このページは、数研出版：高等学校数学Ⅱ[710]
第４章 三角関数
第４章 三角関数
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高等学校数学Ⅱ 第１章 式と証明
高等学校数学Ⅱ 第２章 複素数と方程式
高等学校数学Ⅱ 第３章 図形と方程式
高等学校数学Ⅱ 第４章 三角関数
高等学校数学Ⅱ 第５章 指数関数と対数関数
高等学校数学Ⅱ 第６章 微分法と積分法
第４章 三角関数
第１節 三角関数
p.115 練習1\({\small (1)}~\)
解法のPoint｜動径の表す角と動径の図示
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
\({\small (5)}~\)
解法のPoint｜動径の表す角と動径の図示
p.116 練習3\({\small (1)}~\)[証明]
弧の長さ \(1\) に対する中心角の大きさが \(1\) ラジアンである
中心角 \(180^\circ\) の弧は半円となるので、弧の長さは、
\(2\pi \times \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\pi\)
したがって、弧の長さ \(\pi\) に対する中心角の大きさは \(\pi\) ラジアンである
[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\(1\) ラジアンに対する中心角の大きさを \(a^\circ\) とする
(1) の結果より、弧の長さ \(\pi\) に対する中心角の大きさは \(\pi\) ラジアンであるので、
\(\pi:180^\circ=1:a^\circ\)
よって、
\(a=\displaystyle \frac{\,180\,}{\,\pi\,}\)
したがって、
\(1\) ラジアンは \(\left(\displaystyle \frac{\,180\,}{\,\pi\,}\right)^\circ\)
[終]
解法のPoint｜弧度法と度数法
弧の長さ \(1\) に対する中心角の大きさが \(1\) ラジアンである
中心角 \(180^\circ\) の弧は半円となるので、弧の長さは、
\(2\pi \times \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\pi\)
したがって、弧の長さ \(\pi\) に対する中心角の大きさは \(\pi\) ラジアンである
[終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\(1\) ラジアンに対する中心角の大きさを \(a^\circ\) とする
(1) の結果より、弧の長さ \(\pi\) に対する中心角の大きさは \(\pi\) ラジアンであるので、
\(\pi:180^\circ=1:a^\circ\)
よって、
\(a=\displaystyle \frac{\,180\,}{\,\pi\,}\)
したがって、
\(1\) ラジアンは \(\left(\displaystyle \frac{\,180\,}{\,\pi\,}\right)^\circ\)
[終]
解法のPoint｜弧度法と度数法
p.116 練習4\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (4)}~225^\circ\) \({\small (5)}~270^\circ\)
解法のPoint｜弧度法と度数法
\({\small (4)}~225^\circ\) \({\small (5)}~270^\circ\)
解法のPoint｜弧度法と度数法
p.117 練習5\({\small (1)}~l=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi~,~S=\displaystyle \frac{\,8\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (2)}~l=7\pi~,~S=21\pi\)
解法のPoint｜弧度法を用いた扇形の弧の長さと面積
\({\small (2)}~l=7\pi~,~S=21\pi\)
解法のPoint｜弧度法を用いた扇形の弧の長さと面積
p.119 練習6\({\small (1)}~\sin{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}~,~\cos{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~\tan{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi}=1\)
\({\small (2)}~\sin{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\cos{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~\tan{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
\({\small (3)}~\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~~~\tan{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}=-\sqrt{3}\)
解法のPoint｜弧度法の角と三角関数の値
\(~~~\tan{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi}=1\)
\({\small (2)}~\sin{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\cos{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~\tan{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
\({\small (3)}~\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~~~\tan{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\right)}=-\sqrt{3}\)
解法のPoint｜弧度法の角と三角関数の値
p.120 練習8\(~~~\cos{\theta}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{2}\,}{\,3\,}~,~\tan{\theta}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\sqrt{2}\,}\)
解法のPoint｜sinθ(cosθ)の値から残りの三角関数の値
解法のPoint｜sinθ(cosθ)の値から残りの三角関数の値
p.120 練習9\(~~~\cos{\theta}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}~,~\sin{\theta}=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}\)
解法のPoint｜tanθの値から残りの三角関数の値
解法のPoint｜tanθの値から残りの三角関数の値
p.120 深める\(1+\tan^2{\theta}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2{\theta}\,}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~1+\tan^2{\theta}&=&\displaystyle \frac{\,25\,}{\,9\,}\\[2pt]~~~\tan^2{\theta}&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)
\(\tan{\theta}\gt 0\) より、
\(~~~\tan{\theta}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
また、\(\sin{\theta}=\tan{\theta}\cos{\theta}\) より、
\(~~~\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\times\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\)
解法のPoint｜tanθの値から残りの三角関数の値
\(\begin{eqnarray}~~~1+\tan^2{\theta}&=&\displaystyle \frac{\,25\,}{\,9\,}\\[2pt]~~~\tan^2{\theta}&=&\displaystyle \frac{\,16\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)
\(\tan{\theta}\gt 0\) より、
\(~~~\tan{\theta}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\)
また、\(\sin{\theta}=\tan{\theta}\cos{\theta}\) より、
