このページは、数研出版｜数学A[104-901]
第３章 数学と人間の活動
第３章 数学と人間の活動
教科書の復習から入試の入門まで｜数学入門問題精講
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数研出版数学A 第１章 場合の数と確率
数研出版数学A 第２章 図形の性質
数研出版数学A 第３章 数学と人間の活動
第３章 数学と人間の活動
p.132 練習1\({\small (1)}~\pm1~,~\pm2~,~\pm3~,~\pm6~,~\pm9~,~\pm18\)
\({\small (2)}~6~,~12~,~18~,~24~,~30\)
解法のPoint｜約数と倍数の求め方
\({\small (2)}~6~,~12~,~18~,~24~,~30\)
解法のPoint｜約数と倍数の求め方
p.133 練習2\({\small (1)}~\)[証明] \(a~,~b\) がともに \(3\) の倍数より、整数 \(k~,~l\) を用いて、
\(a=3k~,~b=3l\)
よって、\(a+b\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b&=&3k+3l
\\[3pt]~~~&=&3(k+l)\end{eqnarray}\)
\(k+l\) は整数であるので、\(3(k+l)\) は \(3\) の倍数
したがって、\(a+b\) は \(3\) の倍数となる [終]
\(a=10k~,~a-b=10l\)
よって、\(a\) から \(a-b\) を引くと、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a&=&10k \\~~
-\big{)}~~~a-b&=&10l\\
\hline b&=&10k-10l
\\[3pt] b&=&10(k-l)\end{eqnarray}\)
\(k-l\) は整数であるので、\(10(k-l)\) は \(10\) の倍数
したがって、\(b\) は \(10\) の倍数となる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(a=3k~,~b=3l\)
よって、\(a+b\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~a+b&=&3k+3l
\\[3pt]~~~&=&3(k+l)\end{eqnarray}\)
\(k+l\) は整数であるので、\(3(k+l)\) は \(3\) の倍数
したがって、\(a+b\) は \(3\) の倍数となる [終]
\({\small (2)}~\)[証明] \(a~,~a-b\) がともに \(10\) の倍数より、整数 \(k~,~l\) を用いて、
\(a=10k~,~a-b=10l\)
よって、\(a\) から \(a-b\) を引くと、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
a&=&10k \\~~
-\big{)}~~~a-b&=&10l\\
\hline b&=&10k-10l
\\[3pt] b&=&10(k-l)\end{eqnarray}\)
\(k-l\) は整数であるので、\(10(k-l)\) は \(10\) の倍数
したがって、\(b\) は \(10\) の倍数となる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.134 練習3自然数 \(N\) の下3桁が表す数を \(a\) とすると、負でない整数 \(k\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~N&=&1000k+a\\[2pt]~~~&=&8{\, \small \times \,}125k+a\end{eqnarray}\)
よって、\(N\) が \(8\) の倍数となるのは、\(a\) が \(8\) の倍数であればよい
したがって、下３桁が \(8\) の倍数のときである
解法のPoint｜4の倍数・5の倍数・8の倍数の判別
\(\begin{eqnarray}~~~N&=&1000k+a\\[2pt]~~~&=&8{\, \small \times \,}125k+a\end{eqnarray}\)
よって、\(N\) が \(8\) の倍数となるのは、\(a\) が \(8\) の倍数であればよい
したがって、下３桁が \(8\) の倍数のときである
解法のPoint｜4の倍数・5の倍数・8の倍数の判別
p.135 研究 練習1\(~~~(x~,~y)=(-1~,~-3)~,~(3~,~1)~,~\)
\(~~~~~~~~~~~(-3~,~7)~,~(-7~,~3)\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(~~~~~~~~~~~(-3~,~7)~,~(-7~,~3)\)
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p.135 研究 練習2\({\small (1)}~(x~,~y)=(0~,~2)~,~(-2~,~4)\)
\({\small (2)}~(x~,~y)=(5~,~5)~,~(8~,~2)~,~(6~,~3)~,~\)
\(~~~~~~~~~~~(2~,~-1)~,~(3~,~-3)~,~(0~,~0)\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small (2)}~(x~,~y)=(5~,~5)~,~(8~,~2)~,~(6~,~3)~,~\)
\(~~~~~~~~~~~(2~,~-1)~,~(3~,~-3)~,~(0~,~0)\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.137 練習5\({\small (1)}~2^5\cdot3\) \({\small (2)}~3^2\cdot5^2\)
\({\small (3)}~2\cdot3^3\cdot7\) \({\small (4)}~2^2\cdot3\cdot5\cdot7^2\)
解法のPoint｜素因数分解の方法
\({\small (3)}~2\cdot3^3\cdot7\) \({\small (4)}~2^2\cdot3\cdot5\cdot7^2\)
解法のPoint｜素因数分解の方法
p.138 練習7\({\small (1)}~1~,~2~,~4~,~7~,~8~,~14~,~28~,~56\)
\({\small (2)}~1~,~2~,~3~,~5~,~6~,~9~,~10\)
\(~~~~~15~,~18~,~30~,~45~,~90\)
解法のPoint｜素因数分解と正の約数
\({\small (2)}~1~,~2~,~3~,~5~,~6~,~9~,~10\)
\(~~~~~15~,~18~,~30~,~45~,~90\)
解法のPoint｜素因数分解と正の約数
p.140 練習9\({\small (1)}~6~,~1260\)
\({\small (2)}~126~,~3780\)
\({\small (3)}~12~,~6300\)
解法のPoint｜素因数分解と最大公約数・最小公倍数
\({\small (2)}~126~,~3780\)
\({\small (3)}~12~,~6300\)
解法のPoint｜素因数分解と最大公約数・最小公倍数
p.141 練習11[証明] \(k~,~l\) を自然数とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
a+5=6k~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\[3pt] a+1=8l~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+17&=&(a+5)+12
\\[3pt]~~~&=&6k+12
