- 数学Ⅱ「指数関数と対数関数」の基本例題一覧ページです。
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指数法則の拡張
01｜0や負の整数の指数
指数関数と対数関数 01\(3^0~,~\)\(5^{-1}~,~\)\(2^{-3}~,~\)\((-2)^{-3}~,~\)\(0.5^{-3}\) の計算方法は？また、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}~,~\)\(1~,~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,a^2\,}\) を \(a^n\) の形で表す方法は？
02｜指数法則を用いた計算
指数関数と対数関数 02\(a^{-3}\,a^2~,~\)\(a^{-3}{\, \small \div \,}a^2~,~\)\((a^{-3})^2~,~\)\((a^2\,b^{-1})^3~,~\)\(a^4 {\, \small \times \,} a^{-5}{\, \small \div \,}a^{-2}\) の計算方法は？
03｜累乗根で表された数
指数関数と対数関数 03累乗根 \(\sqrt[3]{-27}~,~\)\(\sqrt[4]{81}~,~\)\(\sqrt[5]{-32}~,~\)\(\sqrt[3]{0.001}\) の計算方法は？また、\(125\) の \(3\) 乗根や \(16\) の \(4\) 乗根の求め方は？
04｜累乗根の性質と式の計算
指数関数と対数関数 04\(\sqrt[\large 3]{4}{\, \small \times \,}\sqrt[\large 3]{16}~,~\)\(\sqrt{\sqrt[\large 3]{64}}~,~\)\(\sqrt[\large 6]{125}~,~\)\(\sqrt[\large 3]{81}-\sqrt[\large 3]{24}\) の計算方法は？
05｜有理数(分数)が指数である累乗
指数関数と対数関数 05指数が有理数である累乗 \(25^{\large \frac{1}{2}}~,~\)\(27^{-\large \frac{1}{3}}~,~\)\(32^{-\large \frac{2}{5}}\) の計算方法は？また、\(\sqrt[5]{a^2}~,~\)\(\sqrt{a^{-3}}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt[3]{a^2}\,}\) を \(a^{\large \frac{m}{n}}\) の形で表す方法は？
06｜有理数が指数の指数法則の計算
指数関数と対数関数 06\(9^{\large \frac{1}{3}}{\, \small \div \,}9^{\large \frac{1}{12}} {\,\small\times\,} 9^{\large \frac{1}{4}}~,~\)\(\left(16^{\large \frac{1}{6}}\right)^{\large \frac{3}{4}}~,~\)\(\sqrt{\,a\,} {\,\small\times\,} \sqrt[3]{\,a^2\,}{\, \small \div \,}\sqrt[6]{\,a\,}\)の計算方法は？
07☆｜展開の公式と指数法則
指数関数と対数関数 07☆展開の公式を利用した累乗根\((\sqrt{a}+\sqrt{b}\,)(\sqrt{a}-\sqrt{b}\,)~,~\)\((\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\,)(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\,)\) の計算方法は？
08☆｜xᵃ+x⁻ᵃとxᵃx⁻ᵃ=1を用いた計算
指数関数と対数関数 08☆\(x^{\large \frac{1}{2}}+x^{\large -\frac{1}{2}}=3\) のとき、\(x+x^{-1}~,~\)\(x^2+x^{-2}~,~\)\(x^3+x^{-3}\) の値の求め方は？
指数関数のグラフと大小比較
09｜指数関数のグラフ
指数関数と対数関数 09指数関数 \(y=2^x\) と \(y=2^{-x}\) のグラフの描き方は？また、\(y=2^x\) と \(y=2^{-x}\) のグラフの位置関係は？
10☆｜指数関数のグラフの対称移動・平行移動
指数関数と対数関数 10☆指数関数 \(y=-2^x~,~\)\(y=2^x-1~,~\)\(y=4 \cdot 2^x\) のグラフの描き方は？また、それぞれ \(y=2^x\) とのグラフの位置関係は？
11｜指数関数の大小比較