\(~~~\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\times\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)=-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\)
解法のPoint｜tanθの値から残りの三角関数の値
p.121 練習10\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,13\,}{\,27\,}\)
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p.121 練習11[証明] 相互関係の公式 \(\tan\theta=\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\) より、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\tan^2\theta-\sin^2\theta
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}-\sin^2\theta\end{eqnarray}\)
通分すると、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta-\sin^2\theta\cos^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta(1-\cos^2\theta)\,}{\,\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\cdot\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}\cdot\sin^2\theta
\\[5pt]~&=&\tan^2\theta\sin^2\theta\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\tan^2\theta-\sin^2\theta=\tan^2\theta\sin^2\theta\) [終]
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（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\tan^2\theta-\sin^2\theta
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}-\sin^2\theta\end{eqnarray}\)
通分すると、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta-\sin^2\theta\cos^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta(1-\cos^2\theta)\,}{\,\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\cdot\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}\cdot\sin^2\theta
\\[5pt]~&=&\tan^2\theta\sin^2\theta\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\tan^2\theta-\sin^2\theta=\tan^2\theta\sin^2\theta\) [終]
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p.125 練習12\({\small (1)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\pi\)
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p.125 練習13\({\small (1)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\pi\)
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p.126 練習14\({\small (1)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\)
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p.127 練習15\({\small (1)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
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p.129 練習16\({\small (1)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) \({\small (3)}~-1\)
解法のPoint｜θ+2nπや-θの三角関数
解法のPoint｜θ+πやθ+π/2の三角関数
解法のPoint｜θ+2nπや-θの三角関数
解法のPoint｜θ+πやθ+π/2の三角関数
p.130 練習17\({\small (1)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (3)}~\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (3)}~\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
p.130 練習18\({\small (1)}~\theta=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi+2n\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi+2n\pi\)
ただし、\(n\) は整数
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi+2n\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi+2n\pi\)
ただし、\(n\) は整数
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
ただし、\(n\) は整数
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi+2n\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi+2n\pi\)
ただし、\(n\) は整数
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
p.131 練習19\(~~~\theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
\(~~~\theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi+n\pi\)
ただし、\(n\) は整数
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
\(~~~\theta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi+n\pi\)
ただし、\(n\) は整数
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
p.131 練習20\({\small (1)}~\theta=\displaystyle \frac{\,17\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,23\,}{\,12\,}\pi\)
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,19\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,23\,}{\,12\,}\pi\)
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\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,19\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,23\,}{\,12\,}\pi\)
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p.132 練習21\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\lt\theta\lt\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\)
\({\small (3)}~0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\lt\theta\lt\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi\)
