このページは、東京書籍：Advanced数学Ⅱ[701]
３章 三角関数
３章 三角関数
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Advanced数学Ⅱ １章 方程式・式と証明
Advanced数学Ⅱ ２章 図形と方程式
Advanced数学Ⅱ ３章 三角関数
Advanced数学Ⅱ ４章 指数関数・対数関数
Advanced数学Ⅱ ５章 微分と積分
３章 三角関数
１節 三角関数
p.115 問1\({\small (1)}~\)
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
解法のPoint｜動径の表す角と動径の図示
\({\small (2)}~\)
\({\small (3)}~\)
\({\small (4)}~\)
解法のPoint｜動径の表す角と動径の図示
p.115 問2以下 \(n\) は整数
\({\small (1)}~140^\circ+360^\circ\times n\)
\({\small (2)}~280^\circ+360^\circ\times n\)
\({\small (3)}~70^\circ+360^\circ\times n\)
\({\small (4)}~250^\circ+360^\circ\times n\)
解法のPoint｜動径の表す角と動径の図示
\({\small (1)}~140^\circ+360^\circ\times n\)
\({\small (2)}~280^\circ+360^\circ\times n\)
\({\small (3)}~70^\circ+360^\circ\times n\)
\({\small (4)}~250^\circ+360^\circ\times n\)
解法のPoint｜動径の表す角と動径の図示
p.116 問3\(~~~-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,180\,}\pi\)
解法のPoint｜弧度法と度数法
解法のPoint｜弧度法と度数法
p.116 問5\(~~~l=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\pi~,~S=\displaystyle \frac{\,27\,}{\,2\,}\pi\)
解法のPoint｜弧度法を用いた扇形の弧の長さと面積
解法のPoint｜弧度法を用いた扇形の弧の長さと面積
p.117 問6\({\small (1)}~\sin{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~~~\cos{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~~~\tan{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi}=1\)
\({\small (2)}~\sin{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\cos{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\tan{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
\({\small (3)}~\sin{(-3\pi)}=0\)
\(~~~~~\cos{(-3\pi)}=-1\)
\(~~~~~\tan{(-3\pi)}=0\)
解法のPoint｜弧度法の角と三角関数の値
\(~~~~~\cos{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~~~\tan{\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi}=1\)
\({\small (2)}~\sin{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\cos{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\tan{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
\({\small (3)}~\sin{(-3\pi)}=0\)
\(~~~~~\cos{(-3\pi)}=-1\)
\(~~~~~\tan{(-3\pi)}=0\)
解法のPoint｜弧度法の角と三角関数の値
p.118 問7\({\small (1)}~\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\tan{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
\({\small (2)}~\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\tan{\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)}=\sqrt{3}\)
\({\small (3)}~\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~~~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~~~\tan{\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)}=-1\)
解法のPoint｜弧度法の角と三角関数の値
\(~~~~~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\tan{\left(-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
\({\small (2)}~\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~~~~~\tan{\left(-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\right)}=\sqrt{3}\)
\({\small (3)}~\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~~~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~~~\tan{\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\right)}=-1\)
解法のPoint｜弧度法の角と三角関数の値
p.120 問9[証明]
\(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\) の両辺を \(\cos^2{\theta}\) で割ると、
\(~~~\displaystyle \frac{\,\sin^2{\theta}\,}{\,\cos^2{\theta}\,}+1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2{\theta}\,}\)
\(\displaystyle \frac{\,\sin{\theta}\,}{\,\cos{\theta}\,}=\tan{\theta}\) より、
\(~~~1+\tan^2{\theta}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2{\theta}\,}\)
[終]
解法のPoint｜sinθ(cosθ)の値から残りの三角関数の値
\(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\) の両辺を \(\cos^2{\theta}\) で割ると、
\(~~~\displaystyle \frac{\,\sin^2{\theta}\,}{\,\cos^2{\theta}\,}+1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2{\theta}\,}\)
\(\displaystyle \frac{\,\sin{\theta}\,}{\,\cos{\theta}\,}=\tan{\theta}\) より、
\(~~~1+\tan^2{\theta}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2{\theta}\,}\)
[終]
解法のPoint｜sinθ(cosθ)の値から残りの三角関数の値
p.121 問10\(~~~\cos{\theta}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{2}\,}{\,3\,}~,~\tan{\theta}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜sinθ(cosθ)の値から残りの三角関数の値
解法のPoint｜sinθ(cosθ)の値から残りの三角関数の値
p.121 問11\(~~~\cos{\theta}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,5\,}~,~\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,5\,}\)
解法のPoint｜tanθの値から残りの三角関数の値
解法のPoint｜tanθの値から残りの三角関数の値
p.121 問12\(~~~\sin{\theta}\cos{\theta}=\displaystyle \frac{\,12\,}{\,25\,}\)
\(~~~\sin^3{\theta}-\cos^3{\theta}=\displaystyle \frac{\,37\,}{\,125\,}\)
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\(~~~\sin^3{\theta}-\cos^3{\theta}=\displaystyle \frac{\,37\,}{\,125\,}\)
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p.121 問13\({\small (1)}~\)[証明] 左辺を変形すると、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2\theta\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}-1\right)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2\theta\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1-\cos^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2\theta\,}\cdot\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2\theta\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}-1\right)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] 相互関係の公式 \(\tan\theta=\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\) と、その逆数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}=\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}\) を用いて、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\tan\theta+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}+\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}\end{eqnarray}\)
