- 数学Ⅱ「式と証明」の基本例題一覧ページです。
- 解法のPointと詳しい解説はリンク先から確認できます。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
3次式の展開・因数分解
01｜(a+b)³の展開の公式
式と証明 01\((x+2)^3~,~(2x-3)^3~,~(xy+1)^3\) を展開する方法は？
02｜(a+b)(a²-ab+b²)の展開の公式
式と証明 02\((x+2)(x^2-2x+4)~,~\)\((3x-1)(9x^2+3x+1)\) を展開する方法は？
03｜a³+b³の因数分解の公式
式と証明 03\( x^3+8 ~,~\)\( 27x^3-1 ~,~\)\( x^3y^3+8z^3 \) を因数分解する方法は？
04｜6次式と3次式の因数分解
式と証明 04\(x^6-y^6~,~\)\(x^6-7x^3y^3-8y^6\) を因数分解する方法は？
05☆｜2乗×2乗の式の展開
式と証明 05☆\((x+y)^2(x^2-xy+y^2)^2\) を展開する方法は？
06☆｜a³+3a²b+3ab²+b³の因数分解の公式
式と証明 06☆\(x^3-6x^2+12x-8~,~\)\(8x^3+36x^2+54x+27\) を因数分解する方法は？
07☆｜部分的な3次式の因数分解
式と証明 07☆\(x^3+y^3+3y^2+3y+1\) を因数分解する方法は？
08☆｜x³+y³+z³-3xyzの因数分解
式と証明 08☆等式 \( x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y) \) が成り立つことを証明して、これを用いて \( x^3+y^3+z^3-3xyz \) を因数分解する方法は？
二項定理
09｜二項定理と展開式
式と証明 09二項定理を用いた \((x-y)^5~,~\)\((2x+3)^6\) の展開式の求め方は？
10｜二項定理と項の係数
式と証明 10\((3x-2y)^6\) の展開式における \(x^2y^4~,~\)\(x^3y^3~,~\)\(x^5y\) の項の係数の求め方は？
11｜x²を含む展開式の項の係数
式と証明 11\((2x^2-x)^5\) の展開式における \(x^8~,~\)\(x^7~,~\)\(x^6\) の項の係数の求め方は？
12｜二項定理を用いた等式の証明
式と証明 12二項定理を用いた等式 \({}_n \mathrm{ C }_0+{}_n \mathrm{ C }_1+{}_n \mathrm{ C }_2+\cdots+{}_n \mathrm{ C }_n=2^n\) の証明方法は？
13｜(a+b+c)ⁿの項の係数
式と証明 13\((x+y+z)^7\) の展開式における \(x^2y^3z^2~,~\)\(x^4y^2z~,~\)\(x^3y^4\) の項の係数の二項定理を2回用いた求め方は？
14☆｜多項定理を用いた展開式の項の係数
式と証明 14☆\((x-2y+z)^7\) の展開式における \(x^2y^3z^2~,~\)\(x^3y^3z~,~\)\(x^2y^5\) の項の係数の多項定理を用いた求め方は？
15☆｜二項定理を用いた不等式の証明
式と証明 15☆\( n \) を2以上の自然数、\( x \gt 0 \) として、不等式 \( (1+x)^n \gt 1+nx \) を二項定理を用いて証明する方法は？
多項式の割り算
16｜多項式を多項式で割った商と余り
式と証明 16多項式 \( x^3-4x+7 \) を多項式 \( x^2-2x+3 \) で割ったときの商と余りの求め方は？
17｜商と余りと割られる多項式
式と証明 17多項式 \({\rm A}\) を多項式 \(x-1\) で割った商が \(x^2-3x+6\)、余りが \(7\) のとき、多項式 \({\rm A}\) の求め方は？
18｜商と余りと割る多項式
式と証明 18多項式 \(x^3+2x^2-3x+1\) を多項式 \({\rm B}\) で割った商が \(x+3\)、余りが \(x+4\) のとき、多項式 \({\rm B}\) の求め方は？
19｜2種類の文字を含む多項式の割り算
式と証明 19多項式 \(2x^3-5x^2y-3xy^2-8y^3\) を多項式 \(x-2y\) で割ったときの商と余りの求め方は？
20☆｜商に分数を含む多項式の割り算
式と証明 20☆多項式 \( x^3-5x^2+4x+15 \) を多項式 \( 2x-6 \) で割ったときの商と余りの求め方は？
21☆｜文字係数を含む多項式の割り算
式と証明 21☆多項式 \(x^3+ax^2+3\) を多項式 \(x^2+x-1\) で割った余りが \(5x+1\) のとき、定数 \(a\) と商の求め方は？
分数式
22｜分数式と共通因数の約分
式と証明 22分数式 \(\displaystyle\frac{\,36x^3y^2\,}{\,30xy\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,x^2+4x-5\,}{\,x^2+x-2\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,x^3+1\,}{\,x^2-1\,}\) を約分して簡単にする方法は？
23｜分数式の乗法・除法
式と証明 23分数式 \(\displaystyle\frac{\,x^2+x\,}{\,x^2+3x-10\,}\div\displaystyle\frac{\,x^2-3x\,}{\,x^2-3x+2\,}\) の計算方法は？
24｜分数式の加法・減法
式と証明 24分数式 \(\displaystyle\frac{\,x^2\,}{\,x+1\,}-\frac{\,1\,}{\,x+1\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,x^2+5x\,}{\,x^2-x\,}+\frac{\,6\,}{\,x-x^2\,}\) の計算方法は？
25｜通分が必要な分数式の加法・減法
式と証明 25分数式 \(\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x-2\,}+\displaystyle\frac{\,3\,}{\,x+3\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,x+5\,}{\,x^2+x-2\,}-\displaystyle\frac{\,2\,}{\,x^2-x\,}\) の計算方法は？
26｜分母分子に分数式を含む分数式