\({\small (3)}~0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
p.133 練習22\(~~~0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
\(~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
\(~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
p.134 練習23 \(\theta=\pi\) で最大値 \(2\)
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\) で最小値 \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜三角関数を含む関数の最大値・最小値
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\) で最小値 \(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜三角関数を含む関数の最大値・最小値
問題
p.135 問題 1\(\sin\theta=\displaystyle\frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}~,~\cos\theta=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}\) または
\(\sin\theta=-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}~,~\cos\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}\)
解法のPoint｜tanθの値から残りの三角関数の値
\(\sin\theta=-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}~,~\cos\theta=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}\)
解法のPoint｜tanθの値から残りの三角関数の値
p.135 問題 2\({\small (1)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (4)}~\)周期 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (4)}~\)周期 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\)
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p.135 問題 3\({\small (1)}~\) \(\theta=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (2)}~\) \(\theta=\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
\({\small (3)}~\) \(\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\lt\theta\lt\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (4)}~\) \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\lt\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
\({\small (5)}~\) \(\theta=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
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\({\small (6)}~\) \(0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
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\({\small (2)}~\) \(\theta=\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
\({\small (3)}~\) \(\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\lt\theta\lt\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (4)}~\) \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\lt\theta{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
\({\small (5)}~\) \(\theta=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
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\({\small (6)}~\) \(0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
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p.135 問題 4\(\theta=\displaystyle\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\) で最大値 \(\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\)
\(\theta=0\) で最小値 \(-1\)
解法のPoint｜三角関数を含む関数の最大値・最小値
\(\theta=0\) で最小値 \(-1\)
解法のPoint｜三角関数を含む関数の最大値・最小値
第２節 加法定理
p.137 深める1.
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin{(\theta+2n\pi)}\\[2pt]~~~&=&\sin{\theta}\cos{2n\pi}+\cos{\theta}\sin{2n\pi}\\[2pt]~~~&=&\sin{\theta}\times1+\cos{\theta}\times0\\[2pt]~~~&=&\sin{\theta}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos{(\theta+2n\pi)}\\[2pt]~~~&=&\cos{\theta}\cos{2n\pi}-\sin{\theta}\sin{2n\pi}\\[2pt]~~~&=&\cos{\theta}\times1-\sin{\theta}\times0\\[2pt]~~~&=&\cos{\theta}\end{eqnarray}\)
2.
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin{(-\theta)}\\[2pt]~~~&=&\sin{(0-\theta)}\\[2pt]~~~&=&\sin{0}\cos{\theta}-\cos{0}\sin{\theta}\\[2pt]~~~&=&0\times \cos{\theta}-1\times\sin{\theta}\\[2pt]~~~&=&-\sin{\theta}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos{(-\theta)}\\[2pt]~~~&=&\cos{(0-\theta)}\\[2pt]~~~&=&\cos{0}\cos{\theta}-\sin{0}\sin{\theta}\\[2pt]~~~&=&1\times \cos{\theta}-0\times\sin{\theta}\\[2pt]~~~&=&\cos{\theta}\end{eqnarray}\)
3.
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin{(\theta+\pi)}\\[2pt]~~~&=&\sin{\theta}\cos{\pi}+\cos{\theta}\sin{\pi}\\[2pt]~~~&=&\sin{\theta}\times(-1)+\cos{\theta}\times0\\[2pt]~~~&=&-\sin{\theta}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos{(\theta+\pi)}\\[2pt]~~~&=&\cos{\theta}\cos{\pi}-\sin{\theta}\sin{\pi}\\[2pt]~~~&=&\cos{\theta}\times(-1)-\sin{\theta}\times0\\[2pt]~~~&=&-\cos{\theta}\end{eqnarray}\)
4.