通分すると、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta+\cos^2\theta\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\hspace{20pt}(\,∵~\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\,)\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\tan\theta+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\) [終]
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（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2\theta\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}-1\right)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2\theta\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1-\cos^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2\theta\,}\cdot\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin^2\theta\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}-1\right)=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\cos^2\theta\,}\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] 相互関係の公式 \(\tan\theta=\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}\) と、その逆数 \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}=\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}\) を用いて、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\tan\theta+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}+\displaystyle \frac{\,\cos\theta\,}{\,\sin\theta\,}\end{eqnarray}\)
通分すると、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin^2\theta+\cos^2\theta\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\hspace{20pt}(\,∵~\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\,)\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\tan\theta+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan\theta\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sin\theta\cos\theta\,}\) [終]
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p.122 問14\(~~~\sin{\displaystyle \frac{\,27\,}{\,4\,}\pi}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~\cos{\displaystyle \frac{\,27\,}{\,4\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~\tan{\displaystyle \frac{\,27\,}{\,4\,}\pi}=-1\)
解法のPoint｜θ+2nπや-θの三角関数
\(~~~\cos{\displaystyle \frac{\,27\,}{\,4\,}\pi}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{2}\,}\)
\(~~~\tan{\displaystyle \frac{\,27\,}{\,4\,}\pi}=-1\)
解法のPoint｜θ+2nπや-θの三角関数
p.122 問15\(~~~\sin{\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\right)}=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\(~~~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\right)}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~\tan{\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\right)}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
解法のPoint｜θ+2nπや-θの三角関数
\(~~~\cos{\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\right)}=-\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\)
\(~~~\tan{\left(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\right)}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{3}\,}\)
解法のPoint｜θ+2nπや-θの三角関数
p.123 問17公式５
[証明]
\(~~~~~\sin{\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)}\)
\(=\sin{\left\{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+(-\theta)\right\}}\)
\(=\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\)
\(~~~~~\cos{\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)}\)
\(=\cos{\left\{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+(-\theta)\right\}}\)
\(=-\sin{(-\theta)}=\sin{\theta}\)
\(~~~~~\tan{\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)}\)
\(=\tan{\left\{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+(-\theta)\right\}}\)
\(=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan{(-\theta)}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan{\theta}\,}\)
[終]
公式６
[証明]
\(\sin{(\pi-\theta)}\)
\(=\sin{\{\pi+(-\theta)\}}\)
\(=-\sin{(-\theta)}=\sin{\theta}\)
\(\cos{(\pi-\theta)}\)
\(=\cos{\{\pi+(-\theta)\}}\)
\(=-\cos{(-\theta)}=-\cos{\theta}\)
\(\tan{(\pi-\theta)}\)
\(=\tan{\{\pi+(-\theta)\}}\)
\(=\tan{(-\theta)}=-\tan{\theta}\)
[終]
解法のPoint｜π-θやπ/2-θの三角関数
[証明]
\(~~~~~\sin{\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)}\)
\(=\sin{\left\{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+(-\theta)\right\}}\)
\(=\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\)
\(~~~~~\cos{\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)}\)
\(=\cos{\left\{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+(-\theta)\right\}}\)
\(=-\sin{(-\theta)}=\sin{\theta}\)
\(~~~~~\tan{\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}-\theta\right)}\)
\(=\tan{\left\{\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}+(-\theta)\right\}}\)
\(=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan{(-\theta)}\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\tan{\theta}\,}\)
[終]
公式６
[証明]
\(\sin{(\pi-\theta)}\)
\(=\sin{\{\pi+(-\theta)\}}\)
\(=-\sin{(-\theta)}=\sin{\theta}\)
\(\cos{(\pi-\theta)}\)
\(=\cos{\{\pi+(-\theta)\}}\)
\(=-\cos{(-\theta)}=-\cos{\theta}\)
\(\tan{(\pi-\theta)}\)
\(=\tan{\{\pi+(-\theta)\}}\)
\(=\tan{(-\theta)}=-\tan{\theta}\)
[終]
解法のPoint｜π-θやπ/2-θの三角関数
p.127 問19\({\small (1)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(2\pi\)
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p.128 問20\({\small (1)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(2\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(2\pi\)
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p.129 問21\({\small (1)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(3\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(3\pi\)
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p.129 問22\({\small (1)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
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p.130 問23\({\small (1)}~n\) を整数として、