\\[3pt]~~~&=&6(k+2)~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+17&=&(a+1)+16
\\[3pt]~~~&=&8l+16
\\[3pt]~~~&=&8(l+2)~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}={\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~6(k+2)&=&8(l+2)
\\[3pt]~~~3(k+2)&=&4(l+2)\end{eqnarray}\)
\(3\) と \(4\) は互いに素であるので、\(k+2\) は \(4\) の倍数となる
（※ \(l+2\) が \(3\) の倍数でもよい。）
よって、自然数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~k+2=4m\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+17&=&6(k+2)
\\[3pt]~~~&=&6 \cdot 4m
\\[3pt]~~~&=&24m\end{eqnarray}\)
したがって、\(a+17\) は \(24\) の倍数となる [終]
\({\small [\,3\,]}\) と \({\small [\,4\,]}\) より、\(a+17\) は \(6\) の倍数かつ \(8\) の倍数である
\(6\) と \(8\) の最小公倍数は \(24\) であるので、\(a+17\) は \(24\) の倍数となる
したがって、\(a+17\) は \(24\) の倍数となる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
a+5=6k~~~\cdots {\small [\,1\,]}
\\[3pt] a+1=8l~~~\cdots {\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+17&=&(a+5)+12
\\[3pt]~~~&=&6k+12
\\[3pt]~~~&=&6(k+2)~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+17&=&(a+1)+16
\\[3pt]~~~&=&8l+16
\\[3pt]~~~&=&8(l+2)~~~\cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}={\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~6(k+2)&=&8(l+2)
\\[3pt]~~~3(k+2)&=&4(l+2)\end{eqnarray}\)
\(3\) と \(4\) は互いに素であるので、\(k+2\) は \(4\) の倍数となる
（※ \(l+2\) が \(3\) の倍数でもよい。）
よって、自然数 \(m\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~k+2=4m\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~a+17&=&6(k+2)
\\[3pt]~~~&=&6 \cdot 4m
\\[3pt]~~~&=&24m\end{eqnarray}\)
したがって、\(a+17\) は \(24\) の倍数となる [終]
【別解】 ※ \({\small [\,4\,]}\) の式を作るまで同じ。
\({\small [\,3\,]}\) と \({\small [\,4\,]}\) より、\(a+17\) は \(6\) の倍数かつ \(8\) の倍数である
\(6\) と \(8\) の最小公倍数は \(24\) であるので、\(a+17\) は \(24\) の倍数となる
したがって、\(a+17\) は \(24\) の倍数となる [終]
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p.144 練習12\({\small (1)}~\)商 \(4\)、余り \(5\)
\({\small (2)}~\)商 \(-4\)、余り \(1\)
解法のPoint｜整数の割り算・商と余りの式
\({\small (2)}~\)商 \(-4\)、余り \(1\)
解法のPoint｜整数の割り算・商と余りの式
p.145 練習13\({\small (1)}~0\) \({\small (2)}~1\)
\({\small (3)}~2\) \({\small (4)}~0\)
解法のPoint｜商と余りの式を用いた余りの計算
\({\small (3)}~2\) \({\small (4)}~0\)
解法のPoint｜商と余りの式を用いた余りの計算
p.146 練習14[証明] 連続する \(2\) つの偶数を整数 \(n\) を用いて
\(2n~,~2n+2\)
と表すと、その \(2\) 乗の差は、
\(\begin{eqnarray}~~~(2n+2)^2-(2n)^2&=&(4n^2+8n+4)-4n^2\\[3pt]~~~&=&8n+4\\[3pt]~~~&=&4(2n+1)\end{eqnarray}\)
ここで、\(2n+1\) は整数より、
\(4(2n+1)\) は \(4\) の倍数となる
次に、\(2n+1\) は奇数であり、\(2\) の倍数ではないので、
\(4(2n+1)\) は \(4\) では割り切れるが、\(8\) では割り切れない
したがって、連続する \(2\) つの偶数の \(2\) 乗の差は、\(4\) の倍数であるが、\(8\) の倍数ではない [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(2n~,~2n+2\)
と表すと、その \(2\) 乗の差は、
\(\begin{eqnarray}~~~(2n+2)^2-(2n)^2&=&(4n^2+8n+4)-4n^2\\[3pt]~~~&=&8n+4\\[3pt]~~~&=&4(2n+1)\end{eqnarray}\)
ここで、\(2n+1\) は整数より、
\(4(2n+1)\) は \(4\) の倍数となる
次に、\(2n+1\) は奇数であり、\(2\) の倍数ではないので、
\(4(2n+1)\) は \(4\) では割り切れるが、\(8\) では割り切れない
したがって、連続する \(2\) つの偶数の \(2\) 乗の差は、\(4\) の倍数であるが、\(8\) の倍数ではない [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.147 練習15[証明] この整数 \(n\) を \(5\) で割った余りで分類すると、
\(k\) を整数として、
\(n=5k~,~5k+1~,~5k+2~,~5k+3~,~5k+4\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=5k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2\\[3pt]~~~&=&5(5k^2)\end{eqnarray}\)
\(5k^2\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(0\) になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=5k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k+1)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2+10k+1\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+2k)+1\end{eqnarray}\)
\(5k^2+2k\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(1\) になる
