({\small (6)}~0 \lt x{\small ~≦~}0.25\)
解法のPoint｜対数関数を含む不等式
p.173 練習24\({\small (1)}~0 \lt x{\small ~≦~}1\) \({\small (2)}~0 \lt x \lt 2\)
解法のPoint｜2つの対数関数を含む不等式
解法のPoint｜2つの対数関数を含む不等式
p.173 深める真数条件より、\(0 \lt 0~,~8 \lt x\)
\(\begin{eqnarray}~~~x(x-8)&=&3^2\\[3pt]~~~x^2-8x-9&=&0\\[3pt]~~~(x-9)(x+1)&=&0\end{eqnarray}\)
\(0 \lt 0~,~8 \lt x\) より、\(x=9~,~-1\)
応用例題2と答えが違うのは真数条件が異なるから
\(\begin{eqnarray}~~~x(x-8)&=&3^2\\[3pt]~~~x^2-8x-9&=&0\\[3pt]~~~(x-9)(x+1)&=&0\end{eqnarray}\)
\(0 \lt 0~,~8 \lt x\) より、\(x=9~,~-1\)
応用例題2と答えが違うのは真数条件が異なるから
p.175 練習26\({\small (1)}~3.5378\) \({\small (2)}~4.9638\) \({\small (3)}~-3.2090\)
解法のPoint｜常用対数の式の値
解法のPoint｜常用対数の式の値
問題
p.178 問題 7\({\small (1)}~\) \(b-3a\) \({\small (2)}~\) \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(a+b)\)
\({\small (3)}~\) \(\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\) \({\small (4)}~\) \(1-a+b\)
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\({\small (3)}~\) \(\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\) \({\small (4)}~\) \(1-a+b\)
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p.178 問題 8[証明] 左辺の底を底の変換公式を用いて \(a\) にすると、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a
\\[5pt]~~~&=&\log_a b \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a c\,}{\,\log_a b\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a a\,}{\,\log_a c\,}
\\[5pt]~~~&=&\cancel{\log_a b} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{\log_a c}\,}{\,\cancel{\log_a b}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a a\,}{\,\cancel{\log_a c}\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_a a
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a=1\) [終]
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（左辺）
\(\begin{eqnarray}\require{cancel}~~~&=&\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a
\\[5pt]~~~&=&\log_a b \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a c\,}{\,\log_a b\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a a\,}{\,\log_a c\,}
\\[5pt]~~~&=&\cancel{\log_a b} \cdot \displaystyle \frac{\,\cancel{\log_a c}\,}{\,\cancel{\log_a b}\,} \cdot \displaystyle \frac{\,\log_a a\,}{\,\cancel{\log_a c}\,}
\\[5pt]~~~&=&\log_a a
\\[5pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a=1\) [終]
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p.178 問題 10\({\small (1)}~\) \(x=2~,~-4\) \({\small (2)}~\) \(x=1\)
解法のPoint｜2つの対数関数を含む方程式
\({\small (3)}~\) \(1 \lt x \lt \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\) \({\small (4)}~\) \(2 \lt x \lt 3\)
解法のPoint｜2つの対数関数を含む不等式
解法のPoint｜2つの対数関数を含む方程式
\({\small (3)}~\) \(1 \lt x \lt \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\) \({\small (4)}~\) \(2 \lt x \lt 3\)
解法のPoint｜2つの対数関数を含む不等式
p.178 問題 13\({\small (1)}~\) \(2t^2+3t-2=0\)
\({\small (2)}~\) \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}~,~\sqrt{2}\)
解法のPoint｜対数関数を含む2次方程式
\({\small (2)}~\) \(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}~,~\sqrt{2}\)
解法のPoint｜対数関数を含む2次方程式
章末問題 指数関数と対数関数
p.179 章末問題A 2\({\small (1)}~\) \(-1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3\)
\({\small (2)}~\) \(-2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}0\)
解法のPoint｜指数関数を含む不等式
\({\small (2)}~\) \(-2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}0\)
解法のPoint｜指数関数を含む不等式
p.179 章末問題A 3\({\small (1)}~\) \(x=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜指数関数を含む方程式
\({\small (2)}~\) \(x{\small ~≦~}2\) \({\small (3)}~\) \(x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜指数関数を含む不等式
解法のPoint｜指数関数を含む方程式
\({\small (2)}~\) \(x{\small ~≦~}2\) \({\small (3)}~\) \(x{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜指数関数を含む不等式
p.179 章末問題A 4\({\small (1)}~\) \(0\)
解法のPoint｜対数の性質と和・差の計算
\({\small (2)}~\) \(5\)
解法のPoint｜底の変換公式を用いた計算
解法のPoint｜対数の性質と和・差の計算
\({\small (2)}~\) \(5\)
解法のPoint｜底の変換公式を用いた計算
p.179 章末問題A 5\({\small (1)}~\) \(x=0~,~-3\) \({\small (2)}~\) \(x=5\)
解法のPoint｜2つの対数関数を含む方程式
\({\small (3)}~\) \(1{\small ~≦~}x \lt 3\) \({\small (4)}~\) \(x{\small ~≧~}3\)
解法のPoint｜2つの対数関数を含む不等式
解法のPoint｜2つの対数関数を含む方程式
\({\small (3)}~\) \(1{\small ~≦~}x \lt 3\) \({\small (4)}~\) \(x{\small ~≧~}3\)
解法のPoint｜2つの対数関数を含む不等式
p.180 章末問題B 10\({\small (1)}~\) \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}{\small ~≦~}y{\small ~≦~}16\)
\({\small (2)}~\) \(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}{\small ~≦~}y{\small ~≦~}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\) \(-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}{\small ~≦~}y{\small ~≦~}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
p.180 章末問題B 13[証明] \(2^x=5^y=10^z\) の各辺は正より、
各辺の \(2\) を底とする対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_2 2^x&=&\log_2 5^y~=~\log_2 10^z
\\[5pt]~~~x&=&y\log_2 5~=~z\log_2 10\end{eqnarray}\)
\(x=y\log_2 5\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\log_2 5\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 5\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
また、\(x=z\log_2 10\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\log_2 10\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 10\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
これより、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,\log_2 5\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\log_2 5\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 10\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 (2 {\, \small \times \,} 5)\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 2+\log_2 5\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\log_2 5\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) [終]
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各辺の \(2\) を底とする対数をとると、
\(\begin{eqnarray}~~~\log_2 2^x&=&\log_2 5^y~=~\log_2 10^z
\\[5pt]~~~x&=&y\log_2 5~=~z\log_2 10\end{eqnarray}\)
\(x=y\log_2 5\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\log_2 5\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 5\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
また、\(x=z\log_2 10\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~z&=&\displaystyle \frac{\,x\,}{\,\log_2 10\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 10\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
これより、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,\log_2 5\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\log_2 5\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 10\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 (2 {\, \small \times \,} 5)\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\log_2 2+\log_2 5\,}{\,x\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\log_2 5\,}{\,x\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) [終]
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