\(~~~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+2n\pi~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi+2n\pi\)
\({\small (2)}~n\) を整数として、
\(~~~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+2n\pi~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi+2n\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
\(~~~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}+2n\pi~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi+2n\pi\)
\({\small (2)}~n\) を整数として、
\(~~~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+2n\pi~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi+2n\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
p.130 問24\({\small (1)}~n\) を整数として、
\(~~~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+n\pi\)
\({\small (2)}~n\) を整数として、
\(~~~\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi+n\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
\(~~~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+n\pi\)
\({\small (2)}~n\) を整数として、
\(~~~\theta=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi+n\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
p.131 問25\({\small (1)}~\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,23\,}{\,12\,}\pi\)
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\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,23\,}{\,12\,}\pi\)
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p.132 問26\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\lt\theta\lt\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\)
\({\small (3)}~0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
\({\small (4)}~0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
\({\small (5)}~0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\)
\({\small (3)}~0{\small ~≦~}\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\lt\theta\lt 2\pi\)
\({\small (4)}~0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,4\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
\({\small (5)}~0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
p.132 問27\(~~~0{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}{\small ~≦~}\theta\lt 2\pi\)
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p.133 問28\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\lt\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\lt\theta\lt\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\lt\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\lt\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\lt\theta{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
p.133 問29\(~~~-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\lt\theta\lt\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
p.134 問30\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\) で最大値 \(\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}\)
\(\theta=\pi\) で最小値 \(0\)
解法のPoint｜三角関数を含む関数の最大値・最小値
\(\theta=\pi\) で最小値 \(0\)
解法のPoint｜三角関数を含む関数の最大値・最小値
問題
p.135 問題 1\({\small (1)}~\) \(\theta\) の値のほうが大きい。
\({\small (2)}~\) \(\theta\) の値のほうが大きい。
解法のPoint｜弧度法の角と三角関数の値
\({\small (2)}~\) \(\theta\) の値のほうが大きい。
解法のPoint｜弧度法の角と三角関数の値
p.135 問題 2\({\small (1)}~\) \(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}\) \({\small (2)}~\) \(-\displaystyle \frac{\,3\sqrt{6}\,}{\,8\,}\)
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p.135 問題 3\({\small (1)}~\) \(b\) \({\small (2)}~\) \(-b\) \({\small (3)}~\) \(-\displaystyle \frac{\,b\,}{\,a\,}\)
解法のPoint｜θ+2nπや-θの三角関数
解法のPoint｜θ+πやθ+π/2の三角関数
解法のPoint｜θ+2nπや-θの三角関数
解法のPoint｜θ+πやθ+π/2の三角関数
p.135 問題 4\({\small (1)}~\)[証明] 左辺を通分して計算すると、
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,1+\cos\theta\,}+\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,1-\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta(1-\cos\theta)+\sin\theta(1+\cos\theta)\,}{\,(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta-\sin\theta\cos\theta+\sin\theta+\sin\theta\cos\theta\,}{\,1-\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\theta\,}{\,1-\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\theta\,}{\,\sin^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sin\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,1+\cos\theta\,}+\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,1-\cos\theta\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sin\theta\,}\) [終]
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\({\small (2)}~\)
[証明]
\(\sin{\left({\large \frac{\pi}{2}}-\theta\right)}=\cos{\theta}\)
\(\cos{(\pi-\theta)}=-\cos{\theta}\)
また、
\(~~~~~\sin{\left({ \frac{3}{2}\pi}+\theta\right)}\)
\(=\sin{\left(\pi+{ \frac{\pi}{2}}+\theta\right)}\)
\(=-\sin{\left({ \frac{\pi}{2}}+\theta\right)}\)
\(=-\cos{\theta}\)
これらより、
(左辺)
\(=\cos{\theta}+\cos{\theta}-\cos{\theta}-\cos{\theta}=0\)
したがって、
\(~\cos{\theta}+\sin{\left({ \frac{\pi}{2}}-\theta\right)}\)
\(~~~~+\cos{(\pi-\theta)}+\sin{\left({ \frac{3}{2}\pi}+\theta\right)}=0\)
[終]
解法のPoint｜θ+πやθ+π/2の三角関数
解法のPoint｜π-θやπ/2-θの三角関数
（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,1+\cos\theta\,}+\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,1-\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta(1-\cos\theta)+\sin\theta(1+\cos\theta)\,}{\,(1+\cos\theta)(1-\cos\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta-\sin\theta\cos\theta+\sin\theta+\sin\theta\cos\theta\,}{\,1-\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\theta\,}{\,1-\cos^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(1-\cos^2\theta=\sin^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\theta\,}{\,\sin^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sin\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,1+\cos\theta\,}+\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,1-\cos\theta\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sin\theta\,}\) [終]
