このページは、数研出版：新編数学Ⅱ[711]
第３章 図形と方程式
第３章 図形と方程式
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新編数学Ⅱ 第１章 式と証明
新編数学Ⅱ 第２章 複素数と方程式
新編数学Ⅱ 第３章 図形と方程式
新編数学Ⅱ 第４章 三角関数
新編数学Ⅱ 第５章 指数関数と対数関数
新編数学Ⅱ 第６章 微分法と積分法
第３章 図形と方程式
第１節 点と直線
p.69 深める点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm BA}\) を \(1:3\) に内分する
点 \({\rm B}\) は線分 \({\rm AQ}\) を \(2:1\) に内分する
点 \({\rm B}\) は線分 \({\rm AQ}\) を \(2:1\) に内分する
p.70 練習3\({\small (1)}~{\rm C}\left(\displaystyle \frac{\,32\,}{\,5\,}\right)\) \({\small (2)}~{\rm D}(10)\)
\({\small (3)}~{\rm E}(-4)\) \({\small (4)}~{\rm M}(6)\)
解法のPoint｜直線上の内分点・外分点・中点・線分の長さ
\({\small (3)}~{\rm E}(-4)\) \({\small (4)}~{\rm M}(6)\)
解法のPoint｜直線上の内分点・外分点・中点・線分の長さ
p.71 練習4\({\small (1)}~\)第１象限 \({\small (2)}~\)第４象限
\({\small (3)}~\)第２象限 \({\small (4)}~\)第３象限
\({\small (3)}~\)第２象限 \({\small (4)}~\)第３象限
p.71 練習5\({\small (1)}~{\rm Q}(-2~,~-3)\) \({\small (2)}~{\rm R}(2~,~3)\)
\({\small (3)}~{\rm S}(2~,~-3)\)
\({\small (3)}~{\rm S}(2~,~-3)\)
p.72 練習6\({\small (1)}~5\) \({\small (2)}~5\sqrt{2}\)
\({\small (3)}~2\) \({\small (4)}~\sqrt{13}\)
解法のPoint｜平面上の2点間の距離
\({\small (3)}~2\) \({\small (4)}~\sqrt{13}\)
解法のPoint｜平面上の2点間の距離
p.73 練習7\({\small (1)}~{\rm C}\left(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}~,~4\right)\) \({\small (2)}~{\rm D}(11~,~8)\)
\({\small (3)}~{\rm E}(-17~,~-4)\) \({\small (4)}~{\rm M}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\right)\)
解法のPoint｜平面上の内分点・外分点・中点
\({\small (3)}~{\rm E}(-17~,~-4)\) \({\small (4)}~{\rm M}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,2\,}\right)\)
解法のPoint｜平面上の内分点・外分点・中点
p.74 練習8\({\small (1)}~\left(\displaystyle \frac{\,10\,}{\,3\,}~,~2\right)\) \({\small (2)}~\left(0~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)\)
解法のPoint｜平面上の三角形の重心の座標
解法のPoint｜平面上の三角形の重心の座標
p.75 研究 練習1[証明] この \(\triangle{\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) を \(x\) 軸にとり、点 \({\rm D}\) を原点にとる
点 \({\rm D}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(1:2\) に内分するので、\({\rm BD}:{\rm DC}=1:2\) となる
点 \({\rm C}\) の座標を \({\rm C}(2c~,~0)\) とおくと、\({\rm DC}=2c\) となるので、\({\rm BD}=c\) より点 \({\rm B}\) の座標は \({\rm B}(-c~,~0)\) となる
また、点 \({\rm A}\) の座標を \({\rm A}(a~,~b)\) とおく
ここで、2点間の距離より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2&=&\left\{a-(-c)\right\}^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&(a+c)^2+b^2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&(a-2c)^2+b^2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AD}^2&=&a^2+b^2~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}^2&=&c^2~~~\cdots{\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)&=&3(a^2+b^2+2c^2)\end{eqnarray}\)
\(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2=3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
点 \({\rm D}\) は辺 \({\rm BC}\) を \(1:2\) に内分するので、\({\rm BD}:{\rm DC}=1:2\) となる
