このページは、東京書籍：Standard数学Ｃ[702]
１章 ベクトル
１章 ベクトル
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１章 ベクトル
１節 平面上のベクトル
p.11 問1 等しいベクトル \(\vec{d}\) と \(\vec{f}\)
互いに逆ベクトル \(\vec{b}\) と \(\vec{e}\)
解法のPoint｜ベクトルの大きさと等しいベクトル
互いに逆ベクトル \(\vec{b}\) と \(\vec{e}\)
解法のPoint｜ベクトルの大きさと等しいベクトル
p.13 問4[証明] (左辺)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC}+\vec{\rm CA}
\\[3pt]~~~&=&\vec{\rm AC}+\vec{\rm CA}
\\[3pt]~~~&=&\vec{\rm AA}
\\[3pt]~~~&=&\vec{0}
\end{eqnarray}\)
よって、\(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC}+\vec{\rm CA}=\vec{0}\) [終]
解法のPoint｜ベクトルの等式の証明方法
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC}+\vec{\rm CA}
\\[3pt]~~~&=&\vec{\rm AC}+\vec{\rm CA}
\\[3pt]~~~&=&\vec{\rm AA}
\\[3pt]~~~&=&\vec{0}
\end{eqnarray}\)
よって、\(\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC}+\vec{\rm CA}=\vec{0}\) [終]
解法のPoint｜ベクトルの等式の証明方法
p.16 問9 \(\vec{c}=-3\vec{a}~,~\vec{a}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{c}~,~\vec{b}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{c}\)
解法のPoint｜ベクトルの実数倍の図示
解法のPoint｜ベクトルの実数倍の図示
p.20 問10 \(\vec{a}=(-3~,~3)~,~|\vec{a}|=3\sqrt{2}\)
\(\vec{b}=(2~,~4)~,~|\vec{b}|=2\sqrt{5}\)
\(\vec{c}=(-3~,~0)~,~|\vec{c}|=3\)
\(\vec{d}=(-4~,~-1)~,~|\vec{d}|=\sqrt{17}\)
解法のPoint｜ベクトルの成分と大きさ
\(\vec{b}=(2~,~4)~,~|\vec{b}|=2\sqrt{5}\)
\(\vec{c}=(-3~,~0)~,~|\vec{c}|=3\)
\(\vec{d}=(-4~,~-1)~,~|\vec{d}|=\sqrt{17}\)
解法のPoint｜ベクトルの成分と大きさ
p.21 問11\({\small (1)}~(1~,~-1)\)
\({\small (2)}~(9~,~-16)\)
\({\small (3)}~(0~,~1)\)
解法のPoint｜ベクトルの成分を用いた計算
\({\small (2)}~(9~,~-16)\)
\({\small (3)}~(0~,~1)\)
解法のPoint｜ベクトルの成分を用いた計算
p.22 問12\({\small (1)}~\left(\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}~,~-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,5\,}\right)\)
\({\small (2)}~\left(-\displaystyle\frac{\,\sqrt{5}\,}{\,5\,}~,~\displaystyle\frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,5\,}\right)\)
解法のPoint｜ベクトルと平行な単位ベクトルの成分
\({\small (2)}~\left(-\displaystyle\frac{\,\sqrt{5}\,}{\,5\,}~,~\displaystyle\frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,5\,}\right)\)
解法のPoint｜ベクトルと平行な単位ベクトルの成分
p.24 問16 \( \vec{\rm AB}=(3~,~1) ~,~|\,\vec{\rm AB}\,|=\sqrt{10} \)
\( \vec{\rm AC}=(-1~,~2) ~,~|\,\vec{\rm AC}\,|=\sqrt{5} \)
\( \vec{\rm BC}=(-4~,~1) ~,~|\,\vec{\rm BC}\,|=\sqrt{17} \)
解法のPoint｜2点の座標とベクトルの成分・大きさ
\( \vec{\rm AC}=(-1~,~2) ~,~|\,\vec{\rm AC}\,|=\sqrt{5} \)
\( \vec{\rm BC}=(-4~,~1) ~,~|\,\vec{\rm BC}\,|=\sqrt{17} \)
解法のPoint｜2点の座標とベクトルの成分・大きさ
p.26 問18\({\small (1)}~3\) \({\small (2)}~0\)
\({\small (3)}~1\) \({\small (4)}~-1\)
解法のPoint｜ベクトルの大きさ・なす角と内積
解法のPoint｜正方形における内積
\({\small (3)}~1\) \({\small (4)}~-1\)
解法のPoint｜ベクトルの大きさ・なす角と内積
解法のPoint｜正方形における内積
p.28 問19\({\small (1)}~\vec{a}\cdot\vec{b}=2\) \({\small (2)}~\vec{a}\cdot\vec{b}=-7\)
\({\small (3)}~\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) \({\small (4)}~\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\sqrt{3}\)
解法のPoint｜ベクトルの成分と内積
\({\small (3)}~\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) \({\small (4)}~\vec{a}\cdot\vec{b}=-2\sqrt{3}\)
解法のPoint｜ベクトルの成分と内積
p.29 問20\({\small (1)}~\theta=60^\circ\) \({\small (2)}~\theta=30^\circ\)
\({\small (3)}~\theta=90^\circ\) \({\small (4)}~\theta=180^\circ\)
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\({\small (3)}~\theta=90^\circ\) \({\small (4)}~\theta=180^\circ\)
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p.29 問22 \( \left(\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}~,~-\displaystyle\frac{\,3\,}{\,5\,}\right)~,~\left(-\displaystyle\frac{\,4\,}{\,5\,}~,~\displaystyle\frac{\,3\,}{\,5\,}\right) \)
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p.31 問24\({\small (1)}~\)[証明]
(左辺)
\(=|\vec{a}+\vec{b}|^2\)
\(=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})\)
\(=\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec{b})+\vec{b}(\vec{a}+\vec{b})\)
\(=\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(+\vec{b}\cdot\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{b}\)
\(=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\(|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\) [終]
解法のPoint｜ベクトルの等式の証明
(左辺)
\(=|\vec{a}+\vec{b}|^2\)
\(=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})\)
\(=\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec{b})+\vec{b}(\vec{a}+\vec{b})\)
\(=\vec{a}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(+\vec{b}\cdot\vec{a}+\vec{b}\cdot\vec{b}\)
\(=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\(|\vec{a}+\vec{b}|^2=|\vec{a}|^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+|\vec{b}|^2\) [終]
\({\small (2)}~\)
(左辺)
\(=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})\)
\(=\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec{b})+\vec{b}(\vec{a}-\vec{b})\)
\(=\vec{a}\cdot\vec{a}-\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{a}-\vec{b}\cdot\vec{b}\)
\(=|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2\)
\(=\) (右辺)
したがって、
\((\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}|^2-|\vec{b}|^2\)
[終]
解法のPoint｜ベクトルの等式の証明
Training
p.33 Training 1\({\small (1)}~\) \( -\vec{a}-\vec{b} \)
\({\small (2)}~\) \( -2\vec{a} \)
\({\small (3)}~\) \( -\vec{a}+\vec{b} \)
\({\small (4)}~\) \( -\vec{a}-2\vec{b} \)
解法のPoint｜正六角形のベクトルの表し方
\({\small (2)}~\) \( -2\vec{a} \)
\({\small (3)}~\) \( -\vec{a}+\vec{b} \)
\({\small (4)}~\) \( -\vec{a}-2\vec{b} \)
解法のPoint｜正六角形のベクトルの表し方
p.33 Training 2\({\small (1)}~\) \( (-1~,~-3) \)
\({\small (2)}~\) \( (1~,~-7) \)
\({\small (3)}~\) \( (1~,~3) \)
解法のPoint｜ベクトルの成分を用いた計算
\({\small (2)}~\) \( (1~,~-7) \)
\({\small (3)}~\) \( (1~,~3) \)
解法のPoint｜ベクトルの成分を用いた計算
p.33 Training 3\({\small (1)}~\) \( \left(\,-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,\sqrt{13}\,}~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{13}\,}\,\right) \)
\({\small (2)}~\) \( \left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\sqrt{2}\,}~,~-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,5\sqrt{2}\,}\,\right) \)
解法のPoint｜ベクトルと平行な単位ベクトルの成分
\({\small (2)}~\) \( \left(\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\sqrt{2}\,}~,~-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,5\sqrt{2}\,}\,\right) \)