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\({\small (2)}~\)
[証明]
\(\sin{\left({\large \frac{\pi}{2}}-\theta\right)}=\cos{\theta}\)
\(\cos{(\pi-\theta)}=-\cos{\theta}\)
また、
\(~~~~~\sin{\left({ \frac{3}{2}\pi}+\theta\right)}\)
\(=\sin{\left(\pi+{ \frac{\pi}{2}}+\theta\right)}\)
\(=-\sin{\left({ \frac{\pi}{2}}+\theta\right)}\)
\(=-\cos{\theta}\)
これらより、
(左辺)
\(=\cos{\theta}+\cos{\theta}-\cos{\theta}-\cos{\theta}=0\)
したがって、
\(~\cos{\theta}+\sin{\left({ \frac{\pi}{2}}-\theta\right)}\)
\(~~~~+\cos{(\pi-\theta)}+\sin{\left({ \frac{3}{2}\pi}+\theta\right)}=0\)
[終]
解法のPoint｜θ+πやθ+π/2の三角関数
解法のPoint｜π-θやπ/2-θの三角関数
p.135 問題 5\({\small (1)}~\)周期 \(\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\)
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\({\small (2)}~\)周期 \(4\pi\)
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\({\small (3)}~\)周期 \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi\)
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p.135 問題 6\({\small (1)}~\) \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi~,~\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi~,~\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む方程式
\({\small (2)}~\) \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
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\({\small (3)}~\) \(\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
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解法のPoint｜三角関数を含む方程式
\({\small (2)}~\) \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
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\({\small (3)}~\) \(\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
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p.135 問題 7\({\small (1)}~\) \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,} \lt \theta \lt \frac{\,3\,}{\,4\,}\pi~,~\frac{\,5\,}{\,4\,}\pi \lt \theta \lt \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (2)}~\) \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,} \lt \theta \lt \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi \lt \theta \lt \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (3)}~\) \(\displaystyle 0 {\small ~≦~} \theta {\small ~≦~} \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi {\small ~≦~} \theta {\small ~≦~} \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi {\small ~≦~} \theta \lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
\({\small (2)}~\) \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,} \lt \theta \lt \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi~,~\frac{\,7\,}{\,6\,}\pi \lt \theta \lt \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
\({\small (3)}~\) \(\displaystyle 0 {\small ~≦~} \theta {\small ~≦~} \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi {\small ~≦~} \theta {\small ~≦~} \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi {\small ~≦~} \theta \lt 2\pi\)
解法のPoint｜三角関数を含む不等式
p.135 問題 8\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\) のとき、最大値 \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\)
\(\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) のとき、最小値 \(-1\)
解法のPoint｜三角関数を含む関数の最大値・最小値
\(\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\) のとき、最小値 \(-1\)
解法のPoint｜三角関数を含む関数の最大値・最小値
２節 加法定理
p.140 問1\(~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}-\sqrt{2}\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}+\sqrt{2}\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
p.140 問2\(~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}+\sqrt{6}\,}{\,4\,}~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}-\sqrt{6}\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
解法のPoint｜正弦sinと余弦cosの加法定理
p.140 問3\({\small (1)}~-\displaystyle \frac{\,77\,}{\,85\,}\) \({\small (2)}~-\displaystyle \frac{\,84\,}{\,85\,}\) \({\small (3)}~\displaystyle \frac{\,36\,}{\,85\,}\)
解法のPoint｜加法定理を用いたsin(α+β)の値
解法のPoint｜加法定理を用いたsin(α+β)の値
p.141 問4[証明]
\(\tan{(\alpha+\beta)}=\displaystyle \frac{\,\tan{\alpha}+\tan{\beta}\,}{\,1-\tan{\alpha}\tan{\beta}\,}\)
これより、\(\beta~\to~-\beta\) とすると、
\(\tan{(\alpha-\beta)}=\displaystyle \frac{\,\tan{\alpha}+\tan{(-\beta)}\,}{\,1-\tan{\alpha}\tan{(-\beta)}\,}\)
ここで、\(\tan{(-\beta)}=-\tan{\beta}\) より、
\(\tan{(\alpha-\beta)}=\displaystyle \frac{\,\tan{\alpha}-\tan{\beta}\,}{\,1+\tan{\alpha}\tan{\beta}\,}\)
[終]
解法のPoint｜正接tanの加法定理
\(\tan{(\alpha+\beta)}=\displaystyle \frac{\,\tan{\alpha}+\tan{\beta}\,}{\,1-\tan{\alpha}\tan{\beta}\,}\)
これより、\(\beta~\to~-\beta\) とすると、
\(\tan{(\alpha-\beta)}=\displaystyle \frac{\,\tan{\alpha}+\tan{(-\beta)}\,}{\,1-\tan{\alpha}\tan{(-\beta)}\,}\)
ここで、\(\tan{(-\beta)}=-\tan{\beta}\) より、
\(\tan{(\alpha-\beta)}=\displaystyle \frac{\,\tan{\alpha}-\tan{\beta}\,}{\,1+\tan{\alpha}\tan{\beta}\,}\)
[終]
解法のPoint｜正接tanの加法定理
p.143 問9\(~~~\sin{2\alpha}=-\displaystyle \frac{\,4\sqrt{2}\,}{\,9\,}~,~\cos{2\alpha}=-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,9\,}\)
\(~~~\tan{2\alpha}=\displaystyle \frac{\,4\sqrt{2}\,}{\,7\,}\)
解法のPoint｜2倍角の公式と式の値
\(~~~\tan{2\alpha}=\displaystyle \frac{\,4\sqrt{2}\,}{\,7\,}\)
解法のPoint｜2倍角の公式と式の値
p.143 問10\({\small (1)}~\)[証明]
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin 3\alpha
\\[3pt]~~~&=&\sin(2\alpha+\alpha)\end{eqnarray}\)
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sin 2\alpha \cdot \cos \alpha+\cos 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\)
\(\cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha\,\) より、
