このページは、数研出版｜高等学校数学Ⅰ[104-903]
第４章 図形と計量
第４章 図形と計量
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高等学校数学Ⅰ 第１章 数と式
高等学校数学Ⅰ 第２章 集合と命題
高等学校数学Ⅰ 第３章 ２次関数
高等学校数学Ⅰ 第４章 図形と計量
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第４章 図形と計量
第１節 三角比
p.130 練習1\({\small (1)}~\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}~,~\cos{\theta}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,3\,}\)
\(~~~~~~\tan{\theta}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}\)
\({\small (2)}~\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,13\,}~,~\cos{\theta}=\displaystyle \frac{\,12\,}{\,13\,}\)
\(~~~~~~\tan{\theta}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\)
\({\small (3)}~\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{7}\,}{\,4\,}~,~\cos{\theta}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\)
\(~~~~~~\tan{\theta}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{7}\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜直角三角形と正弦・余弦・正接の値
\(~~~~~~\tan{\theta}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}\)
\({\small (2)}~\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,13\,}~,~\cos{\theta}=\displaystyle \frac{\,12\,}{\,13\,}\)
\(~~~~~~\tan{\theta}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\)
\({\small (3)}~\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{7}\,}{\,4\,}~,~\cos{\theta}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\)
\(~~~~~~\tan{\theta}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{7}\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜直角三角形と正弦・余弦・正接の値
p.130 練習2 \(\begin{array}{c|ccc}
\theta & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ \\
\hline
\sin \theta & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,} & \displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,} \\
\hline
\cos \theta & \displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \\
\hline
\tan \theta & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,} & 1 & \sqrt{3} \\
\end{array}\)
解法のPoint｜30°、45°、60°の三角比の値
\theta & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ \\
\hline
\sin \theta & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,} & \displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,} \\
\hline
\cos \theta & \displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,} & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \\
\hline
\tan \theta & \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,} & 1 & \sqrt{3} \\
\end{array}\)
解法のPoint｜30°、45°、60°の三角比の値
p.131 練習3\({\small (1)}~0.2079\) \({\small (2)}~0.6691\)
\({\small (3)}~3.7321\)
解法のPoint｜三角比の表を用いた三角比の値
\({\small (3)}~3.7321\)
解法のPoint｜三角比の表を用いた三角比の値
p.135 練習7\(~~~\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{2}\,}{\,3\,}~,~\tan{\theta}=2\sqrt{2}\)
解法のPoint｜sinθ(cosθ)の値と残りの三角比の値
解法のPoint｜sinθ(cosθ)の値と残りの三角比の値
p.135 練習8\(~~~\cos{\theta}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,3\,}~,~\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}\)
解法のPoint｜tanθの値と残りの三角比の値
解法のPoint｜tanθの値と残りの三角比の値
p.136 練習9\({\small (1)}~28^\circ\) \({\small (2)}~12^\circ\) \({\small (3)}~67^\circ\)
解法のPoint｜90°-θの三角比の値
解法のPoint｜90°-θの三角比の値
p.136 練習10\({\small (1)}~\cos{26^\circ}\) \({\small (2)}~\sin{32^\circ}\)
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan{7^\circ}\,}\)
解法のPoint｜90°-θの三角比の値
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan{7^\circ}\,}\)
解法のPoint｜90°-θの三角比の値
p.136 深める\(\theta\) が \(0^\circ\) から \(90^\circ\) の \(\sin{\theta}\) と \(\cos{\theta}\) の値は、\(\theta=45^\circ\) の値を基準として対称的に並ぶ
p.138 練習11\({\small (1)}~r=\sqrt{2}~,~(-1,1)\)
\(~~~\sin{135^\circ}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}~,~\cos{135^\circ}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~\tan{135^\circ}=-1\)
\({\small (2)}~r=2~,~(-\sqrt{3},1)\)
\(~~~\sin{150^\circ}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\cos{150^\circ}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~\tan{150^\circ}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
解法のPoint｜座標を用いた三角比の値
\(~~~\sin{135^\circ}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}~,~\cos{135^\circ}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~\tan{135^\circ}=-1\)
\({\small (2)}~r=2~,~(-\sqrt{3},1)\)
\(~~~\sin{150^\circ}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\cos{150^\circ}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~\tan{150^\circ}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
解法のPoint｜座標を用いた三角比の値
p.140 練習12\({\small (1)}~0.6428\) \({\small (2)}~-0.9135\)
\({\small (3)}~-5.6713\)
解法のPoint｜180°-θの三角比の値
\({\small (3)}~-5.6713\)
解法のPoint｜180°-θの三角比の値
p.141 練習13\({\small (1)}~60^\circ~,~120^\circ\) \({\small (2)}~120^\circ\)
\({\small (3)}~0^\circ~,~180^\circ\)
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\({\small (3)}~0^\circ~,~180^\circ\)
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p.143 練習15\(0^\circ\lt \theta \lt 90^\circ\) のとき、
\(~~~\cos{\theta}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~\tan{\theta}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
\(90^\circ\lt \theta \lt 180^\circ\) のとき、
\(~~~\cos{\theta}=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~\tan{\theta}=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
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\(~~~\cos{\theta}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~\tan{\theta}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
\(90^\circ\lt \theta \lt 180^\circ\) のとき、