解法のPoint｜ベクトルと平行な単位ベクトルの成分
p.33 Training 6 \( \left(\,-\displaystyle \frac{\,2\sqrt{3}\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{15}\,}{\,3\,}\,\right)~,~\left(\,\displaystyle \frac{\,2\sqrt{3}\,}{\,3\,}~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{15}\,}{\,3\,}\,\right) \)
解法のPoint｜ベクトルと平行な単位ベクトルの成分
解法のPoint｜ベクトルと平行な単位ベクトルの成分
p.33 Training 9\({\small (1)}~\) \( 2\sqrt{2} \) \({\small (2)}~\) \( -4 \) \({\small (3)}~\) \( -2\sqrt{2} \)
解法のPoint｜正方形における内積
解法のPoint｜正方形における内積
p.33 Training 10\({\small (1)}~\) \( \theta=180^{\circ} \) \({\small (2)}~\) \( \theta=150^{\circ} \)
\({\small (3)}~\) \( \theta=90^{\circ} \) \({\small (4)}~\) \( \theta=45^{\circ} \)
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\({\small (3)}~\) \( \theta=90^{\circ} \) \({\small (4)}~\) \( \theta=45^{\circ} \)
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p.33 Training \({\small (1)}~\)\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) のなす角が \(60^\circ\)
\({\small (2)}~\)\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) が同じ向き
解法のPoint｜ベクトルの大きさ・なす角と内積
\({\small (2)}~\)\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) が同じ向き
解法のPoint｜ベクトルの大きさ・なす角と内積
２節 ベクトルの応用
p.36 問2\({\small (1)}~\vec{p}=\displaystyle\frac{\,2\vec{a}+3\vec{b}\,}{\,5\,}~,~\vec{q}=-2\vec{a}+3\vec{b} \)
\({\small (2)}~\vec{p}=\displaystyle\frac{\,5\vec{a}+2\vec{b}\,}{\,7\,}~,~\vec{q}=\displaystyle\frac{\,5\vec{a}-2\vec{b}\,}{\,3\,} \)
解法のPoint｜位置ベクトルの内分点・外分点・中点
\({\small (2)}~\vec{p}=\displaystyle\frac{\,5\vec{a}+2\vec{b}\,}{\,7\,}~,~\vec{q}=\displaystyle\frac{\,5\vec{a}-2\vec{b}\,}{\,3\,} \)
解法のPoint｜位置ベクトルの内分点・外分点・中点
p.37 問4[証明]
平行四辺形 \({\rm OABC}\) で、\(\vec{\rm OA}=\vec{a}~,~\vec{\rm OC}=\vec{c}\) とおくと、
\(\vec{\rm OB}=\vec{a}+\vec{c}\)
点 \( \rm D \) は辺 \( \rm AB \) を \(3:2\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OD}
&=&\displaystyle \frac{\,2{\, \small \times \,}\vec{\rm OA}+3{\, \small \times \,}\vec{\rm OB}\,}{\,3+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\vec{a}+3(\vec{a}+\vec{c})\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\vec{a}+3\vec{c}\,}{\,5\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、点 \( \rm E \) は対角線 \( \rm AC \) を \(3:5\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OE}
&=&\displaystyle \frac{\,5{\, \small \times \,}\vec{\rm OA}+3{\, \small \times \,}\vec{\rm OC}\,}{\,3+5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\vec{a}+3\vec{c}\,}{\,8\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OE}
&=&\displaystyle \frac{\,5\vec{a}+3\vec{c}\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\vec{a}+3\vec{c}\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\vec{a}+3\vec{c}\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}\,\vec{\rm OD} \hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、点 \( \rm O~,~E~,~D \) は一直線上にある [終]
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平行四辺形 \({\rm OABC}\) で、\(\vec{\rm OA}=\vec{a}~,~\vec{\rm OC}=\vec{c}\) とおくと、
\(\vec{\rm OB}=\vec{a}+\vec{c}\)
点 \( \rm D \) は辺 \( \rm AB \) を \(3:2\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OD}
&=&\displaystyle \frac{\,2{\, \small \times \,}\vec{\rm OA}+3{\, \small \times \,}\vec{\rm OB}\,}{\,3+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\vec{a}+3(\vec{a}+\vec{c})\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\vec{a}+3\vec{c}\,}{\,5\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、点 \( \rm E \) は対角線 \( \rm AC \) を \(3:5\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OE}
&=&\displaystyle \frac{\,5{\, \small \times \,}\vec{\rm OA}+3{\, \small \times \,}\vec{\rm OC}\,}{\,3+5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\vec{a}+3\vec{c}\,}{\,8\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OE}
&=&\displaystyle \frac{\,5\vec{a}+3\vec{c}\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\vec{a}+3\vec{c}\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\vec{a}+3\vec{c}\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}\,\vec{\rm OD} \hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、点 \( \rm O~,~E~,~D \) は一直線上にある [終]
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p.38 問5 \(\vec{\rm OP}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,7\,}\vec{b}\)
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p.39 問6[証明]
\(\vec{\rm BA}=\vec{a}~,~\vec{\rm BC}=\vec{c}\) とおくと、
四角形 \({\rm ABCD}\) は長方形より、
\(\vec{a}\cdot\vec{c}=0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\rm AB}=1\) より、
\(|\vec{a}|^2=1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\rm BC}=2\) より、
\(|\vec{c}|^2=4~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}\)
長方形より、\(\vec{\rm BD}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BD}&=&\vec{\rm BA}+\vec{\rm AD}\\[5pt]~~~&=&\vec{a}+\vec{c}\end{eqnarray}\)
点 \({\rm P}\) は対角線 \({\rm BD}\) を \(1:4\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BP}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\vec{\rm BD}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{c}\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\vec{\rm AP}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AP}&=&\vec{\rm AB}+\vec{\rm BP}\\[5pt]~~~&=&-\vec{a}+\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{c}\,}{\,5\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-5\vec{a}+\vec{a}+\vec{c}\,}{\,5\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-4\vec{a}+\vec{c}\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\vec{\rm AP}\) と \(\vec{\rm BD}\) の内積は、
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}(-4\cdot 1+4-0)\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(\vec{\rm AP}\neq\vec{0}~,~\vec{\rm BD}\neq\vec{0}\) より、\(\vec{\rm AP}\perp \vec{\rm BD}\)
したがって、\({\rm AP}\perp {\rm BD}\) [終]
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\(\vec{\rm BA}=\vec{a}~,~\vec{\rm BC}=\vec{c}\) とおくと、
四角形 \({\rm ABCD}\) は長方形より、
\(\vec{a}\cdot\vec{c}=0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\({\rm AB}=1\) より、
\(|\vec{a}|^2=1~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\({\rm BC}=2\) より、
\(|\vec{c}|^2=4~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}\)