相互関係の公式 \(\cos^2 \alpha=1-\sin^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\sin \alpha(1-\sin^2 \alpha)+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha-2\sin^3 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin 3\alpha=3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\) [終]
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\cos 2\alpha \cdot \cos \alpha-\sin 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1\)
\(\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\,\) より、
相互関係の公式 \(\sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2(1-\cos^2 \alpha) \cdot \cos \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\cos \alpha+2\cos^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\) [終]
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\(\begin{eqnarray}~~~&&\sin 3\alpha
\\[3pt]~~~&=&\sin(2\alpha+\alpha)\end{eqnarray}\)
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\sin 2\alpha \cdot \cos \alpha+\cos 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\)
\(\cos 2\alpha=1-2\sin^2 \alpha\,\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \cos \alpha+(1-2\sin^2 \alpha) \cdot \sin \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha \cdot \cos^2 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\cos^2 \alpha=1-\sin^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\sin \alpha(1-\sin^2 \alpha)+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\sin \alpha-2\sin^3 \alpha+\sin \alpha-2\sin^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\sin 3\alpha=3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明]
\(\begin{eqnarray}~~~&&\cos 3\alpha
\\[3pt]~~~&=&\cos(2\alpha+\alpha)\end{eqnarray}\)
加法定理を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\cos 2\alpha \cdot \cos \alpha-\sin 2\alpha \cdot \sin \alpha\end{eqnarray}\)
2倍角の公式を用いると、
\(\,\cos 2\alpha=2\cos^2 \alpha-1\)
\(\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha\,\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(2\cos^2 \alpha-1) \cdot \cos \alpha-2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha\end{eqnarray}\)
相互関係の公式 \(\sin^2 \alpha=1-\cos^2 \alpha\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2(1-\cos^2 \alpha) \cdot \cos \alpha
\\[3pt]~~~&=&2\cos^3 \alpha-\cos \alpha-2\cos \alpha+2\cos^3 \alpha
\\[3pt]~~~&=&4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha-3\cos \alpha\) [終]
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p.144 問11\({\small (1)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
\({\small (2)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\displaystyle \frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
p.144 問12\(~~~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}\lt\theta\lt\pi~,~\pi\lt\theta\lt\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式を用いた関数の最大値・最小値
解法のPoint｜2倍角の公式を用いた関数の最大値・最小値
p.145 問13[証明]
\(\tan{\alpha}=\displaystyle \frac{\,\sin{\alpha}\,}{\,\cos{\alpha}\,}\) より、
\(~~~~~\tan^2{\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}}\)
\(=\displaystyle \frac{\,\sin^2{\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}}\,}{\,\cos^2{\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}}\,}\)
\(=\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1-\cos{\alpha}\,}{\,2\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1+\cos{\alpha}\,}{\,2\,}\,}\)
\(=\displaystyle \frac{\,1-\cos{\alpha}\,}{\,1+\cos{\alpha}\,}\)
したがって、
\(~~~\tan^2{\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}}=\displaystyle \frac{\,1-\cos{\alpha}\,}{\,1+\cos{\alpha}\,}\)
[終]
解法のPoint｜半角の公式と三角関数の値
\(\tan{\alpha}=\displaystyle \frac{\,\sin{\alpha}\,}{\,\cos{\alpha}\,}\) より、
\(~~~~~\tan^2{\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}}\)
\(=\displaystyle \frac{\,\sin^2{\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}}\,}{\,\cos^2{\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}}\,}\)
\(=\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,1-\cos{\alpha}\,}{\,2\,}\,}{\,\displaystyle \frac{\,1+\cos{\alpha}\,}{\,2\,}\,}\)
\(=\displaystyle \frac{\,1-\cos{\alpha}\,}{\,1+\cos{\alpha}\,}\)
したがって、
\(~~~\tan^2{\displaystyle \frac{\,\alpha\,}{\,2\,}}=\displaystyle \frac{\,1-\cos{\alpha}\,}{\,1+\cos{\alpha}\,}\)
[終]
解法のPoint｜半角の公式と三角関数の値
p.145 問14\(~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2+\sqrt{2}}\,}{\,2\,}~,~\sqrt{2}-1\)
解法のPoint｜半角の公式と三角関数の値
解法のPoint｜半角の公式と三角関数の値
p.147 問16\({\small (1)}~2\sin{\left(\theta+\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}\right)}\)
\({\small (2)}~\sqrt{2}\sin{\left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)}\)
解法のPoint｜三角関数asinθ+bcosθの合成
\({\small (2)}~\sqrt{2}\sin{\left(\theta-\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\right)}\)
解法のPoint｜三角関数asinθ+bcosθの合成
p.147 問17\({\small (1)}~5\sin{(\theta+\alpha)}\)
ただし、\(\alpha\) は、
\(~~~\cos{\alpha}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~\sin{\alpha}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\)
を満たす
\({\small (2)}~\sqrt{29}\sin{(\theta+\alpha)}\)
ただし、\(\alpha\) は、
\(~~~\cos{\alpha}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,\sqrt{29}\,}~,~\sin{\alpha}=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{29}\,}\)
を満たす
解法のPoint｜三角関数asinθ+bcosθの合成
ただし、\(\alpha\) は、
\(~~~\cos{\alpha}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}~,~\sin{\alpha}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\)
を満たす
\({\small (2)}~\sqrt{29}\sin{(\theta+\alpha)}\)
ただし、\(\alpha\) は、
\(~~~\cos{\alpha}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,\sqrt{29}\,}~,~\sin{\alpha}=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{29}\,}\)
を満たす
解法のPoint｜三角関数asinθ+bcosθの合成
p.148 問18\({\small (1)}~\)最大値 \(2\sqrt{3}\)、最小値 \(-2\sqrt{3}\)