点 \({\rm C}\) の座標を \({\rm C}(2c~,~0)\) とおくと、\({\rm DC}=2c\) となるので、\({\rm BD}=c\) より点 \({\rm B}\) の座標は \({\rm B}(-c~,~0)\) となる
また、点 \({\rm A}\) の座標を \({\rm A}(a~,~b)\) とおく
ここで、2点間の距離より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2&=&\left\{a-(-c)\right\}^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&(a+c)^2+b^2~~~\cdots{\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AC}^2&=&(a-2c)^2+b^2~~~\cdots{\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AD}^2&=&a^2+b^2~~~\cdots{\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BD}^2&=&c^2~~~\cdots{\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2
\\[3pt]~~~&=&2\left\{(a+c)^2+b^2\right\}+(a-2c)^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2(a^2+2ac+c^2+b^2)+a^2-4ac+4c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+4ac+2c^2+2b^2+a^2-4ac+4c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&3a^2+3b^2+6c^2
\\[3pt]~~~&=&3(a^2+b^2+2c^2)\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2\left\{(a+c)^2+b^2\right\}+(a-2c)^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2(a^2+2ac+c^2+b^2)+a^2-4ac+4c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&2a^2+4ac+2c^2+2b^2+a^2-4ac+4c^2+b^2
\\[3pt]~~~&=&3a^2+3b^2+6c^2
\\[3pt]~~~&=&3(a^2+b^2+2c^2)\end{eqnarray}\)
また、\({\small [\,3\,]}~,~{\small [\,4\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)&=&3(a^2+b^2+2c^2)\end{eqnarray}\)
したがって、
\(2{\rm AB}^2+{\rm AC}^2=3({\rm AD}^2+2{\rm BD}^2)\) [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.78 練習11\({\small (1)}~y=2x-4\) \({\small (2)}~y=-2x+2\)
\({\small (3)}~y=-1\) \({\small (4)}~x=3\)
解法のPoint｜2点の座標が条件の直線の方程式
\({\small (3)}~y=-1\) \({\small (4)}~x=3\)
解法のPoint｜2点の座標が条件の直線の方程式
p.78 練習12[証明] ２点 \((3~,~0)~,~(0~,~2)\) を通る直線であるので、
\(y-0=\displaystyle \frac{\,2-0\,}{\,0-3\,}(x-3)\)
これより、
\(y=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x+2\)
移項すると、
\(\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,3\,}+y=2\)
両辺を \(2\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,y\,}{\,2\,}=1\) [終]
解法のPoint｜x切片とy切片が条件の直線の方程式
\(y-0=\displaystyle \frac{\,2-0\,}{\,0-3\,}(x-3)\)
これより、
\(y=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}x+2\)
移項すると、
\(\displaystyle \frac{\,2x\,}{\,3\,}+y=2\)
両辺を \(2\) で割ると、
\(\displaystyle \frac{\,x\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,y\,}{\,2\,}=1\) [終]
解法のPoint｜x切片とy切片が条件の直線の方程式
p.80 練習14\({\small (1)}~\)平行 \({\small (2)}~\)垂直
\({\small (3)}~\)平行 \({\small (4)}~\)垂直
解法のPoint｜2直線の平行と垂直の判別方法
\({\small (3)}~\)平行 \({\small (4)}~\)垂直
解法のPoint｜2直線の平行と垂直の判別方法
p.83 練習17\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,5\,}\) \({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,9\sqrt{13}\,}{\,13\,}\) \({\small (3)}~\sqrt{10}\)
解法のPoint｜点と直線との距離の公式
解法のPoint｜点と直線との距離の公式
補充問題
p.85 補充問題 2\({\small (1)}~\)