\({\small [\,3\,]}\) \(n=5k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k+2)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2+20k+4\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+4k)+4\end{eqnarray}\)
\(5k^2+4k\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(4\) になる
\({\small [\,4\,]}\) \(n=5k+3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k+3)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2+30k+9\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+6k+1)+4\end{eqnarray}\)
\(5k^2+6k+1\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(4\) になる
\({\small [\,5\,]}\) \(n=5k+4\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k+4)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2+40k+16\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+8k+3)+1\end{eqnarray}\)
\(5k^2+8k+3\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(1\) になる
したがって、\(n^2\) を \(5\) で割った余りは \(0\) か \(1\) か \(4\) になる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(k\) を整数として、
\(n=5k~,~5k+1~,~5k+2~,~5k+3~,~5k+4\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=5k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2\\[3pt]~~~&=&5(5k^2)\end{eqnarray}\)
\(5k^2\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(0\) になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=5k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k+1)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2+10k+1\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+2k)+1\end{eqnarray}\)
\(5k^2+2k\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(1\) になる
\({\small [\,3\,]}\) \(n=5k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k+2)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2+20k+4\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+4k)+4\end{eqnarray}\)
\(5k^2+4k\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(4\) になる
\({\small [\,4\,]}\) \(n=5k+3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k+3)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2+30k+9\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+6k+1)+4\end{eqnarray}\)
\(5k^2+6k+1\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(4\) になる
\({\small [\,5\,]}\) \(n=5k+4\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(5k+4)^2\\[3pt]~~~&=&25k^2+40k+16\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+8k+3)+1\end{eqnarray}\)
\(5k^2+8k+3\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(1\) になる
したがって、\(n^2\) を \(5\) で割った余りは \(0\) か \(1\) か \(4\) になる [終]
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p.147 問1\({\small (1)}~\)
[証明] 整数 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類すると、\(k\) を整数として、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=3k\) のとき、
\(n\) が \(3\) の倍数となる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n+2&=&(3k+1)+2\\[3pt]~~~&=&3k+3\\[3pt]~~~&=&3(k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(n+2\) が \(3\) の倍数となる
\({\small [\,3\,]}\) \(n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n+1&=&(3k+2)+1\\[3pt]~~~&=&3k+3\\[3pt]~~~&=&3(k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(n+1\) が \(3\) の倍数となる
したがって、\(n~,~n+1~,~n+2\) のいずれかは \(3\) の倍数になる [終]
[証明] \(n(n+1)(n+2)\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(n~,~n+1\) は連続する \(2\) つの整数より、
\(n\) と \(n+1\) のいずれかは \(2\) の倍数であるので、\(n(n+1)\) は \(2\) の倍数になる
\({\small [\,2\,]}\) \({\small (1)}\) より、\(n~,~n+1~,~n+2\) のいずれかは \(3\) の倍数になるので、
\(n(n+1)(n+2)\) は \(3\) の倍数になる
\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、\(n(n+1)(n+2)\) は \(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数になる