長方形より、\(\vec{\rm BD}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BD}&=&\vec{\rm BA}+\vec{\rm AD}\\[5pt]~~~&=&\vec{a}+\vec{c}\end{eqnarray}\)
点 \({\rm P}\) は対角線 \({\rm BD}\) を \(1:4\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BP}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\vec{\rm BD}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{c}\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
よって、\(\vec{\rm AP}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AP}&=&\vec{\rm AB}+\vec{\rm BP}\\[5pt]~~~&=&-\vec{a}+\displaystyle \frac{\,\vec{a}+\vec{c}\,}{\,5\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-5\vec{a}+\vec{a}+\vec{c}\,}{\,5\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-4\vec{a}+\vec{c}\,}{\,5\,}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\vec{\rm AP}\) と \(\vec{\rm BD}\) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AP}\cdot\vec{\rm BD}&=&\displaystyle \frac{\,-4\vec{a}+\vec{c}\,}{\,5\,}\cdot(\vec{a}+\vec{c})\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}(-4\vec{a}+\vec{c})\cdot(\vec{a}+\vec{c})\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}(-4|\vec{a}|^2-4\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{a}\cdot\vec{c}+|\vec{c}|^2)\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}(-4|\vec{a}|^2+|\vec{c}|^2-3\vec{a}\cdot\vec{c})\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}~,~{\small [\,3\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}(-4\cdot 1+4-0)\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(\vec{\rm AP}\neq\vec{0}~,~\vec{\rm BD}\neq\vec{0}\) より、\(\vec{\rm AP}\perp \vec{\rm BD}\)
したがって、\({\rm AP}\perp {\rm BD}\) [終]
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p.41 問7\({\small (1)}~\left\{~\begin{array}{l}
x=2+t \\ y=-3+2t \\
\end{array}\right.~,~2x-y-7=0 \)
\({\small (2)}~\left\{~\begin{array}{l}
x=4-3t \\ y=2t \\
\end{array}\right.~,~2x+3y-8=0 \)
解法のPoint｜方向ベクトルと直線の媒介変数表示
x=2+t \\ y=-3+2t \\
\end{array}\right.~,~2x-y-7=0 \)
\({\small (2)}~\left\{~\begin{array}{l}
x=4-3t \\ y=2t \\
\end{array}\right.~,~2x+3y-8=0 \)
解法のPoint｜方向ベクトルと直線の媒介変数表示
p.42 問8\( t=-\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} \) のとき、線分\( {\rm AB} \) を \( 1:3 \) に外分する点
\( t=0 \) のとき、点\( {\rm A} \)
\( t=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,} \) のとき、線分\( {\rm AB} \) を \( 1:2 \) に内分する点
\( t=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} \) のとき、線分\( {\rm AB} \) の中点
\( t=2 \) のとき、線分\( {\rm AB} \) を \( 2:1 \) に外分する点
\( t=0 \) のとき、点\( {\rm A} \)
\( t=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,3\,} \) のとき、線分\( {\rm AB} \) を \( 1:2 \) に内分する点
\( t=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} \) のとき、線分\( {\rm AB} \) の中点
\( t=2 \) のとき、線分\( {\rm AB} \) を \( 2:1 \) に外分する点
p.42 問9\(\vec{\rm OA’}=2\vec{\rm OA}~,~\vec{\rm OB’}=2\vec{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とするときの線分 \( {\rm A’B’}\)
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p.44 Challenge 問1\(\vec{\rm OA’}=\displaystyle \frac{1}{2}\vec{\rm OA}~,~\vec{\rm OB’}=\displaystyle \frac{1}{2}\vec{\rm OB}\) となる点を \({\rm A’~,~B’}\) とすると、\({\rm \triangle {\rm OA’B’}}\) の周と内部
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p.46 問64\({\small (1)}~\)中心 \(\vec{a}\)、半径 \(1\) の円
\({\small (2)}~\)中心 \(\displaystyle \frac{\,\vec{a}\,}{\,3\,}\)、半径 \(2\) の円
解法のPoint｜中心と半径が条件の円のベクトル方程式
\({\small (2)}~\)中心 \(\displaystyle \frac{\,\vec{a}\,}{\,3\,}\)、半径 \(2\) の円
解法のPoint｜中心と半径が条件の円のベクトル方程式
Training
p.47 Training 13\({\small (1)}~\) \( \displaystyle \frac{\,3\vec{a}+5\vec{b}\,}{\,8\,} \)
\({\small (2)}~\) \( \displaystyle \frac{\,\vec{b}+\vec{c}\,}{\,2\,} \)
\({\small (3)}~\) \( \displaystyle \frac{\,-\vec{c}+4\vec{a}\,}{\,3\,} \)
解法のPoint｜位置ベクトルの内分点・外分点・中点
\({\small (2)}~\) \( \displaystyle \frac{\,\vec{b}+\vec{c}\,}{\,2\,} \)
\({\small (3)}~\) \( \displaystyle \frac{\,-\vec{c}+4\vec{a}\,}{\,3\,} \)
解法のPoint｜位置ベクトルの内分点・外分点・中点
p.47 Training 14[証明]
平行四辺形 \({\rm ABCD}\) で、\(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AD}=\vec{d}\) とおくと、
\(\vec{\rm AC}=\vec{b}+\vec{d}\)
点 \( \rm E \) は辺 \( \rm BC \) を \(3:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AE}
&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}\vec{\rm AB}+3{\, \small \times \,}\vec{\rm AC}\,}{\,3+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+3(\vec{b}+\vec{d})\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\vec{b}+3\vec{d}\,}{\,4\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、点 \( \rm F \) は辺 \( \rm CD \) を \(1:4\) に外分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,-4{\, \small \times \,}\vec{\rm AC}+1{\, \small \times \,}\vec{\rm AD}\,}{\,1-4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-4(\vec{b}+\vec{d})+\vec{d}\,}{\,-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-4\vec{b}-3\vec{d}\,}{\,-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\vec{b}+3\vec{d}\,}{\,3\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,4\vec{b}+3\vec{d}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\vec{b}+3\vec{d}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\vec{b}+3\vec{d}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\,\vec{\rm AE} \hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、点 \( \rm A~,~E~,~F \) は一直線上にある [終]
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平行四辺形 \({\rm ABCD}\) で、\(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AD}=\vec{d}\) とおくと、
\(\vec{\rm AC}=\vec{b}+\vec{d}\)
点 \( \rm E \) は辺 \( \rm BC \) を \(3:1\) に内分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AE}
&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}\vec{\rm AB}+3{\, \small \times \,}\vec{\rm AC}\,}{\,3+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+3(\vec{b}+\vec{d})\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\vec{b}+3\vec{d}\,}{\,4\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、点 \( \rm F \) は辺 \( \rm CD \) を \(1:4\) に外分するので、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,-4{\, \small \times \,}\vec{\rm AC}+1{\, \small \times \,}\vec{\rm AD}\,}{\,1-4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-4(\vec{b}+\vec{d})+\vec{d}\,}{\,-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-4\vec{b}-3\vec{d}\,}{\,-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\vec{b}+3\vec{d}\,}{\,3\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,4\vec{b}+3\vec{d}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\vec{b}+3\vec{d}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\vec{b}+3\vec{d}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\,\vec{\rm AE} \hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、点 \( \rm A~,~E~,~F \) は一直線上にある [終]