\({\rm OA}=2\sqrt{10}~,~{\rm OB}=2\sqrt{5}\)
\({\rm AB}=2\sqrt{5}\)
\({\small (2)}~\)[証明] (1)より、
\({\rm OA}^2={\rm OB}^2+{\rm AB}^2\)
三平方の定理の逆より、
\(\angle{\rm ABO}=90^\circ\)
また、\({\rm OB=AB}\) となる
したがって、
\(\triangle {\rm OAB}\) は \(\angle{\rm ABO}=90^\circ\) で \({\rm OB=AB}\) の直角二等辺三角形である [終]
解法のPoint｜平面上の3点の座標と三角形の形状
\({\rm OA}=2\sqrt{10}~,~{\rm OB}=2\sqrt{5}\)
\({\rm AB}=2\sqrt{5}\)
\({\small (2)}~\)[証明] (1)より、
\({\rm OA}^2={\rm OB}^2+{\rm AB}^2\)
三平方の定理の逆より、
\(\angle{\rm ABO}=90^\circ\)
また、\({\rm OB=AB}\) となる
したがって、
\(\triangle {\rm OAB}\) は \(\angle{\rm ABO}=90^\circ\) で \({\rm OB=AB}\) の直角二等辺三角形である [終]
解法のPoint｜平面上の3点の座標と三角形の形状
p.85 補充問題 4\({\small (1)}~\) \(x+2y-4=0\)
解法のPoint｜x切片とy切片が条件の直線の方程式
\({\small (2)}~\) \(2x-y-3=0\)
解法のPoint｜垂直二等分線の方程式
解法のPoint｜x切片とy切片が条件の直線の方程式
\({\small (2)}~\) \(2x-y-3=0\)
解法のPoint｜垂直二等分線の方程式
第２節 円
p.86 練習18\({\small (1)}~(x-2)^2+(y-3)^2=16\)
\({\small (2)}~x^2+y^2=4\)
\({\small (3)}~(x+2)^2+(y-1)^2=10\)
解法のPoint｜円の方程式の中心の座標と半径
\({\small (2)}~x^2+y^2=4\)
\({\small (3)}~(x+2)^2+(y-1)^2=10\)
解法のPoint｜円の方程式の中心の座標と半径
p.87 練習21\({\small (1)}~\)中心 \((-2~,~1)\)、半径 \(3\) の円
\({\small (2)}~\)中心 \((-3~,~-4)\)、半径 \(4\) の円
解法のPoint｜x²+y²+lx+my+n=0の表す図形
解法のPoint｜方程式が円を表す条件
\({\small (2)}~\)中心 \((-3~,~-4)\)、半径 \(4\) の円
解法のPoint｜x²+y²+lx+my+n=0の表す図形
解法のPoint｜方程式が円を表す条件
p.91 練習24\({\small (1)}~-5{\small ~≦~}m{\small ~≦~}5\)
\({\small (2)}~m=\pm5\)
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式
\({\small (2)}~m=\pm5\)
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式
p.92 練習26\({\small (1)}~3x+y=10\)
\({\small (2)}~2x-3y=13\)
\({\small (3)}~x=4\)
解法のPoint｜円上の点における接線の方程式
\({\small (2)}~2x-3y=13\)
\({\small (3)}~x=4\)
解法のPoint｜円上の点における接線の方程式
p.93 練習27\(~~~y=1~,~(0~,~1)\)
\(~~~4x-3y-5=0~,~\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}~,~-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
\(~~~4x-3y-5=0~,~\left(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}~,~-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)\)
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.93 深めるこの直線は、
\(mx-y-m+3=0\)
これと、円の中心 \((0~,~0)\) との距離が半径 \(\sqrt{5}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,|-m+3|\,}{\,\sqrt{m^2+1}\,}&=&\sqrt{5}\\[3pt]~~~|-m+3|^2&=&5(m^2+1)\\[2pt]~~~2(2m-1)(m+2)&=&0\\[3pt]~~~m&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~-2\end{eqnarray}\)
よって、直線の式は、
\(2x+y=5~,~-x+2y=5\)
\(x^2+y^2=5\) と連立すると、それぞれの接点は、
\((2~,~1)~,~(-1~,~2)\)
\(mx-y-m+3=0\)
これと、円の中心 \((0~,~0)\) との距離が半径 \(\sqrt{5}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,|-m+3|\,}{\,\sqrt{m^2+1}\,}&=&\sqrt{5}\\[3pt]~~~|-m+3|^2&=&5(m^2+1)\\[2pt]~~~2(2m-1)(m+2)&=&0\\[3pt]~~~m&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~-2\end{eqnarray}\)
よって、直線の式は、
\(2x+y=5~,~-x+2y=5\)
\(x^2+y^2=5\) と連立すると、それぞれの接点は、
\((2~,~1)~,~(-1~,~2)\)
