- 数学C「平面上のベクトル」の基本例題一覧ページです。
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目次
- ベクトルの基本と演算
- ベクトルの成分
- ベクトルの内積
- 22｜ベクトルの大きさ・なす角と内積
- 23｜正方形における内積
- 24☆｜正六角形における内積
- 25☆｜三角形の射影とベクトルの内積
- 26｜ベクトルの成分と内積
- 27｜2つのベクトルのなす角
- 28｜ベクトルの成分と垂直条件
- 29｜ベクトルの垂直と大きさの条件
- 30☆｜ベクトルの成分と大きさの最小値
- 31☆｜ベクトルの成分と大きさの条件
- 32｜内積の性質と大きさの2乗
- 33｜内積とベクトルの和の大きさ
- 34｜ベクトルの式の垂直条件と内積
- 35｜大きさの条件と内積となす角
- 36｜大きさの条件とベクトルの垂直
- 37☆｜ベクトルの等式の証明
- 38☆｜ベクトルの不等式の証明
- 39☆｜平面ベクトルの大きさと最小値
- 40☆｜角の二等分線とベクトル
- 41☆｜ベクトルと三角形の面積
- 42☆｜ベクトルの成分と垂直・平行の条件式
- 位置ベクトル
- ベクトルと平面図形
- ベクトル方程式
ベクトルの基本と演算
01｜ベクトルの大きさと等しいベクトル
平面上のベクトル 01ベクトルの大きさは何を表すか？また、あるベクトルと等しいベクトル or 向きが同じベクトル or 逆ベクトルとは？さらに、零ベクトルとは？
02｜ベクトルの和の表し方
平面上のベクトル 02平面上の2つのベクトル \(\overrightarrow{a}~,~ \overrightarrow{b}\) の和 \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) の図示の方法は？(2通り)
03｜ベクトルの等式の証明方法
平面上のベクトル 03等式 \(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CA}=\overrightarrow{0}\) の証明方法は？
04☆｜ベクトルと平行四辺形の条件
平面上のベクトル 04☆四角形 \(\rm ABCD\) において、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm DC}\) のとき、\(\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{\rm BC}\) であることの証明方法は？
05｜ベクトルの差の表し方
平面上のベクトル 05長方形 \(\rm ABCD\) において、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}\) とするとき、\(\overrightarrow{\rm BD}~,~\overrightarrow{\rm DB}~,~\overrightarrow{\rm AC}\) を \(\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{d}\) を用いて表す方法は？
06｜ベクトルの実数倍の図示
平面上のベクトル 06始点が同じ2つのベクトル \(\overrightarrow{a}~,~ \overrightarrow{b}\) について、\(3\overrightarrow{a}~,~ -2\overrightarrow{b}~,~ 3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\) の図示の方法は？
07｜ベクトルの式の計算方法
平面上のベクトル 07\(3(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})-2(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\) の計算方法は？
08｜等式を満たすベクトルの表し方
平面上のベクトル 08等式 \(2\overrightarrow{x}+6\overrightarrow{a}=4\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{b}\) を満たす \(\overrightarrow{x}\) を、\(\overrightarrow{a}~,~ \overrightarrow{b}\) を用いて表す方法は？
09｜単位ベクトルと平行なベクトルの表し方
平面上のベクトル 09単位ベクトル \(\overrightarrow{e}\) と平行で大きさが \(2\) のベクトルの求め方は？
10｜ベクトルと平行な単位ベクトル
平面上のベクトル 10大きさが \(3\) の \(\overrightarrow{a}\) と平行な単位ベクトルの求め方は？
11｜正六角形のベクトルの表し方
平面上のベクトル 11正六角形 \({\rm ABCDEF}\) とその対角線の交点 \({\rm O}\) において、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{a}~,~ \)\(\overrightarrow{\rm AF}=\overrightarrow{b}\) とするとき、\(\overrightarrow{\rm AO}~,~ \overrightarrow{\rm AC}~,~ \overrightarrow{\rm BD}~,~ \overrightarrow{\rm CE}\) の表し方は？
12☆｜中点連結定理とベクトル
平面上のベクトル 12☆\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm AB~,~AC}\) の中点をそれぞれ \({\rm P~,~Q}\) とするとき、\(\overrightarrow{\rm PQ}\,//\,\overrightarrow{\rm BC}\) であることの証明方法は？
ベクトルの成分
13｜ベクトルの成分と大きさ
平面上のベクトル 13座標平面上を右に \(4\)、上に \(3\) 進む \(\overrightarrow{a}\) の成分での表し方は？また、その大きさの求め方は？
14｜ベクトルの成分を用いた計算
平面上のベクトル 14\(\overrightarrow{a}=(1~,~ 2)~,~ \overrightarrow{b}=(-3~,~ 4)\) のとき、\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}~,~ \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}~,~ 2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\) の成分の計算方法は？