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p.47 Training 15 \( \vec{\rm OP}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\vec{b} \)
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p.47 Training 16\({\small (1)}~\) \( \left\{\begin{array}{l}x=-2+3t\\y=-1-2t\end{array}\right.~,~y=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,3\,} \)
\({\small (2)}~\) \( \left\{\begin{array}{l}x=-t\\y=-2-4t\end{array}\right.~,~y=4x-2 \)
解法のPoint｜方向ベクトルと直線の媒介変数表示
\({\small (2)}~\) \( \left\{\begin{array}{l}x=-t\\y=-2-4t\end{array}\right.~,~y=4x-2 \)
解法のPoint｜方向ベクトルと直線の媒介変数表示
p.47 Training 17\(\vec{\rm OA^{\prime}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{\rm OA}~,~\vec{\rm OB^{\prime}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{\rm OB}\) を満たす点 \(\rm A^{\prime}~,~B^{\prime}\) をとるとき、点 \(\rm P\) の存在範囲は2点 \(\rm A^{\prime}~,~B^{\prime}\) を結ぶ線分 \(\rm A^{\prime}B^{\prime}\)
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p.47 Training 18\({\small (1)}~\) \( 2x-y+1=0 \)
\({\small (2)}~\) \( \sqrt{2}\,x-y=0 \)
解法のPoint｜法線ベクトルと直線の方程式
\({\small (2)}~\) \( \sqrt{2}\,x-y=0 \)
解法のPoint｜法線ベクトルと直線の方程式
p.47 Training 19\({\small (1)}~\) 中心 \( -2\vec{a} \)、半径 \( 2 \) の円
\({\small (2)}~\) 中心 \( -\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\vec{a} \)、半径 \( 3 \) の円
解法のPoint｜中心と半径が条件の円のベクトル方程式
\({\small (2)}~\) 中心 \( -\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\vec{a} \)、半径 \( 3 \) の円
解法のPoint｜中心と半径が条件の円のベクトル方程式
３節 空間におけるベクトル
p.49 問1等しいベクトル \(\vec{\rm BF}~,~\vec{\rm CG}~,~\vec{\rm DH}\)
逆ベクトル \(\vec{\rm CA}~,~\vec{\rm GE}\)
逆ベクトル \(\vec{\rm CA}~,~\vec{\rm GE}\)
p.49 問2\({\small (1)}~\)左辺
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\vec{\rm AF}-\vec{\rm BC}
\\[3pt]~~~&=&\vec{\rm AF}-\vec{\rm AD}
\\[3pt]~~~&=&\vec{\rm DF}
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)左辺
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\vec{\rm AB}+\vec{\rm AD}+\vec{\rm AF}
\\[3pt]~~~&=&\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC}+\vec{\rm CG}
\\[3pt]~~~&=&\vec{\rm AC}+\vec{\rm CG}
\\[3pt]~~~&=&\vec{\rm AG}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\vec{\rm AF}-\vec{\rm BC}
\\[3pt]~~~&=&\vec{\rm AF}-\vec{\rm AD}
\\[3pt]~~~&=&\vec{\rm DF}
\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\)左辺
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\vec{\rm AB}+\vec{\rm AD}+\vec{\rm AF}
\\[3pt]~~~&=&\vec{\rm AB}+\vec{\rm BC}+\vec{\rm CG}
\\[3pt]~~~&=&\vec{\rm AC}+\vec{\rm CG}
\\[3pt]~~~&=&\vec{\rm AG}
\end{eqnarray}\)
p.50 問3\({\small (1)}~\vec{a}+\vec{c}\)
\({\small (2)}~\vec{a}-\vec{b}\)
\({\small (3)}~-\vec{a}+\vec{c}\)
\({\small (4)}~-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\)
解法のPoint｜平行六面体とベクトルの加法・減法
\({\small (2)}~\vec{a}-\vec{b}\)
\({\small (3)}~-\vec{a}+\vec{c}\)
\({\small (4)}~-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\)
解法のPoint｜平行六面体とベクトルの加法・減法
p.56 問9\({\small (1)}~4\) \({\small (2)}~0\)
\({\small (3)}~-8\) \({\small (4)}~4\)
解法のPoint｜空間ベクトルの内積計算
\({\small (3)}~-8\) \({\small (4)}~4\)
解法のPoint｜空間ベクトルの内積計算
p.58 問13\(\begin{eqnarray}~~~\vec{p}&=&\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,6\,}\right)~,~\\[5pt]~~~&&~\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,6\,}~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,6\,}\right)\end{eqnarray}\)
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p.60 問14 \( \vec{p}=\displaystyle\frac{\,5\vec{a}+3\vec{b}\,}{\,8\,} \)、\( \vec{q}=\displaystyle\frac{\,5\vec{a}-3\vec{b}\,}{\,2\,} \)
解法のPoint｜空間の位置ベクトルと内分点・外分点・中点
解法のPoint｜空間の位置ベクトルと内分点・外分点・中点
p.60 問15[証明]
\( \vec{\rm AB}=\vec{a}~,~\vec{\rm AD}=\vec{b}~,~\vec{\rm AE}=\vec{c} \) とおくと、
直方体より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AF}&=&\vec{\rm AB}+\vec{\rm BF}=\vec{a}+\vec{c}
\\[5pt]~~~\vec{\rm AG}&=&\vec{\rm AB}+\vec{\rm AD}+\vec{\rm AE}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}
\end{eqnarray}\)
\( \triangle {\rm DEF} \) の重心が \( {\rm Q} \) であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AQ}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{\rm AD}+\vec{\rm AE}+\vec{\rm AF}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\vec{b}+\vec{c}+\vec{a}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\( {\rm R} \) は線分 \( {\rm GE} \) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AR}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{\rm AG}+\vec{\rm AE}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\)\(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AR}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\vec{\rm AQ}\hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、\( \vec{\rm AR}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\vec{\rm AQ} \) より、
3点 \( \rm A~,~\rm Q~,~\rm R \) は一直線上にある [終]
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\( \vec{\rm AB}=\vec{a}~,~\vec{\rm AD}=\vec{b}~,~\vec{\rm AE}=\vec{c} \) とおくと、
直方体より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AF}&=&\vec{\rm AB}+\vec{\rm BF}=\vec{a}+\vec{c}
\\[5pt]~~~\vec{\rm AG}&=&\vec{\rm AB}+\vec{\rm AD}+\vec{\rm AE}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}
\end{eqnarray}\)
\( \triangle {\rm DEF} \) の重心が \( {\rm Q} \) であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AQ}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{\rm AD}+\vec{\rm AE}+\vec{\rm AF}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\vec{b}+\vec{c}+\vec{a}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\( {\rm R} \) は線分 \( {\rm GE} \) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AR}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{\rm AG}+\vec{\rm AE}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\)\(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AR}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\vec{\rm AQ}\hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、\( \vec{\rm AR}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\vec{\rm AQ} \) より、