したがって、\(n(n+1)(n+2)\) は \(6\) の倍数となる [終]
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[証明] 整数 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類すると、\(k\) を整数として、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=3k\) のとき、
\(n\) が \(3\) の倍数となる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n+2&=&(3k+1)+2\\[3pt]~~~&=&3k+3\\[3pt]~~~&=&3(k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(n+2\) が \(3\) の倍数となる
\({\small [\,3\,]}\) \(n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n+1&=&(3k+2)+1\\[3pt]~~~&=&3k+3\\[3pt]~~~&=&3(k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(n+1\) が \(3\) の倍数となる
したがって、\(n~,~n+1~,~n+2\) のいずれかは \(3\) の倍数になる [終]
\({\small (2)}~\)
[証明] \(n(n+1)(n+2)\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(n~,~n+1\) は連続する \(2\) つの整数より、
\(n\) と \(n+1\) のいずれかは \(2\) の倍数であるので、\(n(n+1)\) は \(2\) の倍数になる
\({\small [\,2\,]}\) \({\small (1)}\) より、\(n~,~n+1~,~n+2\) のいずれかは \(3\) の倍数になるので、
\(n(n+1)(n+2)\) は \(3\) の倍数になる
\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、\(n(n+1)(n+2)\) は \(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数になる
したがって、\(n(n+1)(n+2)\) は \(6\) の倍数となる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.147 練習16[証明] \(n(n+1)(2n+1)\) について、
\({\small [\,1\,]}\) \(n~,~n+1\) は連続する \(2\) つの整数より、
\(n\) と \(n+1\) のいずれかは \(2\) の倍数であるので、\(n(n+1)\) は \(2\) の倍数になる
\({\small [\,2\,]}\) 整数 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類すると、\(k\) を整数として、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small (1)}~n=3k\) のとき、
\(n\) が \(3\) の倍数となる
\({\small (2)}~n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~2n+1&=&2(3k+1)+1\\[3pt]~~~&=&6k+3\\[3pt]~~~&=&3(2k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(2n+1\) が \(3\) の倍数となる
\({\small (3)}~n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n+1&=&(3k+2)+1\\[3pt]~~~&=&3k+3\\[3pt]~~~&=&3(k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(n+1\) が \(3\) の倍数となる
これより、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(3\) の倍数となる
\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数になる
したがって、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(6\) の倍数となる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small [\,1\,]}\) \(n~,~n+1\) は連続する \(2\) つの整数より、
\(n\) と \(n+1\) のいずれかは \(2\) の倍数であるので、\(n(n+1)\) は \(2\) の倍数になる
\({\small [\,2\,]}\) 整数 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類すると、\(k\) を整数として、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small (1)}~n=3k\) のとき、
\(n\) が \(3\) の倍数となる
\({\small (2)}~n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~2n+1&=&2(3k+1)+1\\[3pt]~~~&=&6k+3\\[3pt]~~~&=&3(2k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(2n+1\) が \(3\) の倍数となる
\({\small (3)}~n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n+1&=&(3k+2)+1\\[3pt]~~~&=&3k+3\\[3pt]~~~&=&3(k+1)\end{eqnarray}\)
よって、\(n+1\) が \(3\) の倍数となる
これより、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(3\) の倍数となる
\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\) より、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(2\) の倍数かつ \(3\) の倍数になる
したがって、\(n(n+1)(2n+1)\) は \(6\) の倍数となる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.150 発展 練習1[証明]
\(a\equiv c~({\rm mod~} m)\) より、整数 \(s\) を用いて、
\(a-c=ms\) …①
\(b\equiv d~({\rm mod~} m)\) より、整数 \(t\) を用いて、
\(b-d=mt\) …②
①-②より、
(左辺)
\(=(a-c)-(b-d)\)
\(=(a-b)-(c-d)\)
(右辺)
\(=ms-mt\)
\(=m(s-t)\)
したがって、
\(a-b\equiv c-d~({\rm mod~} m)\) [終]
解法のPoint｜合同式の定義と表し方
\(a\equiv c~({\rm mod~} m)\) より、整数 \(s\) を用いて、
\(a-c=ms\) …①
\(b\equiv d~({\rm mod~} m)\) より、整数 \(t\) を用いて、
\(b-d=mt\) …②
①-②より、
(左辺)
\(=(a-c)-(b-d)\)
\(=(a-b)-(c-d)\)
(右辺)