指数関数と対数関数 11\(1~,~\)\(2~,~\)\(\sqrt[3]{4}~,~\)\(\sqrt[5]{8}\) や \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\)\(\sqrt[3]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}}~,~\)\(\sqrt[5]{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}}\) の大小比較の方法は？また、\(\sqrt{2}~,~\)\(\sqrt[3]{3}~,~\)\(\sqrt[6]{7}\) の大小比較の方法は？
指数関数を含む方程式・不等式・関数
12｜指数関数を含む方程式
指数関数と対数関数 12方程式 \(9^x=27~,~\)\(2^{x+1}=8\) の解の求め方は？
13｜指数関数を含む不等式
指数関数と対数関数 13不等式 \(9^x{\small ~≦~}27~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^x \gt \displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}{\small ~≦~}5^x{\small ~≦~}25\) の解の求め方は？
14｜指数関数を含む2次方程式・2次不等式
指数関数と対数関数 14方程式 \(4^x+2^{x+1}-8=0\) の解の求め方は？また、不等式 \(4^x+2^{x+1}-8{\small ~≧~}0~,~\)\(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^{2x-1}-4\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^x+1 \lt 0\) の解の求め方は？
15☆｜指数関数を含む関数の最大値・最小値
指数関数と対数関数 15☆関数 \(y=4^x-2^{x+1}\) \((x{\small ~≦~}2)\) の最大値・最小値とそのときの \(x\) の値を求めよ。
16☆｜2ˣ+2⁻ˣと4ˣ+4⁻ˣを含む関数の最小値
指数関数と対数関数 16☆関数 \(y=4^x+4^{-x}-2(2^x+2^{-x})\) について、\(2^x+2^{-x}=t\) とおいて、\(y\) を \(t\) で表し、\(y\) の最小値とそのときの \(x\) の値の求め方は？
対数とその性質
17｜対数の定義と指数への変換
指数関数と対数関数 17\(2^3=8\) を \(p=\log_a M\) の形で表すと？また、\(\log_3 81=4\) を \(a^p=M\) の形で表すと？
18｜対数の式の値
指数関数と対数関数 18対数の式 \(\log_3 27~,~\)\(\log_{10} 0.01~,~\)\(\log_2 \sqrt{2}~,~\)\(\log_4 2\) の値の求め方は？また、対数の式 \(\log_a a~,~\)\(\log_a 1~,~\)\(\log_a \displaystyle \frac{\,1\,}{\,a\,}\) の値の求め方は？
19｜対数の性質と和・差の計算
指数関数と対数関数 19対数の式\(\log_{10}4+2\log_{10}5\)、\(\log_{3}24-3\log_{3}2\) の計算方法は？
20｜底の変換公式を用いた計算
指数関数と対数関数 20\(\log_{27}81~,~\)\(\log_23 \cdot \log_35 \cdot \log_58~,~\)\(\log_36-\log_94~,~\)\((\log_32+\log_94)(\log_23+\log_43)\) の計算方法は？
21｜底の変換公式と等式の証明
指数関数と対数関数 21等式 \(\log_s t \cdot \log_t u \cdot \log_u s=1\) の証明方法は？
22☆｜対数の式を文字で表す
指数関数と対数関数 22☆\(\log_{10}2=a~,~\)\(\log_{10}3=b\) のとき、\(\log_{10}6~,~\)\(\log_{3}10~,~\)\(\log_{10}5~,~\)\(\log_{3}\sqrt{5}~,~\)\(\log_{30}54\) を \(a~,~b\) を用いて表せ。
23☆｜指数に対数を含む式の値
指数関数と対数関数 23☆\(2^{\log_27}~,~\)\(9^{-\log_35}\) の値の求め方は？
24☆｜aˣ=bʸ=cᶻが条件の等式の証明
指数関数と対数関数 24☆\(2^x=3^y=6^z~,~\)\(xyz \neq 0\) のとき、等式 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,y\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,z\,}\) の証明方法は？
対数関数のグラフと大小比較
25｜対数関数のグラフ