3点 \( \rm A~,~\rm Q~,~\rm R \) は一直線上にある [終]
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p.60 問16① 平行六面体であっても、\(\vec{\rm AG}\) や \(\vec{\rm AP}\) は同じ様に表されるので、3点 \({\rm A~,~P~,~G}\) は一直線上にある。
② 平行六面体であっても、\(\vec{\rm AR}\) や \(\vec{\rm AQ}\) は同じ様に表されるので、3点 \({\rm A~,~Q~,~R}\) は一直線上にある。
② 平行六面体であっても、\(\vec{\rm AR}\) や \(\vec{\rm AQ}\) は同じ様に表されるので、3点 \({\rm A~,~Q~,~R}\) は一直線上にある。
p.63 問18[証明] \( \vec{\rm AB}=\vec{x}~,~\vec{\rm AC}=\vec{y}~,~\vec{\rm AD}=\vec{z} \) とおくと、
正四面体の1辺の長さを \(a\) とすると、
\(|\vec{x}|=|\vec{y}|=|\vec{z}|=a\)
\(|{\rm BC}|=a\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\vec{\rm BC}|^2&=&a^2\\[5pt]~~~|\vec{y}-\vec{x}|^2&=&a^2\\[5pt]~~~|\vec{x}|^2-2\vec{x}\cdot\vec{y}+|\vec{y}|^2&=&a^2\\[5pt]~~~a^2-2\vec{x}\cdot\vec{y}+a^2&=&a^2\\[5pt]~~~\vec{x}\cdot\vec{y}&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
同様に、\(|{\rm CD}|=|{\rm BD}|=a\) より、
\(\vec{y}\cdot\vec{z}=\vec{z}\cdot\vec{x}=\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,2\,}\)
よって、
\(\vec{x}\cdot\vec{y}=\vec{y}\cdot\vec{z}=\vec{z}\cdot\vec{x}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\(\triangle{\rm BCD}\) の重心 \({\rm G}\) の位置ベクトルは、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AG}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\vec{\rm AB}+\vec{\rm AC}+\vec{\rm AD})\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z})\end{eqnarray}\)
ここで、\( \vec{\rm AG} \) と \( \vec{\rm BC} \) の内積は、
正四面体より \(|\vec{x}|=|\vec{y}|\) かつ \({\small [\,1\,]}\) より \(\vec{y}\cdot\vec{z}=\vec{z}\cdot\vec{x}\) なので、
\(\begin{eqnarray}\hspace{35pt}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(0+0)\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\( \vec{\rm AG}\neq 0~,~\vec{\rm BC}\neq 0~,~\vec{\rm AG}\cdot\vec{\rm BC}=0 \) より、\( \vec{\rm AG}\perp\vec{\rm BC} \) [終]
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正四面体の1辺の長さを \(a\) とすると、
\(|\vec{x}|=|\vec{y}|=|\vec{z}|=a\)
\(|{\rm BC}|=a\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\vec{\rm BC}|^2&=&a^2\\[5pt]~~~|\vec{y}-\vec{x}|^2&=&a^2\\[5pt]~~~|\vec{x}|^2-2\vec{x}\cdot\vec{y}+|\vec{y}|^2&=&a^2\\[5pt]~~~a^2-2\vec{x}\cdot\vec{y}+a^2&=&a^2\\[5pt]~~~\vec{x}\cdot\vec{y}&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
同様に、\(|{\rm CD}|=|{\rm BD}|=a\) より、
\(\vec{y}\cdot\vec{z}=\vec{z}\cdot\vec{x}=\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,2\,}\)
よって、
\(\vec{x}\cdot\vec{y}=\vec{y}\cdot\vec{z}=\vec{z}\cdot\vec{x}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\(\triangle{\rm BCD}\) の重心 \({\rm G}\) の位置ベクトルは、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AG}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\vec{\rm AB}+\vec{\rm AC}+\vec{\rm AD})\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z})\end{eqnarray}\)
ここで、\( \vec{\rm AG} \) と \( \vec{\rm BC} \) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AG}\cdot\vec{\rm BC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z})\cdot(\vec{\rm AC}-\vec{\rm AB})\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z})\cdot(\vec{y}-\vec{x})\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\vec{x}\cdot\vec{y}-|\vec{x}|^2+|\vec{y}|^2-\vec{x}\cdot\vec{y}+\vec{y}\cdot\vec{z}-\vec{z}\cdot\vec{x})\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(-|\vec{x}|^2+|\vec{y}|^2+\vec{y}\cdot\vec{z}-\vec{z}\cdot\vec{x})\end{eqnarray}\)
正四面体より \(|\vec{x}|=|\vec{y}|\) かつ \({\small [\,1\,]}\) より \(\vec{y}\cdot\vec{z}=\vec{z}\cdot\vec{x}\) なので、
\(\begin{eqnarray}\hspace{35pt}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(0+0)\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\( \vec{\rm AG}\neq 0~,~\vec{\rm BC}\neq 0~,~\vec{\rm AG}\cdot\vec{\rm BC}=0 \) より、\( \vec{\rm AG}\perp\vec{\rm BC} \) [終]
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Training
p.67 Training 21 \( \vec{\rm AB}=(4~,~-3~,~-6) \)
\( |\,\vec{\rm AB}\,|=\sqrt{61} \)
解法のPoint｜空間の点をベクトルの成分で表す
\( |\,\vec{\rm AB}\,|=\sqrt{61} \)
解法のPoint｜空間の点をベクトルの成分で表す
p.67 Training 22\({\small (1)}~\theta=60^{\circ} \) \({\small (2)}~\theta=135^{\circ} \) \({\small (3)}~\theta=90^{\circ} \)
解法のPoint｜成分表示の空間ベクトルのなす角
解法のPoint｜成分表示の空間ベクトルのなす角
p.67 Training 23\(\begin{eqnarray}~~~\vec{p}&=&\left(-\displaystyle \frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,5\,}~,~0~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,5\,}\right)~,~\\[5pt]~~~&&~\left(\displaystyle \frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,5\,}~,~0~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,5\,}\right)\end{eqnarray}\)
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p.67 Training 24 \( \vec{p}=\displaystyle \frac{\,\vec{a}+3\vec{b}\,}{\,4\,} \)
解法のPoint｜空間の位置ベクトルと内分点・外分点・中点
解法のPoint｜空間の位置ベクトルと内分点・外分点・中点
p.67 Training 25[証明]
\( \vec{\rm OA}=\vec{a}~,~\vec{\rm OB}=\vec{b}~,~\vec{\rm OC}=\vec{c} \) とおくと、
\( {\rm K} \) は辺 \( {\rm OA} \) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OK}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{a}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( {\rm L} \) は辺 \( {\rm BC} \) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OL}&=&\vec{\rm OB}+\vec{\rm BL}
\\[5pt]~~~&=&\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{\rm BC}
\\[5pt]~~~&=&\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{b}+\vec{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\( {\rm M} \) は辺 \( {\rm OB} \) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OM}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)
\( {\rm N} \) は辺 \( {\rm AC} \) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm ON}&=&\vec{\rm OA}+\vec{\rm AN}
\\[5pt]~~~&=&\vec{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{\rm AC}