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin{\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)}\\[2pt]~~~&=&\sin{\theta}\cos{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}+\cos{\theta}\sin{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}\\[2pt]~~~&=&\sin{\theta}\times0+\cos{\theta}\times1\\[2pt]~~~&=&\cos{\theta}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos{\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)}\\[2pt]~~~&=&\cos{\theta}\cos{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}-\sin{\theta}\sin{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}\\[2pt]~~~&=&\cos{\theta}\times0-\sin{\theta}\times1\\[2pt]~~~&=&-\sin{\theta}\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin{(\theta+2n\pi)}\\[2pt]~~~&=&\sin{\theta}\cos{2n\pi}+\cos{\theta}\sin{2n\pi}\\[2pt]~~~&=&\sin{\theta}\times1+\cos{\theta}\times0\\[2pt]~~~&=&\sin{\theta}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos{(\theta+2n\pi)}\\[2pt]~~~&=&\cos{\theta}\cos{2n\pi}-\sin{\theta}\sin{2n\pi}\\[2pt]~~~&=&\cos{\theta}\times1-\sin{\theta}\times0\\[2pt]~~~&=&\cos{\theta}\end{eqnarray}\)
2.
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin{(-\theta)}\\[2pt]~~~&=&\sin{(0-\theta)}\\[2pt]~~~&=&\sin{0}\cos{\theta}-\cos{0}\sin{\theta}\\[2pt]~~~&=&0\times \cos{\theta}-1\times\sin{\theta}\\[2pt]~~~&=&-\sin{\theta}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos{(-\theta)}\\[2pt]~~~&=&\cos{(0-\theta)}\\[2pt]~~~&=&\cos{0}\cos{\theta}-\sin{0}\sin{\theta}\\[2pt]~~~&=&1\times \cos{\theta}-0\times\sin{\theta}\\[2pt]~~~&=&\cos{\theta}\end{eqnarray}\)
3.
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin{(\theta+\pi)}\\[2pt]~~~&=&\sin{\theta}\cos{\pi}+\cos{\theta}\sin{\pi}\\[2pt]~~~&=&\sin{\theta}\times(-1)+\cos{\theta}\times0\\[2pt]~~~&=&-\sin{\theta}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos{(\theta+\pi)}\\[2pt]~~~&=&\cos{\theta}\cos{\pi}-\sin{\theta}\sin{\pi}\\[2pt]~~~&=&\cos{\theta}\times(-1)-\sin{\theta}\times0\\[2pt]~~~&=&-\cos{\theta}\end{eqnarray}\)
4.
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin{\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)}\\[2pt]~~~&=&\sin{\theta}\cos{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}+\cos{\theta}\sin{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}\\[2pt]~~~&=&\sin{\theta}\times0+\cos{\theta}\times1\\[2pt]~~~&=&\cos{\theta}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos{\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\right)}\\[2pt]~~~&=&\cos{\theta}\cos{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}-\sin{\theta}\sin{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}\\[2pt]~~~&=&\cos{\theta}\times0-\sin{\theta}\times1\\[2pt]~~~&=&-\sin{\theta}\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
p.138 練習25\(~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}+\sqrt{2}\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
p.139 練習26\(~~~\displaystyle \frac{\,6+4\sqrt{5}\,}{\,15\,}~,~-\displaystyle \frac{\,3\sqrt{5}+8\,}{\,15\,}\)
解法のPoint｜加法定理を用いたsin(α+β)の値
解法のPoint｜加法定理を用いたsin(α+β)の値
p.141 研究 練習1\(~~~\left(\displaystyle \frac{\,4\sqrt{3}-3\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\sqrt{3}+4\,}{\,2\,}\right)\)
解法のPoint｜原点を中心に回転させた点の座標
解法のPoint｜原点を中心に回転させた点の座標
p.142 練習30\({\small (1)}~-\displaystyle \frac{\,4\sqrt{5}\,}{\,9\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\) \({\small (3)}~-4\sqrt{5}\)
解法のPoint｜2倍角の公式と式の値
解法のPoint｜2倍角の公式と式の値
p.142 練習31\({\small (1)}~\) [証明]
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin 3\alpha
\\[3pt]~~~&=&\sin(2\alpha+\alpha)\end{eqnarray}\)
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sin 2\alpha \cdot \cos \alpha+\cos 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\)
\(\cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha\,\) より、
相互関係の公式 \(\cos^2 \alpha=1-\sin^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\sin \alpha(1-\sin^2 \alpha)+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha-2\sin^3 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin 3\alpha=3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\) [終]
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\cos 2\alpha \cdot \cos \alpha-\sin 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1\)
\(\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\,\) より、
相互関係の公式 \(\sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2(1-\cos^2 \alpha) \cdot \cos \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\cos \alpha+2\cos^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\) [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin 3\alpha