\(=ms-mt\)
\(=m(s-t)\)
したがって、
\(a-b\equiv c-d~({\rm mod~} m)\) [終]
解法のPoint｜合同式の定義と表し方
p.150 発展 練習2\({\small (1)}~1\) \({\small (2)}~2\)
解法のPoint｜合同式を用いたaⁿの余り
\({\small (3)}~9\)
解法のPoint｜合同式とaⁿの一の位の数
解法のPoint｜合同式を用いたaⁿの余り
\({\small (3)}~9\)
解法のPoint｜合同式とaⁿの一の位の数
p.150 発展 練習4[証明] \(n\) を \(3\) で割った余りは \(0~,~1~,~2\) より、
\({\small [\,1\,]}\) \(n\equiv 0 \pmod{3}\) のとき、
\(n^4\equiv 0^4\equiv 0 \pmod{3}\)
これより、余り \(0\)
\({\small [\,2\,]}\) \(n\equiv 1 \pmod{3}\) のとき、
\(n^4\equiv 1^4\equiv 1 \pmod{3}\)
これより、余り \(1\)
\({\small [\,3\,]}\) \(n\equiv 2 \pmod{3}\) のとき、
\(n^4\equiv 2^4\equiv 16\equiv 1 \pmod{3}\)
これより、余り \(1\)
したがって、\(n^4\) を \(3\) で割った余りは \(0\) か \(1\) となる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\({\small [\,1\,]}\) \(n\equiv 0 \pmod{3}\) のとき、
\(n^4\equiv 0^4\equiv 0 \pmod{3}\)
これより、余り \(0\)
\({\small [\,2\,]}\) \(n\equiv 1 \pmod{3}\) のとき、
\(n^4\equiv 1^4\equiv 1 \pmod{3}\)
これより、余り \(1\)
\({\small [\,3\,]}\) \(n\equiv 2 \pmod{3}\) のとき、
\(n^4\equiv 2^4\equiv 16\equiv 1 \pmod{3}\)
これより、余り \(1\)
したがって、\(n^4\) を \(3\) で割った余りは \(0\) か \(1\) となる [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.152 練習17\({\small (1)}~19\) \({\small (2)}~21\)
\({\small (3)}~1\) \({\small (4)}~47\)
解法のPoint｜ユークリッドの互除法と最大公約数
\({\small (3)}~1\) \({\small (4)}~47\)
解法のPoint｜ユークリッドの互除法と最大公約数
p.155 練習18\({\small (1)}~x=5~,~y=-7\)
\({\small (2)}~x=6~,~y=-20\)
\({\small (3)}~x=21~,~y=30\)
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\({\small (2)}~x=6~,~y=-20\)
\({\small (3)}~x=21~,~y=30\)
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p.157 練習19\(k\) を整数とする
\({\small (1)}~x=3k-1~,~y=-2k+1\)
\({\small (2)}~x=3k-1~,~y=5k-2\)
\({\small (3)}~x=9k-1~,~y=4k-1\)
解法のPoint｜1次不定方程式の整数解
\({\small (1)}~x=3k-1~,~y=-2k+1\)
\({\small (2)}~x=3k-1~,~y=5k-2\)
\({\small (3)}~x=9k-1~,~y=4k-1\)
解法のPoint｜1次不定方程式の整数解
p.158 練習20\({\small (1)}~x=29k+18~,~y=-34k-21\)
\({\small (2)}~x=15k-20~,~y=41k-5\)
ただし、\(k\) は整数とする
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\({\small (2)}~x=15k-20~,~y=41k-5\)
ただし、\(k\) は整数とする
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p.162 練習22\({\small (1)}~21\) \({\small (2)}~142\)
\({\small (3)}~273\) \({\small (4)}~119\)
解法のPoint｜n進法の数を10進法で表す
\({\small (3)}~273\) \({\small (4)}~119\)
解法のPoint｜n進法の数を10進法で表す
p.162 練習23\({\small (1)}~1000011_{(2)}\) \({\small (2)}~303_{(5)}\)
\({\small (3)}~7414_{(8)}\)
解法のPoint｜10進法の数をn進法で表す
\({\small (3)}~7414_{(8)}\)
解法のPoint｜10進法の数をn進法で表す
問題
p.164 問題 2\((x~,~y)=(4~,~7)~,~(2~,~-11)~,~(6~,~1)~,~\)
\((0~,~-5)~,~(12~,~-1)~,~(-6~,~-3)\)
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\((0~,~-5)~,~(12~,~-1)~,~(-6~,~-3)\)
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p.164 問題 4\({\small (1)}~1~,~2~,~3~,~4~,~6~,~9~,~\)
\(12~,~18~,~27~,~36~,~54~,~108\)
\({\small (2)}~1~,~3~,~5~,~7~,~9~,~15~,~\)
\(21~,~35~,~45~,~63~,~105~,~315\)
解法のPoint｜素因数分解と正の約数
\(12~,~18~,~27~,~36~,~54~,~108\)
\({\small (2)}~1~,~3~,~5~,~7~,~9~,~15~,~\)
\(21~,~35~,~45~,~63~,~105~,~315\)
解法のPoint｜素因数分解と正の約数
p.164 問題 6\({\small (1)}~\)最大公約数 \(24\) 最小公倍数 \(720\)
\({\small (2)}~\)最大公約数 \(45\) 最小公倍数 \(5940\)
解法のPoint｜素因数分解と最大公約数・最小公倍数
\({\small (2)}~\)最大公約数 \(45\) 最小公倍数 \(5940\)
解法のPoint｜素因数分解と最大公約数・最小公倍数
p.164 問題 10[証明] この整数 \(n\) を \(3\) で割った余りで分類すると、
\(k\) を整数として、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=3k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n(n^2+2)&=&3k\{(3k)^2+2\}\\[3pt]~~~&=&3k(9k^2+2)\end{eqnarray}\)
\(k(9k^2+2)\) は整数より、
\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n(n^2+2)&=&(3k+1)\{(3k+1)^2+2\}\\[3pt]~~~&=&(3k+1)(9k^2+6k+3)\\[3pt]~~~&=&3(3k+1)(3k^2+2k+1)\end{eqnarray}\)