\\[5pt]~~~&=&\vec{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{c}-\vec{a})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{a}+\vec{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\( {\rm P} \) は線分 \( {\rm KL} \) の中点より、\(\small [\,1\,]\)\(\small [\,2\,]\) から、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OP}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{\rm OK}+\vec{\rm OL}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{b}+\vec{c})\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,3\,]\)\(\small [\,5\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm MP}&=&\vec{\rm OP}-\vec{\rm OM}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{b}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\vec{a}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\vec{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,6\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,3\,]\)\(\small [\,4\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm MN}&=&\vec{\rm ON}-\vec{\rm OM}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{a}+\vec{c})-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{b}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{a}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,7\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,6\,]\)\(\small [\,7\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm MN}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&2\vec{\rm MP}\hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,6\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、\( \vec{\rm MN}=2\vec{\rm MP} \) より、
3点 \( \rm M~,~\rm P~,~\rm N \) は一直線上にある [終]
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\( \vec{\rm OA}=\vec{a}~,~\vec{\rm OB}=\vec{b}~,~\vec{\rm OC}=\vec{c} \) とおくと、
\( {\rm K} \) は辺 \( {\rm OA} \) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OK}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{a}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( {\rm L} \) は辺 \( {\rm BC} \) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OL}&=&\vec{\rm OB}+\vec{\rm BL}
\\[5pt]~~~&=&\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{\rm BC}
\\[5pt]~~~&=&\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{b}+\vec{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\( {\rm M} \) は辺 \( {\rm OB} \) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OM}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)
\( {\rm N} \) は辺 \( {\rm AC} \) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm ON}&=&\vec{\rm OA}+\vec{\rm AN}
\\[5pt]~~~&=&\vec{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{\rm AC}
\\[5pt]~~~&=&\vec{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{c}-\vec{a})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{a}+\vec{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\( {\rm P} \) は線分 \( {\rm KL} \) の中点より、\(\small [\,1\,]\)\(\small [\,2\,]\) から、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm OP}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{\rm OK}+\vec{\rm OL}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{b}+\vec{c})\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,3\,]\)\(\small [\,5\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm MP}&=&\vec{\rm OP}-\vec{\rm OM}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{b}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\vec{a}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\vec{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,6\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,3\,]\)\(\small [\,4\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm MN}&=&\vec{\rm ON}-\vec{\rm OM}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{a}+\vec{c})-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{b}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{a}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,7\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,6\,]\)\(\small [\,7\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm MN}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&2\vec{\rm MP}\hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,6\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、\( \vec{\rm MN}=2\vec{\rm MP} \) より、
3点 \( \rm M~,~\rm P~,~\rm N \) は一直線上にある [終]
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p.67 Training 28\({\small (1)}~\) \( (x-2)^2+(y+1)^2+(z+3)^2=21 \)
解法のPoint｜直径の両端が条件の球面の方程式
\({\small (2)}~\) \( x^2+(y+3)^2+(z-4)^2=9 \)
解法のPoint｜球が平面と交わってできる円の方程式
解法のPoint｜直径の両端が条件の球面の方程式
\({\small (2)}~\) \( x^2+(y+3)^2+(z-4)^2=9 \)
解法のPoint｜球が平面と交わってできる円の方程式
p.67 Training 29\( \vec{a}\,/\,/\,\vec{b} \) とすると、\( \vec{a}=t\vec{b} \) となる実数 \( t \) が存在する
\(\begin{eqnarray}~~~1&=&kt~~~\cdots~{\small [\,1\,]}\\[3pt]~~~k&=&3t~~~\cdots~{\small [\,2\,]}\\[3pt]~~~2&=&4t~~~\cdots~{\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\( {\small [\,3\,]} \) より \( t=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} \)
\( {\small [\,1\,]} \) に代入すると \( k=2 \)
\( {\small [\,2\,]} \) に代入すると \( k=\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,} \)
\( k \) の値が一致しないので、\( \vec{a}=t\vec{b} \) を満たす実数 \( t \) は存在しない
したがって、\( \vec{a} \) と \( \vec{b} \) は平行にならない
\(\begin{eqnarray}~~~1&=&kt~~~\cdots~{\small [\,1\,]}\\[3pt]~~~k&=&3t~~~\cdots~{\small [\,2\,]}\\[3pt]~~~2&=&4t~~~\cdots~{\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\( {\small [\,3\,]} \) より \( t=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,} \)
\( {\small [\,1\,]} \) に代入すると \( k=2 \)
\( {\small [\,2\,]} \) に代入すると \( k=\displaystyle\frac{\,3\,}{\,2\,} \)
\( k \) の値が一致しないので、\( \vec{a}=t\vec{b} \) を満たす実数 \( t \) は存在しない
したがって、\( \vec{a} \) と \( \vec{b} \) は平行にならない
Level Up ベクトル
p.68 Level Up 3\({\small (1)}~\) \( \vec{a}\cdot\vec{b}=-8~,~|\,\vec{a}+\vec{b}\,|=\sqrt{13} \)
\({\small (2)}~\)\( t_1=2 \) のとき、最小値 \( 3 \)
\({\small (3)}~\) \((\vec{a}+t_1\vec{b})\cdot\vec{b}\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\vec{a}+t_1\vec{b})\cdot\vec{b}&=&\vec{a}\cdot\vec{b}+t_1\vec{b}\cdot\vec{b}
\\[3pt]~~~&=&\vec{a}\cdot\vec{b}+t_1|\,\vec{b}\,|^2\end{eqnarray}\)
\( \vec{a}\cdot\vec{b}=-8~,~t_1=2~,~|\,\vec{b}\,|=2 \) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~&=&-8+2\cdot 2^2
\\[3pt]~~~&=&-8+8
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\((\vec{a}+t_1\vec{b})\cdot\vec{b}=0\) より、\(\vec{a}+t_1\vec{b}\) と \(\vec{b}\) は垂直である