\\[3pt]~~~&=&\sin(2\alpha+\alpha)\end{eqnarray}\)
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sin 2\alpha \cdot \cos \alpha+\cos 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\)
\(\cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha\,\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \cos \alpha+(1-2\sin^2 \alpha) \cdot \sin \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\cos^2 \alpha=1-\sin^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\sin \alpha(1-\sin^2 \alpha)+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha-2\sin^3 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin 3\alpha=3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos 3\alpha
\\[3pt]~~~&=&\cos(2\alpha+\alpha)\end{eqnarray}\)
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\cos 2\alpha \cdot \cos \alpha-\sin 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1\)
\(\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\,\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(2\cos^2 \alpha-1) \cdot \cos \alpha-2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2(1-\cos^2 \alpha) \cdot \cos \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\cos \alpha+2\cos^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\) [終]
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p.143 練習32\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2-\sqrt{2}}\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2+\sqrt{2}}\,}{\,2\,}\)
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2-\sqrt{2}}\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜半角の公式と三角関数の値
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2+\sqrt{2}}\,}{\,2\,}\)
\({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2-\sqrt{2}}\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜半角の公式と三角関数の値
p.143 練習33\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{10}\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{10}\,}\) \({\small (3)}~3\)
解法のPoint｜半角の公式と式の値
解法のPoint｜半角の公式と式の値
p.144 練習34\({\small (1)}~\theta=0~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\pi\)
\({\small (2)}~0\lt\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\lt\theta\lt\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
\({\small (2)}~0\lt\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\lt\theta\lt\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
p.145 練習35\({\small (1)}~2\sin{\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)}\)
\({\small (2)}~\sqrt{2}\sin{\left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)}\)
解法のPoint｜三角関数asinθ+bcosθの合成
\({\small (2)}~\sqrt{2}\sin{\left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)}\)
解法のPoint｜三角関数asinθ+bcosθの合成
p.146 練習36\(~~~x=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と方程式の解
解法のPoint｜三角関数の合成と方程式の解
p.147 練習37 \(x=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\) のとき、最大値 \(2\)
\(x=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\) のとき、最小値 \(-2\)
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
\(x=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\) のとき、最小値 \(-2\)
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
p.147 深める\(\sin{x}=1~,~\cos{x}=1\) を同時に満たす \(x\) は存在しないので、\(y\) の最大値は \(2\) とならない
また、最小値でも同様に考える
また、最小値でも同様に考える
問題
p.149 問題 6\({\small (1)}~\) \(\displaystyle\frac{\,33\,}{\,65\,}\) \({\small (2)}~\) \(\displaystyle\frac{\,16\,}{\,65\,}\)
解法のPoint｜加法定理を用いたsin(α+β)の値
解法のPoint｜加法定理を用いたsin(α+β)の値
p.149 問題 8\({\small (1)}~\)[証明] （左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(\sin\alpha+\cos\alpha)^2
\\[3pt]~~~&=&\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha
\\[3pt]~~~&=&(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)+2\sin\alpha\cos\alpha\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) と
2倍角の公式 \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&1+\sin 2\alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\((\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+\sin 2\alpha\) [終]
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin 2\alpha\,}{\,1+\cos 2\alpha\,}\end{eqnarray}\)
2倍角の公式 \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\) と
\(\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\alpha\cos\alpha\,}{\,1+(2\cos^2\alpha-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\alpha\cos\alpha\,}{\,2\cos^2\alpha\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\,}{\,\cos\alpha\,}