\({\small (2)}~\)最大値 \(13\)、最小値 \(-13\)
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
\({\small (2)}~\)最大値 \(13\)、最小値 \(-13\)
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
p.149 問19\({\small (1)}~\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}~,~\displaystyle \frac{\,17\,}{\,12\,}\pi\)
\({\small (2)}~\theta=\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と方程式の解
\({\small (2)}~\theta=\pi~,~\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と方程式の解
問題
p.150 問題 9\({\small (1)}~\) \(\displaystyle \frac{\,6-\sqrt{35}\,}{\,12\,}\)
\({\small (2)}~\) \(\displaystyle \frac{\,-3\sqrt{5}+2\sqrt{7}\,}{\,12\,}\)
解法のPoint｜加法定理を用いたsin(α+β)の値
\({\small (2)}~\) \(\displaystyle \frac{\,-3\sqrt{5}+2\sqrt{7}\,}{\,12\,}\)
解法のPoint｜加法定理を用いたsin(α+β)の値
p.150 問題 11\({\small (1)}~\)[証明]（左辺より）
加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+\theta\right)&=&\displaystyle \frac{\,\tan\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+\tan\theta\,}{\,1-\tan\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\tan\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\tan\theta\,}{\,1-1 \cdot \tan\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\tan\theta\,}{\,1-\tan\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\tan\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+\theta\right)=\displaystyle \frac{\,1+\tan\theta\,}{\,1-\tan\theta\,}\) [終]
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\({\small (2)}~\)[証明]（左辺）
2倍角の公式 \(\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\) と
\(\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\theta\cos\theta\,}{\,1+(2\cos^2\theta-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\theta\cos\theta\,}{\,2\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\tan\theta\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\sin 2\theta\,}{\,1+\cos 2\theta\,}=\tan\theta\) [終]
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加法定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~\tan\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+\theta\right)&=&\displaystyle \frac{\,\tan\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+\tan\theta\,}{\,1-\tan\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\tan\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\tan\theta\,}{\,1-1 \cdot \tan\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1+\tan\theta\,}{\,1-\tan\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\tan\left(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}+\theta\right)=\displaystyle \frac{\,1+\tan\theta\,}{\,1-\tan\theta\,}\) [終]
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\({\small (2)}~\)[証明]（左辺）
2倍角の公式 \(\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta\) と
\(\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\theta\cos\theta\,}{\,1+(2\cos^2\theta-1)\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\theta\cos\theta\,}{\,2\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}
\\[5pt]~~~&=&\tan\theta\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,\sin 2\theta\,}{\,1+\cos 2\theta\,}=\tan\theta\) [終]
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p.150 問題 12 \(y=-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}x~,~y=\frac{\,2\,}{\,3\,}x\)
解法のPoint｜直線と角をなす直線の方程式
解法のPoint｜直線と角をなす直線の方程式
p.150 問題 13\({\small (1)}~\) \(-\displaystyle \frac{\,17\,}{\,25\,}\) \({\small (2)}~\) \(-\displaystyle \frac{\,4\sqrt{21}\,}{\,25\,}\)
解法のPoint｜2倍角の公式と式の値
\({\small (3)}~\) \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{70}\,}{\,10\,}\)
解法のPoint｜半角の公式と式の値
解法のPoint｜2倍角の公式と式の値
\({\small (3)}~\) \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{70}\,}{\,10\,}\)
解法のPoint｜半角の公式と式の値
p.150 問題 14\({\small (1)}~\) \(\theta=0~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\pi~,~\frac{\,5\,}{\,3\,}\pi\)
\({\small (2)}~\) \(\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
\({\small (2)}~\) \(\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
p.150 問題 15\({\small (1)}~\) \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,} \lt \theta \lt \frac{\,7\,}{\,12\,}\pi\)
解法のPoint｜角が複雑な三角関数を含む不等式
\({\small (2)}~\) \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi {\small ~≦~} \theta {\small ~≦~} \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と不等式の解
解法のPoint｜角が複雑な三角関数を含む不等式
\({\small (2)}~\) \(\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\pi {\small ~≦~} \theta {\small ~≦~} \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と不等式の解
p.150 問題 16\(\theta=\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}\pi~,~\frac{\,11\,}{\,6\,}\pi\) のとき、最大値 \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) のとき、最小値 \(-3\)
解法のPoint｜2倍角の公式を用いた関数の最大値・最小値
\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}\) のとき、最小値 \(-3\)
解法のPoint｜2倍角の公式を用いた関数の最大値・最小値
p.150 問題 17\(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\) のとき、最大値 \(\sqrt{2}\)
\(\theta=\pi\) のとき、最小値 \(-1\)
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
\(\theta=\pi\) のとき、最小値 \(-1\)
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
p.150 問題 18 \(\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,4\,}\lt \theta \displaystyle \frac{\,5\,}{\,4\,}\pi\)
解法のPoint｜三角関数の合成と不等式の解
解法のPoint｜三角関数の合成と不等式の解
p.152 発展 問1[証明] 加法定理より、
\(\sin{(\alpha+\beta)}\)
\(=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}\) …①
\(\sin{(\alpha-\beta)}\)
\(=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\) …②
①−②より、
\(\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)}\)
\(=2\cos{\alpha}\sin{\beta}\)
したがって、
\(\cos{\alpha}\sin{\beta}\)