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\({\small (2)}~\)\( t_1=2 \) のとき、最小値 \( 3 \)
\({\small (3)}~\) \((\vec{a}+t_1\vec{b})\cdot\vec{b}\) を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(\vec{a}+t_1\vec{b})\cdot\vec{b}&=&\vec{a}\cdot\vec{b}+t_1\vec{b}\cdot\vec{b}
\\[3pt]~~~&=&\vec{a}\cdot\vec{b}+t_1|\,\vec{b}\,|^2\end{eqnarray}\)
\( \vec{a}\cdot\vec{b}=-8~,~t_1=2~,~|\,\vec{b}\,|=2 \) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}\hspace{37pt}~~~&=&-8+2\cdot 2^2
\\[3pt]~~~&=&-8+8
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\((\vec{a}+t_1\vec{b})\cdot\vec{b}=0\) より、\(\vec{a}+t_1\vec{b}\) と \(\vec{b}\) は垂直である
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p.68 Level Up 4\({\small (1)}~\)[証明] \( \angle{\rm AOB}=\theta~~(\,0°\lt \theta\lt 180°\,) \) とおくと、
\( \vec{a} \) と \( \vec{b} \) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{a}\cdot\vec{b}&=&|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\cos\theta
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle\frac{\,\vec{a}\cdot\vec{b}\,}{\,|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\,}~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( \triangle{\rm OAB} \) の面積 \( S \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\sin\theta
\end{eqnarray}\)
ここで、\( \sin\theta>0 \) より、\( \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} \) であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\cdot\sqrt{1-\cos^2\theta}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\cdot\sqrt{1-\frac{\,(\vec{a}\cdot\vec{b})^2\,}{\,|\,\vec{a}\,|^2\,|\,\vec{b}\,|^2\,}}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\,\vec{a}\,|^2\,|\,\vec{b}\,|^2\left\{1-\frac{\,(\vec{a}\cdot\vec{b})^2\,}{\,|\,\vec{a}\,|^2\,|\,\vec{b}\,|^2\,}\right\}}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\,\vec{a}\,|^2\,|\,\vec{b}\,|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\( S=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\,\vec{a}\,|^2\,|\,\vec{b}\,|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} \)
[終]
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\({\small (2)}~17\)
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\( \vec{a} \) と \( \vec{b} \) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{a}\cdot\vec{b}&=&|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\cos\theta
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle\frac{\,\vec{a}\cdot\vec{b}\,}{\,|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\,}~~~\cdots{\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( \triangle{\rm OAB} \) の面積 \( S \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~S=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\sin\theta
\end{eqnarray}\)
ここで、\( \sin\theta>0 \) より、\( \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} \) であるから、
\(\begin{eqnarray}~~~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\cdot\sqrt{1-\cos^2\theta}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}|\,\vec{a}\,|\,|\,\vec{b}\,|\cdot\sqrt{1-\frac{\,(\vec{a}\cdot\vec{b})^2\,}{\,|\,\vec{a}\,|^2\,|\,\vec{b}\,|^2\,}}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\,\vec{a}\,|^2\,|\,\vec{b}\,|^2\left\{1-\frac{\,(\vec{a}\cdot\vec{b})^2\,}{\,|\,\vec{a}\,|^2\,|\,\vec{b}\,|^2\,}\right\}}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\,\vec{a}\,|^2\,|\,\vec{b}\,|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\( S=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\,\vec{a}\,|^2\,|\,\vec{b}\,|^2-(\vec{a}\cdot\vec{b})^2} \)
[終]
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\({\small (2)}~17\)
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p.68 Level Up 5\({\small (1)}~\) \( \vec{\rm AP}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,12\,}\vec{\rm AC} \)
\({\small (2)}~\) \( {\rm BQ}:{\rm QC}=5:4~,~{\rm AP}:{\rm PQ}=3:1 \)
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\({\small (2)}~\) \( {\rm BQ}:{\rm QC}=5:4~,~{\rm AP}:{\rm PQ}=3:1 \)
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p.68 Level Up 6\({\small (1)}~\) \( \vec{\rm AP}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\vec{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{c} \)
\({\small (2)}~\) 点 \({\rm Q}\) は線分 \({\rm BC}\) を \( 3:2 \) に内分する点
点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AQ}\) を \( 5:1 \) に内分する点
\({\small (3)}~\) \( 1:2:3 \)
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\({\small (2)}~\) 点 \({\rm Q}\) は線分 \({\rm BC}\) を \( 3:2 \) に内分する点
点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AQ}\) を \( 5:1 \) に内分する点
\({\small (3)}~\) \( 1:2:3 \)
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p.69 Level Up 7[証明] \(\vec{\rm AB}=\vec{b}~,~\vec{\rm AC}=\vec{c}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm AB} |^2+| \vec{\rm AC} |^2=| \vec{b} |^2+| \vec{c} |^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\( \vec{\rm AM} \) は中点の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AM}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+\vec{c}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm AM} |^2
&=&\left| \displaystyle \frac{\,\vec{b}+\vec{c}\,}{\,2\,} \right|^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,| \vec{b}+\vec{c} |^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,(\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{b}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,( | \vec{b} |^2 + 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{c} |^2 )
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BM}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{c}-\vec{b})
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm BM} |^2
&=&\left| \displaystyle \frac{\,\vec{c}-\vec{b}\,}{\,2\,} \right|^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,| \vec{c}-\vec{b} |^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,(\vec{c}-\vec{b})\cdot(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,( | \vec{c} |^2 – 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{b} |^2 )
\end{eqnarray}\)
以上より、右辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm AB} |^2+| \vec{\rm AC} |^2=2( | \vec{\rm AM} |^2+| \vec{\rm BM} |^2 )