\\[5pt]~~~&=&\tan\alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\sin 2\alpha\,}{\,1+\cos 2\alpha\,}=\tan\alpha\) [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~&=&(\sin\alpha+\cos\alpha)^2
\\[3pt]~~~&=&\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha
\\[3pt]~~~&=&(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)+2\sin\alpha\cos\alpha\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) と
2倍角の公式 \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&1+\sin 2\alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\((\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1+\sin 2\alpha\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin 2\alpha\,}{\,1+\cos 2\alpha\,}\end{eqnarray}\)
2倍角の公式 \(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\) と
\(\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\alpha\cos\alpha\,}{\,1+(2\cos^2\alpha-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\alpha\cos\alpha\,}{\,2\cos^2\alpha\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\,}{\,\cos\alpha\,}
\\[5pt]~~~&=&\tan\alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\sin 2\alpha\,}{\,1+\cos 2\alpha\,}=\tan\alpha\) [終]
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p.149 問題 9\({\small (1)}~\) \(\theta=0~,~\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\pi~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (2)}~\) \(0\lt\theta\lt\pi~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\lt\theta\lt\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
\({\small (2)}~\) \(0\lt\theta\lt\pi~,~\displaystyle\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi\lt\theta\lt\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
p.149 問題 10\({\small (1)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と方程式の解
\({\small (2)}~\) \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}x\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と不等式の解
解法のPoint｜三角関数の合成と方程式の解
\({\small (2)}~\) \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi{\small ~≦~}x\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と不等式の解
p.149 問題 11\({\small (1)}~\) \(\cos\alpha=\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}~,~\sin\alpha=\displaystyle\frac{\,3\,}{\,5\,}\)
\({\small (2)}~\) \(r=5\)
\({\small (3)}~\) 最大値 \(5\)、最小値 \(-5\)
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
\({\small (2)}~\) \(r=5\)
\({\small (3)}~\) 最大値 \(5\)、最小値 \(-5\)
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
章末問題 三角関数
p.150 章末問題A 1\({\small (1)}~\) \(-\displaystyle\frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~\) \(0\) \({\small (3)}~\) \(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
解法のPoint｜弧度法の角と三角関数の値
解法のPoint｜弧度法の角と三角関数の値
p.150 章末問題A 2\({\small (1)}~\) \(-\displaystyle\frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~\) \(-\displaystyle\frac{\,3\sqrt{6}\,}{\,8\,}\)
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p.150 章末問題A 3\({\small (1)}~\) [証明] 左辺を通分して計算すると、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\cos\theta\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,(1-\cos\theta)+(1+\cos\theta)\,}{\,(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1-\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sin^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\cos\theta\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\cos\theta\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sin^2\theta\,}\) [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}-\tan\theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
通分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta \cdot \cos\theta\,}{\,\sin\theta \cdot \cos\theta\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\theta \cdot \sin\theta\,}{\,\cos\theta \cdot \sin\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta-\sin^2\theta\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
次に、右辺は2倍角の公式より、
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\cos 2\theta\,}{\,\sin 2\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\,}{\,2\sin\theta\cos\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta-\sin^2\theta\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}-\tan\theta=\displaystyle \frac{\,2\cos 2\theta\,}{\,\sin 2\theta\,}\) [終]
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（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\cos\theta\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,(1-\cos\theta)+(1+\cos\theta)\,}{\,(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1-\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sin^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+\cos\theta\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1-\cos\theta\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sin^2\theta\,}\) [終]