\(~~~\cos{\theta}=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~\tan{\theta}=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
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p.143 練習16\({\small (1)}~\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{2}\,}{\,3\,}~,~\tan{\theta}=-2\sqrt{2}\)
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\({\small (2)}~\cos{\theta}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}~,~\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}\)
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\({\small (2)}~\cos{\theta}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}~,~\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}\)
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問題
p.145 問題 2\({\small (1)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~{A}+{B}+{C}&=&180^\circ\\[3pt]~~~{B}+{C}&=&180^\circ-{A}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,180^\circ-{A}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}&=&90^\circ-\displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}&=&\cos \left(90^\circ-\displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
ここで、\(\cos (90^\circ-\theta)=\sin \theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \left(90^\circ-\displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}\right)&=&\sin \displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\sin \displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}=\cos \displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}\) となる
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\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~{A}+{B}+{C}&=&180^\circ\\[3pt]~~~{B}+{C}&=&180^\circ-{A}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin({B}+{C})&=&\sin(180^\circ-{A})\\[3pt]~~~&=&\sin {A}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\sin {A}=\sin({B}+{C})\)
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\(\begin{eqnarray}~~~{A}+{B}+{C}&=&180^\circ\\[3pt]~~~{B}+{C}&=&180^\circ-{A}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,180^\circ-{A}\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}&=&90^\circ-\displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}&=&\cos \left(90^\circ-\displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}\right)\end{eqnarray}\)
ここで、\(\cos (90^\circ-\theta)=\sin \theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos \left(90^\circ-\displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}\right)&=&\sin \displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\sin \displaystyle \frac{\,{A}\,}{\,2\,}=\cos \displaystyle \frac{\,{B}+{C}\,}{\,2\,}\) となる
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\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm ABC}\) の内角の和より、
\(\begin{eqnarray}~~~{A}+{B}+{C}&=&180^\circ\\[3pt]~~~{B}+{C}&=&180^\circ-{A}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin({B}+{C})&=&\sin(180^\circ-{A})\\[3pt]~~~&=&\sin {A}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\sin {A}=\sin({B}+{C})\)
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p.145 問題 3\({\small (1)}~\cos \theta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,7\,}\,}{\,4\,}~,~\tan \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,7\,}\,}\)
または
\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,7\,}\,}{\,4\,}~,~\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,7\,}\,}\)
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\({\small (2)}~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}~,~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\)
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または
\(\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,7\,}\,}{\,4\,}~,~\tan \theta=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,7\,}\,}\)
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\({\small (2)}~\sin \theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}~,~\cos \theta=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{\,10\,}\,}\)
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p.145 問題 5 \(\sin 170^\circ \lt \sin 20^\circ \lt \sin 150^\circ \lt \sin 40^\circ\)
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第２節 三角形への応用
p.148 練習18\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,5\sqrt{2}\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~1\)
解法のPoint｜正弦定理と外接円の半径
解法のPoint｜正弦定理と外接円の半径
p.150 練習22[証明] \(\triangle {\rm CDB}\) において三平方の定理より、
\({\rm BC}^2={\rm CD}^2+{\rm BD}^2\)
解法のPoint｜三角比の値と辺の長さ
\({\rm BC}^2={\rm CD}^2+{\rm BD}^2\)
次に、\(\triangle {\rm CAD}\) において
\(\sin{(180^\circ-{\rm A})}=\displaystyle \frac{\,{\rm CD}\,}{\,b\,}\)
よって、
\(b\sin{{\rm A}}={\rm CD}\)
２乗すると、
\({\rm CD}^2=(b\sin{{\rm A}})^2\)
また、\(\triangle {\rm CAD}\) において、
\(~~~\cos{(180^\circ-{\rm A})}=\displaystyle \frac{\,{\rm AD}\,}{\,b\,}\)
よって、
\(-b\cos{{\rm A}}={\rm AD}\)
ここで、\({\rm BD=AB+AD}\) より、
\({\rm BD}=c-b\cos{{\rm A}}\)
２乗すると、
\({\rm BD}^2=(c-b\cos{{\rm A}})^2\) [終]
解法のPoint｜三角比の値と辺の長さ
p.152 練習25\({\small (1)}~{\rm A}=30^\circ\) \({\small (2)}~{\rm B}=135^\circ\)
解法のPoint｜余弦定理と三角形の辺と角
解法のPoint｜余弦定理と三角形の辺と角
p.154 深める\({\rm A}=60^\circ\) であり、\({\rm B}=135^\circ\) であると内角の和が \(180^\circ\) より大きくなり、三角形とならない
p.157 練習29\({\small (1)}~20\sqrt{2}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,15\,}{\,2\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,4\,}a^2\)
解法のPoint｜正弦を用いた三角形の面積
解法のPoint｜正弦を用いた三角形の面積
問題
p.164 問題 7\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,13\,}\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\sqrt{\,13\,}\,}~\left(=\displaystyle \frac{\,5\sqrt{\,13\,}\,}{\,26\,}\right)\)