\(=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left\{\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)}\right\}\)
また、加法定理より、
\(\cos{(\alpha+\beta)}\)
\(=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\) …③
\(\cos{(\alpha-\beta)}\)
\(=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\) …④
③＋④より、
\(\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)}\)
\(=2\cos{\alpha}\cos{\beta}\)
したがって、
\(\cos{\alpha}\cos{\beta}\)
\(=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left\{\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)}\right\}\)
また、③−④より、
\(\cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)}\)
\(=-2\sin{\alpha}\sin{\beta}\)
したがって、
\(\sin{\alpha}\sin{\beta}\)
\(=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left\{\cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)}\right\}\)
[終]
解法のPoint｜三角関数の積を和・差にする公式
\(\sin{(\alpha+\beta)}\)
\(=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}\) …①
\(\sin{(\alpha-\beta)}\)
\(=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\) …②
①−②より、
\(\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)}\)
\(=2\cos{\alpha}\sin{\beta}\)
したがって、
\(\cos{\alpha}\sin{\beta}\)
\(=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left\{\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)}\right\}\)
また、加法定理より、
\(\cos{(\alpha+\beta)}\)
\(=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}\) …③
\(\cos{(\alpha-\beta)}\)
\(=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}\) …④
③＋④より、
\(\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)}\)
\(=2\cos{\alpha}\cos{\beta}\)
したがって、
\(\cos{\alpha}\cos{\beta}\)
\(=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left\{\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)}\right\}\)
また、③−④より、
\(\cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)}\)
\(=-2\sin{\alpha}\sin{\beta}\)
したがって、
\(\sin{\alpha}\sin{\beta}\)
\(=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left\{\cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)}\right\}\)
[終]
解法のPoint｜三角関数の積を和・差にする公式
p.152 発展 問2\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,4\,}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜積を和・差にする公式と三角関数の値
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,4\,}\)
解法のPoint｜積を和・差にする公式と三角関数の値
p.152 発展 問3\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\sin{4\theta}-\sin{2\theta})\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\cos{5\theta}+\cos{\theta})\)
\({\small (3)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\cos{5\theta}-\cos{3\theta})\)
解法のPoint｜三角関数の積を和・差にする公式
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\cos{5\theta}+\cos{\theta})\)
\({\small (3)}~-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\cos{5\theta}-\cos{3\theta})\)
解法のPoint｜三角関数の積を和・差にする公式
p.153 発展 問4\({\small (1)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜和・差を積にする公式と三角関数の値
\({\small (2)}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,2\,}\)
解法のPoint｜和・差を積にする公式と三角関数の値
p.153 発展 問5\({\small (1)}~2\sin{4\theta}\cos{\theta}\)
\({\small (2)}~2\sin{3\theta}\sin{\theta}\)
解法のPoint｜三角関数の和・差を積にする公式
\({\small (2)}~2\sin{3\theta}\sin{\theta}\)
解法のPoint｜三角関数の和・差を積にする公式
p.153 発展 問6\(~~~\theta=0~,~\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,2\,}~,~\pi~,~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\pi\)
解法のPoint｜和・差を積にする公式を用いた方程式の解
解法のPoint｜和・差を積にする公式を用いた方程式の解
練習問題 三角関数
p.154 練習問題A 1\({\small (1)}~\) \(-k\) \({\small (2)}~\) \(-\sqrt{\,1-k^2\,}\)
\({\small (3)}~\) \(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,1-k^2\,}\,}{\,k\,}\)
解法のPoint｜θ+πやθ+π/2の三角関数
解法のPoint｜π-θやπ/2-θの三角関数
\({\small (3)}~\) \(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,1-k^2\,}\,}{\,k\,}\)
解法のPoint｜θ+πやθ+π/2の三角関数
解法のPoint｜π-θやπ/2-θの三角関数
p.154 練習問題A 2\({\small (1)}~\) \(-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,18\,}\) \({\small (2)}~\) \(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{14}\,}{\,3\,}\)
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p.154 練習問題A 3[証明] 左辺を通分して計算すると、
（左辺）
相互関係の公式 \(1-\sin^2\theta=\cos^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,2(\sin\theta+\cos\theta)\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2(\sin\theta+\cos\theta)\,}{\,\cos\theta\cdot\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
分子の \((\sin\theta+\cos\theta)\) を \(\cos\theta\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos\theta\,}\cdot\displaystyle \frac{\,\sin\theta+\cos\theta\,}{\,\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos\theta\,}\left(\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}+1\right)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2(1+\tan\theta)\,}{\,\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1+\cos\theta\,}{\,1-\sin\theta\,}-\displaystyle \frac{\,1-\cos\theta\,}{\,1+\sin\theta\,}=\displaystyle \frac{\,2(1+\tan\theta)\,}{\,\cos\theta\,}\) [終]
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（左辺）
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,1+\cos\theta\,}{\,1-\sin\theta\,}-\displaystyle \frac{\,1-\cos\theta\,}{\,1+\sin\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,(1+\cos\theta)(1+\sin\theta)-(1-\cos\theta)(1-\sin\theta)\,}{\,(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,(1+\sin\theta+\cos\theta+\sin\theta\cos\theta)-(1-\sin\theta-\cos\theta+\sin\theta\cos\theta)\,}{\,1-\sin^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\theta+2\cos\theta\,}{\,1-\sin^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2(\sin\theta+\cos\theta)\,}{\,1-\sin^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,(1+\cos\theta)(1+\sin\theta)-(1-\cos\theta)(1-\sin\theta)\,}{\,(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,(1+\sin\theta+\cos\theta+\sin\theta\cos\theta)-(1-\sin\theta-\cos\theta+\sin\theta\cos\theta)\,}{\,1-\sin^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\sin\theta+2\cos\theta\,}{\,1-\sin^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2(\sin\theta+\cos\theta)\,}{\,1-\sin^2\theta\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