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\({\small (2)}~\) [証明]（左辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}-\tan\theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
通分すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta \cdot \cos\theta\,}{\,\sin\theta \cdot \cos\theta\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\theta \cdot \sin\theta\,}{\,\cos\theta \cdot \sin\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta-\sin^2\theta\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
次に、右辺は2倍角の公式より、
（右辺）
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\cos 2\theta\,}{\,\sin 2\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\,}{\,2\sin\theta\cos\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos^2\theta-\sin^2\theta\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}-\tan\theta=\displaystyle \frac{\,2\cos 2\theta\,}{\,\sin 2\theta\,}\) [終]
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p.150 章末問題A 4\({\small (1)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
\({\small (2)}~\) \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\lt x\lt\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
\({\small (2)}~\) \(\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,6\,}\lt x\lt\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
p.150 章末問題A 5\({\small (1)}~\)
\(\sin(\pi-\theta)\) について、加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin(\pi-\theta)&=&\sin\pi\cos\theta-\cos\pi\sin\theta
\\[5pt]~~~&=&0 \cdot \cos\theta-(-1) \cdot \sin\theta
\\[5pt]~~~&=&\sin\theta\end{eqnarray}\)
\(\cos(\pi-\theta)\) について、加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos(\pi-\theta)&=&\cos\pi\cos\theta+\sin\pi\sin\theta
\\[5pt]~~~&=&(-1) \cdot \cos\theta+0 \cdot \sin\theta
\\[5pt]~~~&=&-\cos\theta\end{eqnarray}\)
\(\tan(\pi-\theta)\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan(\pi-\theta)&=&\displaystyle \frac{\,\sin(\pi-\theta)\,}{\,\cos(\pi-\theta)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,-\cos\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&-\tan\theta\end{eqnarray}\)
\(\sin\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)\) について、加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&\sin\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\cos\theta-\cos\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\sin\theta
\\[5pt]~~~&=&1 \cdot \cos\theta-0 \cdot \sin\theta
\\[5pt]~~~&=&\cos\theta\end{eqnarray}\)
\(\cos\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)\) について、加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&\cos\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\cos\theta+\sin\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\sin\theta
\\[5pt]~~~&=&0 \cdot \cos\theta+1 \cdot \sin\theta
\\[5pt]~~~&=&\sin\theta\end{eqnarray}\)
\(\tan\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&\displaystyle \frac{\,\sin\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)\,}{\,\cos\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}\end{eqnarray}\)
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\(\sin(\pi-\theta)\) について、加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin(\pi-\theta)&=&\sin\pi\cos\theta-\cos\pi\sin\theta
\\[5pt]~~~&=&0 \cdot \cos\theta-(-1) \cdot \sin\theta
\\[5pt]~~~&=&\sin\theta\end{eqnarray}\)
\(\cos(\pi-\theta)\) について、加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos(\pi-\theta)&=&\cos\pi\cos\theta+\sin\pi\sin\theta
\\[5pt]~~~&=&(-1) \cdot \cos\theta+0 \cdot \sin\theta
\\[5pt]~~~&=&-\cos\theta\end{eqnarray}\)
\(\tan(\pi-\theta)\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan(\pi-\theta)&=&\displaystyle \frac{\,\sin(\pi-\theta)\,}{\,\cos(\pi-\theta)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,-\cos\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&-\tan\theta\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)
\(\sin\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)\) について、加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\sin\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&\sin\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\cos\theta-\cos\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\sin\theta
\\[5pt]~~~&=&1 \cdot \cos\theta-0 \cdot \sin\theta
\\[5pt]~~~&=&\cos\theta\end{eqnarray}\)