補充問題
p.97 補充問題 6\({\small (1)}~\) \(2\) 個 \({\small (2)}~\) \(0\) 個 \({\small (3)}~\) \(1\) 個
解法のPoint｜円と直線との共有点の個数
解法のPoint｜円と直線との共有点の個数
p.97 補充問題 7\({\small (1)}~\) \(c \lt -5\sqrt{\,2\,}\)、\(5\sqrt{\,2\,} \lt c\)
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と点と直線との距離
\({\small (2)}~\)
\(m=-10\) のとき \((3~,~-1)\)
\(m=10\) のとき \((-3~,~1)\)
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と点と直線との距離
\({\small (2)}~\)
\(m=-10\) のとき \((3~,~-1)\)
\(m=10\) のとき \((-3~,~1)\)
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式
第３節 軌跡と領域
p.98 練習30点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}&=&{\rm BP}\\[3pt]~~~\Leftrightarrow~~~{\rm AP}^2&=&{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x+6)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=x^2+(y-4)^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(3x+2y+5=0\) である
■ この問題の詳しい解説はこちら！
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}&=&{\rm BP}\\[3pt]~~~\Leftrightarrow~~~{\rm AP}^2&=&{\rm BP}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm AP}^2=(x+6)^2+y^2\)
\({\rm BP}^2=x^2+(y-4)^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(x+6)^2+y^2&=&x^2+(y-4)^2\\[3pt]~~~x^2+12x+36+y^2&=&x^2+y^2-8y+16\\[3pt]~~~12x+36&=&-8y+16\\[3pt]~~~12x+8y+20&=&0\\[3pt]~~~3x+2y+5&=&0~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、直線 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(3x+2y+5=0\) である
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p.99 練習31点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PA}:{\rm PB}&=&3:2\\[3pt]~~~\Leftrightarrow\,~~~~2{\rm PA}&=&3{\rm PB}\\[3pt]~\Leftrightarrow~~~4{\rm PA}^2&=&9{\rm PB}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm PA}^2=(x+3)^2+y^2\)
\({\rm PB}^2=(x-2)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((6~,~0)\) 、半径 \(6\) の円である
■ この問題の詳しい解説はこちら！
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm PA}:{\rm PB}&=&3:2\\[3pt]~~~\Leftrightarrow\,~~~~2{\rm PA}&=&3{\rm PB}\\[3pt]~\Leftrightarrow~~~4{\rm PA}^2&=&9{\rm PB}^2~~~\cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、2点間の距離より、
\({\rm PA}^2=(x+3)^2+y^2\)
\({\rm PB}^2=(x-2)^2+y^2\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4\left\{(x+3)^2+y^2\right\}&=&9\left\{(x-2)^2+y^2\right\}\\[3pt]~~~4(x^2+6x+9+y^2)&=&9(x^2-4x+4+y^2)\\[3pt]~~~4x^2+24x+36+4y^2&=&9x^2-36x+36+9y^2\\[3pt]~~~4x^2+24x+36+4y^2-9x^2+36x-36-9y^2&=&0\\[3pt]~~~-5x^2+60x-5y^2&=&0\\[3pt]~~~x^2-12x+y^2&=&0\\[3pt]~~~(x-6)^2+y^2&=&6^2~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((6~,~0)\) 、半径 \(6\) の円である
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.100 練習32点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(s~,~t)\) とおく。
点 \({\rm Q}\) は円 \(x^2+y^2=16\) 上にあるので、
\(s^2+t^2=16~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AQ}\) の中点より、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,0+s\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2x&=&s