指数関数と対数関数 25対数関数 \(y=\log_{2}x\) と \(y=\log_{\frac{1}{2}}x\) のグラフの描き方は？また、\(y=\log_{2}x\) と \(y=\log_{\frac{1}{2}}x\) や \(y=\log_{2}x\) と \(y=2^x\) のグラフの位置関係は？
26☆｜対数関数のグラフの移動
指数関数と対数関数 26☆対数関数 \(y=\log_{2}2x~,~\)\(y=\log_{2}(x+1)~,~\)\(y=\log_{2}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,x\,}\) のグラフの描き方は？また、それぞれのグラフの \(y=\log_{2}x\) との位置関係は？
27｜対数関数の大小比較
指数関数と対数関数 27\(1~,~\)\(\log_{2}3~,~\)\(\log_{4}25\) や \(\log_{\frac{1}{2}}3~,~\)\(\log_{\frac{1}{2}}5~,~\)\(\log_{\frac{1}{2}}7\) の大小比較の方法は？
28☆｜logₛtとlogₜsの大小比較
指数関数と対数関数 28☆\(1 \lt s \lt t\) のとき、\(\log_{s}t\) と \((\log_{s}t)^2\) の大小比較の方法は？また、\(\log_{s}t\) と \(\log_{t}s\) の大小比較の方法は？
対数関数を含む方程式・不等式・関数
29｜対数関数を含む方程式
指数関数と対数関数 29方程式 \(\log_{3}x=2~,~\)\(\log_{2}(x-1)=3\) の解の求め方は？
30｜対数関数を含む不等式
指数関数と対数関数 30不等式 \(\log_{3}x{\small ~≦~}2~,~\)\(\log_{\frac{1}{2}}x \gt -1\) の解の求め方は？
31｜2つの対数関数を含む方程式
指数関数と対数関数 31方程式 \(\log_{2}x+\log_{2}(x-1)=1\) の解の求め方は？
32｜2つの対数関数を含む不等式
指数関数と対数関数 32不等式 \(2\log_{2}x \lt \log_{2}(x+6)\) の解の求め方は？
33☆｜対数関数を含む2次方程式
指数関数と対数関数 33☆方程式 \((\log_2 x)^2-\log_2 4x=0~,~\)\(\log_3 x-10\log_x 3=3\) の解の求め方は？
34｜対数関数を含む関数の最大値・最小値
指数関数と対数関数 34\(1{\small ~≦~}x{\small ~≦~}8\) のとき、対数関数 \(y=(\log_{2}x)^2-4\log_{2}x\) の最大値・最小値の求め方は？
35☆｜真数が2次関数となる対数関数
指数関数と対数関数 35☆対数関数 \(y=\log_{2}x+\log_{2}(4-x)\) の最大値の求め方は？また、\(x+y=4\) のときの \(\log_{2}x+\log_{2}y\) の最大値とそのときの \(x~,~y\) の求め方は？
常用対数
36｜常用対数の式の値
指数関数と対数関数 36\(\log_{10}2=0.3010~,~\)\(\log_{10}3=0.4771\) のとき、\(\log_{10}6~,~\)\(\log_{10}5~,~\)\(\log_{2}3~,~\)\(\log_{10}\sqrt{6}\) の値は？
37｜常用対数と累乗の桁数
指数関数と対数関数 37\(\log_{10}2=0.3010\) のとき、\(2^{31}\) は何桁の整数か？また、\(2^n\) が \(8\) 桁の数となるような \(n\) の値をすべて求めよ。
38｜常用対数と小数第何位
指数関数と対数関数 38\(\log_{10}2=0.3010\) のとき、\(2^{-31}\) は小数第何位で初めて \(0\) でない数字が現れるか？
39｜常用対数と不等式を満たす整数
指数関数と対数関数 39\(\log_{10}2=0.3010\) のとき、不等式 \(\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^n \gt 0.0001\) を満たす最大の整数 \(n\) の求め方は？
40｜常用対数を用いる文章問題
指数関数と対数関数 40\(\log_{10}3=0.4771\) のとき、ガラスを1枚通ると光の強さが \(1\) 割減るとき、光の強さをはじめの \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) 以下にするためにはガラスを何枚以上重ねればよいか答えよ？
41☆｜常用対数と累乗の最高位の数字
指数関数と対数関数 41☆\(\log_{10}2=0.3010~,~\)\(\log_{10}3=0.4771\) のとき、\(2^{31}\) の最高位の数字の求め方は？
42☆｜対数の値が無理数であることの証明
指数関数と対数関数 42☆対数の値\(\log_{2}3\)が無理数であることの証明方法は？