\((3k+1)(3k^2+2k+1)\) は整数より、
\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数になる
\({\small [\,3\,]}\) \(n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n(n^2+2)&=&(3k+2)\{(3k+2)^2+2\}\\[3pt]~~~&=&(3k+2)(9k^2+12k+6)\\[3pt]~~~&=&3(3k+2)(3k^2+4k+2)\end{eqnarray}\)
\((3k+2)(3k^2+4k+2)\) は整数より、
\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数になる
したがって、\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数となる [終]
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\(k\) を整数として、
\(n=3k~,~3k+1~,~3k+2\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=3k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n(n^2+2)&=&3k\{(3k)^2+2\}\\[3pt]~~~&=&3k(9k^2+2)\end{eqnarray}\)
\(k(9k^2+2)\) は整数より、
\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=3k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n(n^2+2)&=&(3k+1)\{(3k+1)^2+2\}\\[3pt]~~~&=&(3k+1)(9k^2+6k+3)\\[3pt]~~~&=&3(3k+1)(3k^2+2k+1)\end{eqnarray}\)
\((3k+1)(3k^2+2k+1)\) は整数より、
\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数になる
\({\small [\,3\,]}\) \(n=3k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n(n^2+2)&=&(3k+2)\{(3k+2)^2+2\}\\[3pt]~~~&=&(3k+2)(9k^2+12k+6)\\[3pt]~~~&=&3(3k+2)(3k^2+4k+2)\end{eqnarray}\)
\((3k+2)(3k^2+4k+2)\) は整数より、
\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数になる
したがって、\(n(n^2+2)\) は \(3\) の倍数となる [終]
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p.165 問題 12\({\small (1)}~x=7k+3~,~y=-5k-2\)
\({\small (2)}~x=2k+2~,~y=3k+1\)
\({\small (3)}~x=23k-10~,~y=16k-7\)
\({\small (4)}~x=48k+33~,~y=-35k-24\)
ただし、\(k\) は整数
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\({\small (2)}~x=2k+2~,~y=3k+1\)
\({\small (3)}~x=23k-10~,~y=16k-7\)
\({\small (4)}~x=48k+33~,~y=-35k-24\)
ただし、\(k\) は整数
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p.165 問題 14\({\small (1)}~54\) \({\small (2)}~189\)
解法のPoint｜n進法の数を10進法で表す
\({\small (3)}~10001111_{(2)}\) \({\small (4)}~31023_{(5)}\)
\({\small (5)}~1110_{(3)}\) \({\small (6)}~110101_{(2)}\)
解法のPoint｜10進法の数をn進法で表す
解法のPoint｜n進法の数を10進法で表す
\({\small (3)}~10001111_{(2)}\) \({\small (4)}~31023_{(5)}\)
\({\small (5)}~1110_{(3)}\) \({\small (6)}~110101_{(2)}\)
解法のPoint｜10進法の数をn進法で表す
p.165 問題 16\({\small (1)}~\)差、\(11\)
\({\small (2)}~\)一の位から数えて、奇数番目の数字の和は、
\(\begin{array}{cccccccccc}
1 & 3 & 5 & 8 & 0 & 2 & 4 & 6 & 7 & 9
\\[-3pt]& \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow
\end{array}\)
\(9+4+2+8+5=28\)
また、偶数番目の数字の和は、
\(\begin{array}{cccccccccc}
1 & 3 & 5 & 8 & 0 & 2 & 4 & 6 & 7 & 9
\\[-3pt]\uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow &
\end{array}\)
\(7+6+0+3+1=17\)
よって、この \(2\) つの和の差は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&28-17\\[3pt]~~~&=&11\end{eqnarray}\)
\(11\) は \(11\) の倍数であるので、
したがって、\(1358024679\) は \(11\) の倍数となる
\({\small (3)}~7\)
解法のPoint｜11の倍数の判別
\({\small (2)}~\)一の位から数えて、奇数番目の数字の和は、
\(\begin{array}{cccccccccc}
1 & 3 & 5 & 8 & 0 & 2 & 4 & 6 & 7 & 9
\\[-3pt]& \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow
\end{array}\)
\(9+4+2+8+5=28\)
また、偶数番目の数字の和は、
\(\begin{array}{cccccccccc}
1 & 3 & 5 & 8 & 0 & 2 & 4 & 6 & 7 & 9
\\[-3pt]\uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow &
\end{array}\)
\(7+6+0+3+1=17\)
よって、この \(2\) つの和の差は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&28-17\\[3pt]~~~&=&11\end{eqnarray}\)
\(11\) は \(11\) の倍数であるので、
したがって、\(1358024679\) は \(11\) の倍数となる
\({\small (3)}~7\)
解法のPoint｜11の倍数の判別
演習問題 数学と人間の活動
p.184 演習問題A 2\({\small (1)}~5\) の倍数は \(20\) 個、\(5^2\) の倍数は \(4\) 個
\({\small (2)}~24\) 個 \({\small (3)}~24\) 個
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\({\small (2)}~24\) 個 \({\small (3)}~24\) 個