\\[3pt]~~~s&=&2x\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,8+t\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2y&=&8+t
\\[3pt]~~~8+t&=&2y
\\[3pt]~~~t&=&2y-8\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2x)^2+(2y-8)^2&=&16
\\[3pt]~~~4x^2+\{2(y-4)\}^2&=&16
\\[3pt]~~~4x^2+4(y-4)^2&=&16
\\[3pt]~~~x^2+(y-4)^2&=&4~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((0~,~4)\) 、半径 \(2\) の円である
■ この問題の詳しい解説はこちら！
点 \({\rm Q}\) は円 \(x^2+y^2=16\) 上にあるので、
\(s^2+t^2=16~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
点 \({\rm P}\) の満たす条件は、線分 \({\rm AQ}\) の中点より、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&\displaystyle \frac{\,0+s\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2x&=&s
\\[3pt]~~~s&=&2x\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&\displaystyle \frac{\,8+t\,}{\,2\,}
\\[3pt]~~~2y&=&8+t
\\[3pt]~~~8+t&=&2y
\\[3pt]~~~t&=&2y-8\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(s~,~t\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(2x)^2+(2y-8)^2&=&16
\\[3pt]~~~4x^2+\{2(y-4)\}^2&=&16
\\[3pt]~~~4x^2+4(y-4)^2&=&16
\\[3pt]~~~x^2+(y-4)^2&=&4~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
※ \((2y-8)^2\) は展開せずに、\(\{2(y-4)\}^2=4(y-4)^2\) とした方が先の計算が楽になる。
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は円 \({\small [\,2\,]}\) 上にある
逆に、円 \({\small [\,2\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、中心 \((0~,~4)\) 、半径 \(2\) の円である
■ この問題の詳しい解説はこちら！
p.102 練習33\({\small (1)}~\)境界線を含まない
解法のPoint｜直線が境界線の不等式の領域
\({\small (2)}~\)境界線を含む
\({\small (3)}~\)境界線を含む
解法のPoint｜直線が境界線の不等式の領域
p.105 練習37\({\small (1)}~\)境界線を含まない
解法のPoint｜連立不等式の表す領域
\({\small (2)}~\)境界線を含む
\({\small (3)}~\)境界線を含まない
\({\small (4)}~\)境界線を含む
解法のPoint｜連立不等式の表す領域
p.106 深める \(x=4~,~y=0\) で最大値 \(12\)
補充問題
p.107 補充問題11[証明] 不等式 \(x^2+y^2 {\small ~≦~} 1\) は、
中心 \((0~,~0)\)、半径 \(1\) の円の内部および周上で、この領域を \({\rm P}\) とする
不等式 \(x+y {\small ~≦~} \sqrt{\,2\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~x+y&{\small ~≦~}&\sqrt{\,2\,}
\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&-x+\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
直線 \(y=-x+\sqrt{\,2\,}\) の下側および直線上の領域で、この領域を \({\rm Q}\) とする
また、直線 \(x+y-\sqrt{\,2\,}=0\) と原点 \((0~,~0)\) との距離 \(d\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~d&=&\displaystyle \frac{\,|\,0+0-\sqrt{\,2\,}\,|\,}{\,\sqrt{\,1^2+1^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}=1\end{eqnarray}\)
図より、\({\rm P} \subset {\rm Q}\)（ \({\rm P}\) が \({\rm Q}\) の部分集合 ）であるから、
\(x^2+y^2 {\small ~≦~} 1\) ならば \(x+y {\small ~≦~} \sqrt{\,2\,}\) である [終]
■ この問題の詳しい解説はこちら！
中心 \((0~,~0)\)、半径 \(1\) の円の内部および周上で、この領域を \({\rm P}\) とする
不等式 \(x+y {\small ~≦~} \sqrt{\,2\,}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~x+y&{\small ~≦~}&\sqrt{\,2\,}