相互関係の公式 \(1-\sin^2\theta=\cos^2\theta\) より、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,2(\sin\theta+\cos\theta)\,}{\,\cos^2\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2(\sin\theta+\cos\theta)\,}{\,\cos\theta\cdot\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
分子の \((\sin\theta+\cos\theta)\) を \(\cos\theta\) で割ると、
\(\begin{eqnarray}~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos\theta\,}\cdot\displaystyle \frac{\,\sin\theta+\cos\theta\,}{\,\cos\theta\,}
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\cos\theta\,}\left(\displaystyle \frac{\,\sin\theta\,}{\,\cos\theta\,}+1\right)
\\[5pt]~&=&\displaystyle \frac{\,2(1+\tan\theta)\,}{\,\cos\theta\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\displaystyle \frac{\,1+\cos\theta\,}{\,1-\sin\theta\,}-\displaystyle \frac{\,1-\cos\theta\,}{\,1+\sin\theta\,}=\displaystyle \frac{\,2(1+\tan\theta)\,}{\,\cos\theta\,}\) [終]
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p.154 練習問題A 4\({\small (1)}~\) \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,6\,}~,~\frac{\,5\,}{\,6\,}\pi\)
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\({\small (2)}~\) \(\theta=0~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi {\small ~≦~} \theta {\small ~≦~} \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
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\({\small (2)}~\) \(\theta=0~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\pi {\small ~≦~} \theta {\small ~≦~} \frac{\,4\,}{\,3\,}\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
p.154 練習問題A 5\({\small (1)}~y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\sin{2\theta}\)
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\({\small (2)}~y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cos{2\theta}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
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\({\small (2)}~y=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cos{2\theta}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
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p.154 練習問題A 6\({\small (1)}~\)[証明]
\(2\theta=36^\circ~,~3\theta=54^\circ\)
これより、
\(\sin{2\theta}\)
\(=\sin{36^\circ}=\sin{(90^\circ-54^\circ)}\)
\(=\cos{54^\circ}\)
\(=\cos{3\theta}\)
したがって、
\(\sin{2\theta}=\cos{3\theta}\) [終]
\({\small (2)}~\) \(\displaystyle \frac{\,-1+\sqrt{5}\,}{\,4\,}\)
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\(2\theta=36^\circ~,~3\theta=54^\circ\)
これより、
\(\sin{2\theta}\)
\(=\sin{36^\circ}=\sin{(90^\circ-54^\circ)}\)
\(=\cos{54^\circ}\)
\(=\cos{3\theta}\)
したがって、
\(\sin{2\theta}=\cos{3\theta}\) [終]
\({\small (2)}~\) \(\displaystyle \frac{\,-1+\sqrt{5}\,}{\,4\,}\)
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p.155 練習問題B 9\({\small (1)}~\) \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,8\,}~,~\frac{\,5\,}{\,8\,}\pi~,~\frac{\,9\,}{\,8\,}\pi~,~\frac{\,13\,}{\,8\,}\pi\)
\({\small (2)}~\) \(\displaystyle 0 {\small ~≦~} \theta \lt \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi \lt \theta \lt 2\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
\({\small (2)}~\) \(\displaystyle 0 {\small ~≦~} \theta \lt \frac{\,\pi\,}{\,3\,}~,~\frac{\,2\,}{\,3\,}\pi \lt \theta \lt 2\pi\)
解法のPoint｜2倍角の公式と方程式・不等式の解
p.155 練習問題B 10\({\small (1)}~\) 最大値 \(\sqrt{7}\)、最小値 \(-\sqrt{7}\)
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
\({\small (2)}~\) \(\theta=0\) のとき、最大値 \(1\)
\(\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\pi\) のとき、最小値 \(-2\sqrt{2}-1\)
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解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
\({\small (2)}~\) \(\theta=0\) のとき、最大値 \(1\)
\(\theta=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\pi\) のとき、最小値 \(-2\sqrt{2}-1\)
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p.155 練習問題B 12\({\small (1)}~\) \(y=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t^2+t-\frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\) \(-1 {\small ~≦~} y {\small ~≦~} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\sqrt{2}\)
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\({\small (2)}~\) \(-1 {\small ~≦~} y {\small ~≦~} \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\sqrt{2}\)
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p.155 練習問題B 13\({\small (1)}~\)[証明]
\(\triangle {\rm ABQ}\) において、
\(\cos{\theta}=\displaystyle \frac{\,{\rm AQ}\,}{\,{\rm AB}\,}~\Leftrightarrow ~{\rm AQ}=\cos{\theta}\)
\(\triangle {\rm DAP}\) において、
\(\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,{\rm AP}\,}{\,{\rm AD}\,}~\Leftrightarrow ~{\rm AP}=\sin{\theta}\)
よって、１辺の長さ \({\rm PQ}\) は、
\({\rm PQ=AQ-AP}=\cos{\theta}-\sin{\theta}\)
[終]
\({\small (2)}~\) \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\)
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
\(\triangle {\rm ABQ}\) において、
\(\cos{\theta}=\displaystyle \frac{\,{\rm AQ}\,}{\,{\rm AB}\,}~\Leftrightarrow ~{\rm AQ}=\cos{\theta}\)
\(\triangle {\rm DAP}\) において、
\(\sin{\theta}=\displaystyle \frac{\,{\rm AP}\,}{\,{\rm AD}\,}~\Leftrightarrow ~{\rm AP}=\sin{\theta}\)
よって、１辺の長さ \({\rm PQ}\) は、
\({\rm PQ=AQ-AP}=\cos{\theta}-\sin{\theta}\)
[終]
\({\small (2)}~\) \(\theta=\displaystyle \frac{\,\pi\,}{\,12\,}\)
解法のPoint｜三角関数の合成と最大値・最小値
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