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p.184 演習問題A 4[証明] この整数 \(n\) を \(5\) で割った余りで分類すると、
\(k\) を整数として、
\(n=5k~,~5k+1~,~5k+2~,~5k+3~,~5k+4\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=5k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+n+1&=&(5k)^2+5k+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+5k+1\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+k)+1\end{eqnarray}\)
\(5k^2+k\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(1\) になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=5k+1\) のとき、
\(5k^2+3k\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(3\) になる
\({\small [\,3\,]}\) \(n=5k+2\) のとき、
\(5k^2+5k+1\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(2\) になる
\({\small [\,4\,]}\) \(n=5k+3\) のとき、
\(5k^2+7k+2\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(3\) になる
\({\small [\,5\,]}\) \(n=5k+4\) のとき、
\(5k^2+9k+4\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(1\) になる
いずれの場合も、\(5\) で割った余りは \(0\) にならない
したがって、\(n^2+n+1\) は \(5\) で割り切れない [終]
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\(k\) を整数として、
\(n=5k~,~5k+1~,~5k+2~,~5k+3~,~5k+4\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=5k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+n+1&=&(5k)^2+5k+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+5k+1\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+k)+1\end{eqnarray}\)
\(5k^2+k\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(1\) になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=5k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+n+1&=&(5k+1)^2+(5k+1)+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+10k+1+5k+1+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+15k+3\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+3k)+3\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
\(5k^2+3k\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(3\) になる
\({\small [\,3\,]}\) \(n=5k+2\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+n+1&=&(5k+2)^2+(5k+2)+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+20k+4+5k+2+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+25k+7\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+5k+1)+2\end{eqnarray}\)
\(5k^2+5k+1\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(2\) になる
\({\small [\,4\,]}\) \(n=5k+3\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+n+1&=&(5k+3)^2+(5k+3)+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+30k+9+5k+3+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+35k+13\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+7k+2)+3\end{eqnarray}\)
\(5k^2+7k+2\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(3\) になる
\({\small [\,5\,]}\) \(n=5k+4\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2+n+1&=&(5k+4)^2+(5k+4)+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+40k+16+5k+4+1\\[3pt]~~~&=&25k^2+45k+21\\[3pt]~~~&=&5(5k^2+9k+4)+1\end{eqnarray}\)
\(5k^2+9k+4\) は整数より、
\(5\) で割った余りは \(1\) になる
いずれの場合も、\(5\) で割った余りは \(0\) にならない
したがって、\(n^2+n+1\) は \(5\) で割り切れない [終]
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p.185 演習問題B 14\({\small (1)}~\)
[証明] \(k\) は \(a\) と \(a-b\) の公約数であるので、
自然数 \(m~,~n\) を用いて、\(a\) と \(a-b\) は次のように表される
\(\begin{eqnarray}~~~a=km~~~,~~~a-b=kn\end{eqnarray}\)
この \(2\) つの式から \(a\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a-b&=&kn
\\[3pt]~~~km-b&=&kn\end{eqnarray}\)
これを \(b\) について整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~b&=&km-kn
\\[3pt]~~~&=&k(m-n)\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt b\) より \(a \gt a-b\) であるから \(m \gt n\) となり、\(m-n\) は自然数である