\\[3pt]~~~y&{\small ~≦~}&-x+\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
直線 \(y=-x+\sqrt{\,2\,}\) の下側および直線上の領域で、この領域を \({\rm Q}\) とする
また、直線 \(x+y-\sqrt{\,2\,}=0\) と原点 \((0~,~0)\) との距離 \(d\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~d&=&\displaystyle \frac{\,|\,0+0-\sqrt{\,2\,}\,|\,}{\,\sqrt{\,1^2+1^2\,}\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,2\,}\,}{\,\sqrt{\,2\,}\,}=1\end{eqnarray}\)
図より、\({\rm P} \subset {\rm Q}\)（ \({\rm P}\) が \({\rm Q}\) の部分集合 ）であるから、
\(x^2+y^2 {\small ~≦~} 1\) ならば \(x+y {\small ~≦~} \sqrt{\,2\,}\) である [終]
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章末問題 図形と方程式
p.108 章末問題A 2\({\small (1)}~\) \(2x+3y-8=0\)
\({\small (2)}~\) \(3x-2y+1=0\)
解法のPoint｜直線に平行・垂直な直線の方程式
\({\small (2)}~\) \(3x-2y+1=0\)
解法のPoint｜直線に平行・垂直な直線の方程式
p.108 章末問題A 3\({\small (1)}~\) \((2~,~3)\) \({\small (2)}~\) \(\displaystyle \frac{\,3\sqrt{\,5\,}\,}{\,5\,}\) \({\small (3)}~\) \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
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p.108 章末問題A 4\(-5 \lt a \lt 5\)、線分の長さ \(4\sqrt{\,6\,}\)
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式
解法のPoint｜直線が円によって切り取られる線分
解法のPoint｜円と直線との共有点の条件と判別式
解法のPoint｜直線が円によって切り取られる線分
p.108 章末問題A 6\({\small (1)}~\) \((4-a~,~2-b)\)
\({\small (2)}~\)点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(a~,~b)\) とおく。
点 \({\rm Q}\) は直線 \(2x+y+1=0\) 上にあるので、
\(2a+b+1=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
(1)より、点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&4-a
\\[3pt]~~~a&=&4-x~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2-b
\\[3pt]~~~b&=&2-y~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(a~,~b\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2(4-x)+(2-y)+1&=&0
\\[3pt]~~~8-2x+2-y+1&=&0
\\[3pt]~~~-2x-y+11&=&0
\\[3pt]~~~2x+y-11&=&0\end{eqnarray}\)
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \(2x+y-11=0\) 上にある
逆に、直線 \(2x+y-11=0\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(2x+y-11=0\) である
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\({\small (2)}~\)点 \({\rm P}\) の座標を \({\rm P}(x~,~y)\) と、動く点 \({\rm Q}\) の座標を \({\rm Q}(a~,~b)\) とおく。
点 \({\rm Q}\) は直線 \(2x+y+1=0\) 上にあるので、
\(2a+b+1=0~~~\cdots {\small [\,1\,]}\)
(1)より、点 \({\rm P}\) の満たす条件は、
\(x\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~x&=&4-a
\\[3pt]~~~a&=&4-x~~~\cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(y\) 座標は、
\(\begin{eqnarray}~~~y&=&2-b
\\[3pt]~~~b&=&2-y~~~\cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
これらを \({\small [\,1\,]}\) に代入して、\(a~,~b\) を消去すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2(4-x)+(2-y)+1&=&0
\\[3pt]~~~8-2x+2-y+1&=&0
\\[3pt]~~~-2x-y+11&=&0
\\[3pt]~~~2x+y-11&=&0\end{eqnarray}\)
よって、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \(2x+y-11=0\) 上にある