式と証明 26分数式 \(\displaystyle\frac{\,x-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}{\,1+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}~,~\)\(\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,1-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,x\,}\,}\,}\) の計算方法は？
恒等式
27｜恒等式となる等式の条件
式と証明 27等式 \(2x^2-x+1=a(x-1)^2+b(x-1)+c\) が \(x\) の恒等式となるような定数 \(a~,~b~,~c\) の値の求め方は？
28｜分数式の恒等式
式と証明 28等式 \(\displaystyle \frac{\,x-4\,}{\,(x-1)(x+2)\,}=\frac{\,a\,}{\,x-1\,}+\frac{\,b\,}{\,x+2\,}\) が \(x\) の恒等式となるような定数 \(a~,~b\) の値の求め方は？
29☆｜どのようなkの値でも成り立つ等式
式と証明 29☆等式 \( (k+2)x+(k-1)y-4k+1=0 \) がどのようなkの値でも成り立つときの \( x~,~y \) の値の求め方は？
等式の証明
30｜等式の証明
式と証明 30等式 \(a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\) の証明方法は？また、
等式 \((a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2\)
の証明方法は？
31｜条件付きの等式の証明
式と証明 31\(a+b+c=0\) のとき、等式 \(a^3+b^3+c^3=3abc\) の証明方法は？また、等式 \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\) の証明方法は？
32｜比例式と等式の証明
式と証明 32\(\displaystyle\frac{\,a\,}{\,b\,}=\displaystyle\frac{\,c\,}{\,d\,}\) のとき、等式 \(\displaystyle\frac{\,a-b\,}{\,a+b\,}=\displaystyle\frac{\,c-d\,}{\,c+d\,}\) の証明方法は？
33｜連比を用いた計算
式と証明 33\(a:b:c=2:3:4~,~a+b+c=18\) のとき、\(a~,~b~,~c\) の値の求め方は？また、\(a:b:c=2:3:4\) のとき、\(a+b~,~b+c~,~c+a\) の連比の求め方は？
34｜2つの文字の和と連比
式と証明 34\(\displaystyle\frac{\,a+b\,}{\,3\,}=\frac{\,b+c\,}{\,4\,}=\frac{\,c+a\,}{\,5\,}~,~\)\(a+b \neq 0~,~\)\(b+c \neq 0~,~\)\(c+a \neq 0\) のとき、\(a~,~b~,~c\) の連比の求め方は？
不等式の証明
35｜条件付きの不等式の証明
式と証明 35\(x \gt 1~,~y \gt 1\) のとき、不等式 \(xy+1 \gt x+y\) の証明方法は？
36｜A²≧0となる不等式の証明と等号成立条件
式と証明 36不等式 \(x^2+y^2{\small ~≧~}2xy\) の証明方法は？また、等号が成り立つ条件の求め方は？
37｜A²+B²≧0となる不等式の証明と等号成立条件
式と証明 37不等式 \( x^2+y^2{\small ~≧~}xy \) の証明方法は？また、等号が成り立つ条件の求め方は？
38｜a²+b²+c²≧ab+bc+caの証明
式と証明 38不等式 \(a^2+b^2+c^2{\small ~≧~}ab+bc+ca\) の証明方法は？また、等号が成り立つ条件の求め方は？
39☆｜等式を利用した不等式の証明
式と証明 39☆
等式 \((a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2\)
を証明し、
不等式 \((a^2+b^2)(x^2+y^2){\small ~≧~}(ax+by)^2\) を証明する方法は？
40☆｜a³+b³+c³≧3abcの証明
式と証明 40☆\(a\gt 0~,~b \gt 0~,~c \gt 0\) のとき、
等式 \(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
を用いた、不等式 \(a^3+b^3+c^3 {\small ~≧~} 3abc\) の証明方法は？
41｜平方根を含む不等式の証明
式と証明 41\( a \gt 0 \)、\( b \gt 0 \) のとき、不等式 \( \sqrt{a}+\sqrt{b} \gt \sqrt{a+b} \) の証明方法は？
42｜絶対値を含む不等式の証明
式と証明 42不等式 \(|\,a+b\,|{\small ~≦~}|\,a\,|+|\,b\,|\) の証明方法は？また、等号が成り立つ条件の求め方は？
相加平均と相乗平均の大小関係
43｜相加平均と相乗平均の大小関係
式と証明 43\(a\gt 0\) のとき、不等式 \(a+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}{\small ~≧~}2\) の証明方法は？また、等号が成り立つ条件の求め方は？
44｜式の展開と相加平均・相乗平均
式と証明 44\(x \gt 0~,~y \gt 0\) のとき、不等式 \(\displaystyle (x+y)\left(\frac{\,1\,}{\,x\,}+\frac{\,1\,}{\,y\,}\right){\small ~≧~}4\) の証明方法は？また、等号が成り立つ条件の求め方は？
45☆｜相加平均・相乗平均と最小値
式と証明 45☆\(a \gt 0\) のとき、\(\left(\,a+\displaystyle\frac{\,1\,}{\,a\,}\,\right)\left(\,a+\displaystyle\frac{\,4\,}{\,a\,}\,\right)\) の最小値の求め方は？
46☆｜複数の文字式の大小比較
式と証明 46☆\(a \gt 0~,~b \gt 0~,~a \neq b\) のとき、\(\displaystyle \frac{\,a+b\,}{\,2\,}~,~\)\(\sqrt{ab}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,2ab\,}{\,a+b\,}\) の大小関係を調べる方法は？