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,37\,}\,}{\,2\,}\)
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\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,37\,}\,}{\,2\,}\)
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p.164 問題 8\({\small (1)}~12\sqrt{\,3\,}\)
解法のPoint｜正弦を用いた三角形の面積
\({\small (2)}~12\)
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解法のPoint｜正弦を用いた三角形の面積
\({\small (2)}~12\)
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p.164 問題 10\({\small (1)}~S=\displaystyle \frac{\,abc\,}{\,4R\,}\)
\({\small (2)}~S=Rr(\sin {A}+\sin {B}+\sin {C})\)
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\({\small (2)}~S=Rr(\sin {A}+\sin {B}+\sin {C})\)
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章末問題 図形と計量
p.165 章末問題A 1\({\small (1)}~5(\sqrt{\,3\,}+1)~{\rm m}\) \({\small (2)}~5(\sqrt{\,3\,}+3)~{\rm m}\)
解法のPoint｜三角比を用いた測量
解法のPoint｜三角比を用いた測量
p.165 章末問題A 3\({\small (1)}~\sqrt{\,3\,}+1\)
\({\small (2)}~\)\(\sin 75^\circ=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}+\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\,}~,~\)
\(\cos 75^\circ=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}-\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\,}\)
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\({\small (2)}~\)\(\sin 75^\circ=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}+\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\,}~,~\)
\(\cos 75^\circ=\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}-\sqrt{\,2\,}\,}{\,4\,}\)
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p.165 章末問題A 4[証明] \({\rm AO}+{\rm OC}=p~,~\)\({\rm BO}+{\rm OD}=q\)
また、\(\angle {\rm AOB}=\theta\) より、
\(\angle {\rm DOC}=\theta~,~\)\(\angle {\rm AOD}=\angle {\rm BOC}=180^\circ-\theta\)
これより、この四角形が対角線によって分けられる \(4\) つの三角形の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle OAB}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AO} \cdot {\rm BO} \cdot \sin \theta\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle OBC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BO} \cdot {\rm OC} \cdot \sin (180^\circ-\theta)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BO} \cdot {\rm OC} \cdot \sin \theta\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle OCD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm OC} \cdot {\rm OD} \cdot \sin \theta\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle ODA}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm OD} \cdot {\rm OA} \cdot \sin (180^\circ-\theta)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm OD} \cdot {\rm OA} \cdot \sin \theta\end{eqnarray}\)
よって、この四角形の面積 \(S\) は、
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}pq\sin \theta\) となる [終]
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また、\(\angle {\rm AOB}=\theta\) より、
\(\angle {\rm DOC}=\theta~,~\)\(\angle {\rm AOD}=\angle {\rm BOC}=180^\circ-\theta\)
これより、この四角形が対角線によって分けられる \(4\) つの三角形の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle OAB}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm AO} \cdot {\rm BO} \cdot \sin \theta\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle OBC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BO} \cdot {\rm OC} \cdot \sin (180^\circ-\theta)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm BO} \cdot {\rm OC} \cdot \sin \theta\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle OCD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm OC} \cdot {\rm OD} \cdot \sin \theta\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm \triangle ODA}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm OD} \cdot {\rm OA} \cdot \sin (180^\circ-\theta)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\rm OD} \cdot {\rm OA} \cdot \sin \theta\end{eqnarray}\)
よって、この四角形の面積 \(S\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S&=&{\rm \triangle OAB}+{\rm \triangle OBC}+{\rm \triangle OCD}+{\rm \triangle ODA}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta\,({\rm AO} \cdot {\rm BO}+{\rm BO} \cdot {\rm OC}+{\rm OC} \cdot {\rm OD}+{\rm OD} \cdot {\rm OA})
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta\,\{({\rm AO}+{\rm OC}) \cdot {\rm BO}+({\rm AO}+{\rm OC}) \cdot {\rm OD}\}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta \cdot ({\rm AO}+{\rm OC})({\rm BO}+{\rm OD})
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}pq\sin \theta\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta\,({\rm AO} \cdot {\rm BO}+{\rm BO} \cdot {\rm OC}+{\rm OC} \cdot {\rm OD}+{\rm OD} \cdot {\rm OA})
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta\,\{({\rm AO}+{\rm OC}) \cdot {\rm BO}+({\rm AO}+{\rm OC}) \cdot {\rm OD}\}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin \theta \cdot ({\rm AO}+{\rm OC})({\rm BO}+{\rm OD})
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}pq\sin \theta\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\(S=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}pq\sin \theta\) となる [終]
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p.166 章末問題B 8\({\small (1)}~14\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,12\,}{\,7\,}\)
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p.166 章末問題B 9\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,12\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,48\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,6\,}\,}{\,12\,}\)
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