逆に、直線 \(2x+y-11=0\) 上の任意の点 \({\rm P}(x~,~y)\) は条件を満たす
したがって、求める軌跡は、直線 \(2x+y-11=0\) である
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p.108 章末問題A 7\({\small (1)}~\) \(\begin{eqnarray}\left\{~\begin{array}{l}y {\small ~≦~} \displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}x+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\\[6pt]y {\small ~≦~} -x+6\\[6pt]y {\small ~≧~} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}x-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\) \(\begin{eqnarray}\left\{~\begin{array}{l}x^2+y^2 {\small ~≦~} 4\\y {\small ~≧~} -x+1\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜連立不等式の領域の図の読み取り
\({\small (2)}~\) \(\begin{eqnarray}\left\{~\begin{array}{l}x^2+y^2 {\small ~≦~} 4\\y {\small ~≧~} -x+1\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
解法のPoint｜連立不等式の領域の図の読み取り
p.109 章末問題B 9\({\small (1)}~\) \(a=-2\) \({\small (2)}~\) \((2~,~1)\)
\({\small (3)}~\) \(-2\) \({\small (4)}~\) \(y=-2x+10\)
解法のPoint｜(x-a)²+(y-b)²=r²上の点における接線の方程式
\({\small (3)}~\) \(-2\) \({\small (4)}~\) \(y=-2x+10\)
解法のPoint｜(x-a)²+(y-b)²=r²上の点における接線の方程式
p.109 章末問題B 10\({\small (1)}~\)[証明]
①と②の交点 \((x~,~y)\) は
\(x^2+y^2-25=0\)
かつ
\(x-y+1=0\)
を満たす
よって、方程式
\(k(x-y+1)+(x^2+y^2-25)=0\)
も満たす
したがって、方程式
\(k(x-y+1)+(x^2+y^2-25)=0\)
の表す図形は、①と②の交点を通る [終]
\({\small (2)}~\) \(x^2+y^2+25x-25y=0\)
解法のPoint｜円と直線との2つの共有点を通る円の方程式
①と②の交点 \((x~,~y)\) は
\(x^2+y^2-25=0\)
かつ
\(x-y+1=0\)
を満たす
よって、方程式
\(k(x-y+1)+(x^2+y^2-25)=0\)
も満たす
したがって、方程式
\(k(x-y+1)+(x^2+y^2-25)=0\)
の表す図形は、①と②の交点を通る [終]
\({\small (2)}~\) \(x^2+y^2+25x-25y=0\)
解法のPoint｜円と直線との2つの共有点を通る円の方程式
p.109 章末問題B 11\({\small (1)}~\) \(x=a\)、\(y=a+3\)
\({\small (2)}~\)この放物線の頂点を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
\({\small (1)}\) より、頂点は \((a~,~a+3)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x=a\hspace{22pt}~~~\cdots{\small [\,1\,]} \\
y=a+3~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(a=x\) として \({\small [\,2\,]}\) に代入し、 \(a\) を消去すると、
\(y=x+3~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
以上、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,3\,]}\) 上にある。
逆に、直線 \({\small [\,3\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}\) は条件を満たす。
したがって、求める軌跡は直線 \(y=x+3\) である。
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\({\small (2)}~\)この放物線の頂点を \({\rm P}(x~,~y)\) とおく
\({\small (1)}\) より、頂点は \((a~,~a+3)\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
x=a\hspace{22pt}~~~\cdots{\small [\,1\,]} \\
y=a+3~~~\cdots{\small [\,2\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(a=x\) として \({\small [\,2\,]}\) に代入し、 \(a\) を消去すると、
\(y=x+3~~~\cdots{\small [\,3\,]}\)
以上、条件を満たす点 \({\rm P}\) は直線 \({\small [\,3\,]}\) 上にある。
逆に、直線 \({\small [\,3\,]}\) 上の任意の点 \({\rm P}\) は条件を満たす。
したがって、求める軌跡は直線 \(y=x+3\) である。
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