\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)}\) [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm AB} |^2+| \vec{\rm AC} |^2=| \vec{b} |^2+| \vec{c} |^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\( \vec{\rm AM} \) は中点の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AM}&=&\displaystyle \frac{\,\vec{b}+\vec{c}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm AM} |^2
&=&\left| \displaystyle \frac{\,\vec{b}+\vec{c}\,}{\,2\,} \right|^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,| \vec{b}+\vec{c} |^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,(\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{b}+\vec{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,( | \vec{b} |^2 + 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{c} |^2 )
\end{eqnarray}\)
次に、\( \vec{\rm BM}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\vec{\rm BC} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm BM}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\vec{c}-\vec{b})
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm BM} |^2
&=&\left| \displaystyle \frac{\,\vec{c}-\vec{b}\,}{\,2\,} \right|^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,| \vec{c}-\vec{b} |^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,(\vec{c}-\vec{b})\cdot(\vec{c}-\vec{b})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,( | \vec{c} |^2 – 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{b} |^2 )
\end{eqnarray}\)
以上より、右辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2( | \vec{\rm AM} |^2 + | \vec{\rm BM} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,( | \vec{b} |^2 + 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{c} |^2+ | \vec{c} |^2 – 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{b} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,( 2\,| \vec{b} |^2 + 2\,| \vec{c} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&| \vec{b} |^2 + | \vec{c} |^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&2 \cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\,( | \vec{b} |^2 + 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{c} |^2+ | \vec{c} |^2 – 2\,\vec{b}\cdot\vec{c} + | \vec{b} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,( 2\,| \vec{b} |^2 + 2\,| \vec{c} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&| \vec{b} |^2 + | \vec{c} |^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
よって、\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~| \vec{\rm AB} |^2+| \vec{\rm AC} |^2=2( | \vec{\rm AM} |^2+| \vec{\rm BM} |^2 )
\end{eqnarray}\)
したがって、\({\rm AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)}\) [終]
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p.69 Level Up 8\({\small (1)}~\) 直線 \( 2x-y-1=0 \) では \( (2~,~-1) \)
直線 \( 3x+y+2=0 \) では \( (3~,~1) \)
\({\small (2)}~\) \( \theta=45^{\circ} \)
解法のPoint｜法線ベクトルと2直線のなす角
直線 \( 3x+y+2=0 \) では \( (3~,~1) \)
\({\small (2)}~\) \( \theta=45^{\circ} \)
解法のPoint｜法線ベクトルと2直線のなす角
p.69 Level Up 9\({\small (1)}~\)\( \displaystyle \frac{\,3\sqrt{14}\,}{\,2\,} \)
\({\small (2)}~\)\(\vec{\rm AD}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AD}&=&\vec{\rm OD}-\vec{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]4\\[2pt]2\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}-1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}-2+1\\[2pt]4-1\\[2pt]2-0\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}-1\\[2pt]3\\[2pt]2\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
ここで、\(\vec{\rm AD}\) と \(\vec{\rm AB}\) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AD}\cdot\vec{\rm AB}&=&(-1)\cdot2+3\cdot0+2\cdot1
\\[3pt]~~~&=&-2+0+2
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(\vec{\rm AD}\neq\vec{0}~,~\vec{\rm AB}\neq\vec{0}\) より、\( {\rm AD}\perp{\rm AB} \)
また、\(\vec{\rm AD}\) と \(\vec{\rm AC}\) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AD}\cdot\vec{\rm AC}&=&(-1)\cdot1+3\cdot3+2\cdot(-4)
\\[3pt]~~~&=&-1+9-8
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(\vec{\rm AD}\neq\vec{0}~,~\vec{\rm AC}\neq\vec{0}\) より、\( {\rm AD}\perp{\rm AC} \)
\({\rm AD}\perp{\rm AB}~,~{\rm AD}\perp{\rm AC}\) より、直線 \( \rm AD \) は平面 \( \rm ABC \) に垂直である
\({\small (3)}~\)\( 7 \)
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\({\small (2)}~\)\(\vec{\rm AD}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AD}&=&\vec{\rm OD}-\vec{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]4\\[2pt]2\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}-1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}-2+1\\[2pt]4-1\\[2pt]2-0\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}-1\\[2pt]3\\[2pt]2\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
ここで、\(\vec{\rm AD}\) と \(\vec{\rm AB}\) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AD}\cdot\vec{\rm AB}&=&(-1)\cdot2+3\cdot0+2\cdot1
\\[3pt]~~~&=&-2+0+2
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(\vec{\rm AD}\neq\vec{0}~,~\vec{\rm AB}\neq\vec{0}\) より、\( {\rm AD}\perp{\rm AB} \)
また、\(\vec{\rm AD}\) と \(\vec{\rm AC}\) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\vec{\rm AD}\cdot\vec{\rm AC}&=&(-1)\cdot1+3\cdot3+2\cdot(-4)
\\[3pt]~~~&=&-1+9-8
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(\vec{\rm AD}\neq\vec{0}~,~\vec{\rm AC}\neq\vec{0}\) より、\( {\rm AD}\perp{\rm AC} \)
\({\rm AD}\perp{\rm AB}~,~{\rm AD}\perp{\rm AC}\) より、直線 \( \rm AD \) は平面 \( \rm ABC \) に垂直である
\({\small (3)}~\)\( 7 \)
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p.69 Level Up 10\({\small (1)}~\) \( {\rm B}(1~,~-4~,~3) \)
\({\small (2)}~\) \( {\rm C}(-1~,~4~,~-3) \)
\({\small (3)}~\) \( {\rm D}(-1~,~4~,~3) \)
解法のPoint｜平面・軸・原点に対称な点の座標
\({\small (4)}~\) \( {\rm E}(1~,~8~,~-3) \)
解法のPoint｜座標空間の点を通る平面の方程式
\({\small (2)}~\) \( {\rm C}(-1~,~4~,~-3) \)
\({\small (3)}~\) \( {\rm D}(-1~,~4~,~3) \)
解法のPoint｜平面・軸・原点に対称な点の座標
\({\small (4)}~\) \( {\rm E}(1~,~8~,~-3) \)
解法のPoint｜座標空間の点を通る平面の方程式
p.69 Level Up 11\({\small (1)}~\) \( (x+2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=25 \)
解法のPoint｜座標平面に接する球面の方程式
\({\small (2)}~\) 中心 \( (-2~,~-1~,~1) \)、半径 \( 3 \)
解法のPoint｜球が平面と交わってできる円の方程式
解法のPoint｜座標平面に接する球面の方程式
\({\small (2)}~\) 中心 \( (-2~,~-1~,~1) \)、半径 \( 3 \)
解法のPoint｜球が平面と交わってできる円の方程式