よって、\(b\) は \(k\) に自然数 \(m-n\) をかけた形で表されるので、
したがって、\(k\) は \(b\) の約数である [終]
[証明] \(k\) を \(a\) と \(a-b\) の公約数とすると、
\(k\) は \(a\) の約数であり、\({\small (1)}\) より、\(b\) の約数でもある
すなわち、\(k\) は \(a\) と \(b\) の公約数である
ここで、\(a\) と \(b\) は互いに素であるから、その公約数は \(1\) のみである
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~k=1\end{eqnarray}\)
したがって、\(a\) と \(a-b\) の正の公約数は \(1\) のみである
よって、\(a\) と \(a-b\) は互いに素である [終]
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[証明] \(k\) は \(a\) と \(a-b\) の公約数であるので、
自然数 \(m~,~n\) を用いて、\(a\) と \(a-b\) は次のように表される
\(\begin{eqnarray}~~~a=km~~~,~~~a-b=kn\end{eqnarray}\)
この \(2\) つの式から \(a\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~a-b&=&kn
\\[3pt]~~~km-b&=&kn\end{eqnarray}\)
これを \(b\) について整理すると、
\(\begin{eqnarray}~~~b&=&km-kn
\\[3pt]~~~&=&k(m-n)\end{eqnarray}\)
ここで、\(a \gt b\) より \(a \gt a-b\) であるから \(m \gt n\) となり、\(m-n\) は自然数である
よって、\(b\) は \(k\) に自然数 \(m-n\) をかけた形で表されるので、
したがって、\(k\) は \(b\) の約数である [終]
\({\small (2)}~\)
[証明] \(k\) を \(a\) と \(a-b\) の公約数とすると、
\(k\) は \(a\) の約数であり、\({\small (1)}\) より、\(b\) の約数でもある
すなわち、\(k\) は \(a\) と \(b\) の公約数である
ここで、\(a\) と \(b\) は互いに素であるから、その公約数は \(1\) のみである
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~k=1\end{eqnarray}\)
したがって、\(a\) と \(a-b\) の正の公約数は \(1\) のみである
よって、\(a\) と \(a-b\) は互いに素である [終]
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p.185 演習問題B 16\({\small (1)}~\)
[証明] この整数 \(n\) を \(2\) で割った余りで分類すると、
\(k\) を整数として、
\(n=2k~,~2k+1\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=2k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2\\[3pt]~~~&=&4 \cdot k^2\end{eqnarray}\)
\(k^2\) は整数より、
\(4\) で割った余りは \(0\) になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=2k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k+1)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2+4k+1\\[3pt]~~~&=&4(k^2+k)+1\end{eqnarray}\)
\(k^2+k\) は整数より、
\(4\) で割った余りは \(1\) になる
したがって、\(n^2\) を \(4\) で割った余りは \(0\) か \(1\) になる [終]
[証明] \(a~,~b\) はともに奇数であるから、整数 \(k~,~l\) を用いて
\(a=2k+1~,~b=2l+1\)
と表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+b^2&=&(2k+1)^2+(2l+1)^2\\[3pt]~~~&=&(4k^2+4k+1)+(4l^2+4l+1)\\[3pt]~~~&=&4k^2+4k+4l^2+4l+2\\[3pt]~~~&=&4(k^2+k+l^2+l)+2\end{eqnarray}\)
よって、\(k^2+k+l^2+l\) は整数より、
\(a^2+b^2\) を \(4\) で割った余りは \(2\) になる
ここで、\(a^2+b^2=c^2\) が成り立つと仮定すると、
\(c^2\) を \(4\) で割った余りも \(2\) になる
しかし、\({\small (1)}\) より、\(c^2\) を \(4\) で割った余りは \(0\) か \(1\) であり、\(2\) になることはない
これは矛盾である。
したがって、\(a^2+b^2=c^2\) を満たす整数 \(c\) は存在しない [終]
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[証明] この整数 \(n\) を \(2\) で割った余りで分類すると、
\(k\) を整数として、
\(n=2k~,~2k+1\)
\({\small [\,1\,]}\) \(n=2k\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2\\[3pt]~~~&=&4 \cdot k^2\end{eqnarray}\)
\(k^2\) は整数より、
\(4\) で割った余りは \(0\) になる
\({\small [\,2\,]}\) \(n=2k+1\) のとき、
\(\begin{eqnarray}~~~n^2&=&(2k+1)^2\\[3pt]~~~&=&4k^2+4k+1\\[3pt]~~~&=&4(k^2+k)+1\end{eqnarray}\)
\(k^2+k\) は整数より、
\(4\) で割った余りは \(1\) になる
したがって、\(n^2\) を \(4\) で割った余りは \(0\) か \(1\) になる [終]
\({\small (2)}~\)
[証明] \(a~,~b\) はともに奇数であるから、整数 \(k~,~l\) を用いて
\(a=2k+1~,~b=2l+1\)
と表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2+b^2&=&(2k+1)^2+(2l+1)^2\\[3pt]~~~&=&(4k^2+4k+1)+(4l^2+4l+1)\\[3pt]~~~&=&4k^2+4k+4l^2+4l+2\\[3pt]~~~&=&4(k^2+k+l^2+l)+2\end{eqnarray}\)
よって、\(k^2+k+l^2+l\) は整数より、
\(a^2+b^2\) を \(4\) で割った余りは \(2\) になる
ここで、\(a^2+b^2=c^2\) が成り立つと仮定すると、
\(c^2\) を \(4\) で割った余りも \(2\) になる
しかし、\({\small (1)}\) より、\(c^2\) を \(4\) で割った余りは \(0\) か \(1\) であり、\(2\) になることはない
これは矛盾である。
したがって、\(a^2+b^2=c^2\) を満たす整数 \(c\) は存在しない [終]
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