\(\cos\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)\) について、加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\cos\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&\cos\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\cos\theta+\sin\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\sin\theta
\\[5pt]~~~&=&0 \cdot \cos\theta+1 \cdot \sin\theta
\\[5pt]~~~&=&\sin\theta\end{eqnarray}\)
\(\tan\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)&=&\displaystyle \frac{\,\sin\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)\,}{\,\cos\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}\end{eqnarray}\)
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p.150 章末問題A 6 \(\theta=\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) で最小値 \(-2\)
解法のPoint｜2倍角の公式を用いた関数の最大値・最小値
解法のPoint｜2倍角の公式を用いた関数の最大値・最小値
p.150 章末問題A 7\({\small (1)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) で最大値 \(2\)
\(x=\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\) で最小値 \(-2\)
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
\({\small (2)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と方程式の解
\({\small (3)}~\) \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi{\small ~≦~}x\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と不等式の解
\(x=\displaystyle\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\) で最小値 \(-2\)
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
\({\small (2)}~\) \(x=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と方程式の解
\({\small (3)}~\) \(0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi{\small ~≦~}x\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と不等式の解
p.151 章末問題B 8\({\small (1)}~\) \(-\displaystyle\frac{\,59\,}{\,72\,}\)
解法のPoint｜sinα+cosβとsinβ+cosαの値の利用
\({\small (2)}~\) \(1\)
解法のPoint｜加法定理を用いたtan(α+β)の値
解法のPoint｜sinα+cosβとsinβ+cosαの値の利用
\({\small (2)}~\) \(1\)
解法のPoint｜加法定理を用いたtan(α+β)の値
p.151 章末問題B 9[証明]（左辺）
分母分子を \(\cos\alpha\cos\beta\) で割ると、
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\sin(\alpha-\beta)\,}{\,\sin(\alpha+\beta)\,}=\displaystyle \frac{\,\tan\alpha-\tan\beta\,}{\,\tan\alpha+\tan\beta\,}\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin(\alpha-\beta)\,}{\,\sin(\alpha+\beta)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\,}{\,\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\,}\end{eqnarray}\)
分母分子を \(\cos\alpha\cos\beta\) で割ると、
右辺の \(\tan\alpha\) と \(\tan\beta\) をつくるために、分母分子を \(\cos\alpha\cos\beta\) で割り、\(\tan\alpha=\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\,}{\,\cos\alpha\,}\) を用いる。
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\cos\beta\,}{\,\cos\alpha\cos\beta\,}-\displaystyle \frac{\,\cos\alpha\sin\beta\,}{\,\cos\alpha\cos\beta\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\cos\beta\,}{\,\cos\alpha\cos\beta\,}+\displaystyle \frac{\,\cos\alpha\sin\beta\,}{\,\cos\alpha\cos\beta\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\,}{\,\cos\alpha\,}-\displaystyle \frac{\,\sin\beta\,}{\,\cos\beta\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,\sin\alpha\,}{\,\cos\alpha\,}+\displaystyle \frac{\,\sin\beta\,}{\,\cos\beta\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\tan\alpha-\tan\beta\,}{\,\tan\alpha+\tan\beta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\sin(\alpha-\beta)\,}{\,\sin(\alpha+\beta)\,}=\displaystyle \frac{\,\tan\alpha-\tan\beta\,}{\,\tan\alpha+\tan\beta\,}\) [終]
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p.151 章末問題B 11\({\small (1)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(\pi\)
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p.151 章末問題B 12\(x=\displaystyle\frac{\,\pi\,}{\,8\,}\) で最大値 \(\displaystyle\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}\)
\(x=\displaystyle\frac{\,5\,}{\,8\,}\pi\) で最小値 \(-\displaystyle\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}\)
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\(x=\displaystyle\frac{\,5\,}{\,8\,}\pi\) で最小値 \(-\displaystyle\frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}\)
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p.151 章末問題B 13\({\small (1)}~\) \(y=t^2+t-1\)
\({\small (2)}~\) \(-\sqrt{2}{\small ~≦~}t{\small ~≦~}\sqrt{2}\)
\({\small (3)}~\) 最大値 \(1+\sqrt{2}\)、最小値 \(-\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\)
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\({\small (2)}~\) \(-\sqrt{2}{\small ~≦~}t{\small ~≦~}\sqrt{2}\)
\({\small (3)}~\) 最大値 \(1+\sqrt{2}\)、最小値 \(-\displaystyle\frac{\,5\,}{\,4\,}\)
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