15｜ベクトルの等式と成分の計算
平面上のベクトル 15\(\overrightarrow{a}=(x~,~ 2)~,~ \overrightarrow{b}=(-3~,~ y)~,~\)\(\overrightarrow{c}=(11~,~ -8)\) で \(\overrightarrow{c}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\) が成り立つとき、\(x~,~ y\) の値の求め方は？
16｜成分によるベクトルの分解
平面上のベクトル 16\(\overrightarrow{a}=(1~,~ 2)~,~ \overrightarrow{b}=(-3~,~ 4)\) のとき、\(\overrightarrow{p}=(6~,~ 2)\) を \(s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) の形で表す方法は？
17｜ベクトルの平行条件と成分
平面上のベクトル 17\(\overrightarrow{a}=(1~,~ 2)~,~ \overrightarrow{b}=(t-3~,~ t)\) が平行になるような \(t\) の値の求め方は？
18☆｜2つのベクトルの和と差と成分
平面上のベクトル 18☆\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(-2~,~6)~,~ \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(4~,~-2)\) のとき、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) の成分の求め方は？
19｜ベクトルと平行な単位ベクトルの成分
平面上のベクトル 19\(\overrightarrow{b}=(-3~,~ 4)\) に平行な単位ベクトルの求め方は？また、\(\overrightarrow{b}\) に平行で大きさが \(3\) のベクトルの求め方は？
20｜2点の座標とベクトルの成分・大きさ
平面上のベクトル 20\({\rm A}(4~,~ -5)~,~ {\rm B}(-2~,~ 3)\) について、\(\overrightarrow{\rm AB}\) の成分と大きさの求め方は？
21｜平行四辺形となるベクトルの条件
平面上のベクトル 21平面上の4点 \({\rm A}(4~,~ -5)~,~ {\rm B}(-2~,~ 3)~,~\)\({\rm C}(5~,~ 4)~,~\)\({\rm D}\) を頂点とする四角形が平行四辺形 \({\rm ABCD}\) となるとき、点 \({\rm D}\) の座標の求め方は？
ベクトルの内積
22｜ベクトルの大きさ・なす角と内積
平面上のベクトル 22\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3\) で、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角が \(\theta=30^\circ~,~ 90^\circ~,~ 135^\circ~,~ 180^\circ\) のとき、それぞれの内積 \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) の求め方は？
23｜正方形における内積
平面上のベクトル 231辺の長さ \(2\) の正方形 \(\rm ABCD\) において、内積 \(\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm AD}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm AC}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm BD}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm CD}\) の求め方は？
24☆｜正六角形における内積
平面上のベクトル 24☆1辺の長さ \(2\) の正六角形 \(\rm ABCDEF\) において、内積 \(\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm AF}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm AE}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm AD}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AB} \cdot \overrightarrow{\rm AC}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AC} \cdot \overrightarrow{\rm AE}~,~\)\(\overrightarrow{\rm AD} \cdot \overrightarrow{\rm CE}\) の求め方は？
25☆｜三角形の射影とベクトルの内積
平面上のベクトル 25☆\(\triangle {\rm OAB}\) の点 \({\rm A}\) から辺 \({\rm OB}\) におろした垂線と辺 \({\rm OB}\) との交点を \({\rm P}\)、点 \({\rm B}\) から辺 \({\rm OA}\) におろした垂線と辺 \({\rm OA}\) との交点を \({\rm Q}\) とするとき、\(|\overrightarrow{\rm OA}|\, |\overrightarrow{\rm OQ}|=|\overrightarrow{\rm OB}|\, |\overrightarrow{\rm OP}|\) であることの証明方法は？
26｜ベクトルの成分と内積
平面上のベクトル 26\(\overrightarrow{a}=(1~,~ 2)~,~ \overrightarrow{b}=(3~,~ 1)\) の内積 \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) の計算方法は？
27｜2つのベクトルのなす角
平面上のベクトル 27\(\overrightarrow{a}=(1~,~ 2)~,~ \overrightarrow{b}=(3~,~ 1)\) のなす角 \(\theta\) の求め方は？
28｜ベクトルの成分と垂直条件
平面上のベクトル 28\(\overrightarrow{a}=(1~,~ 2)~,~ \overrightarrow{b}=(x~,~ 3)\) が垂直となるときの \(x\) の値の求め方は？
29｜ベクトルの垂直と大きさの条件
平面上のベクトル 29\(\overrightarrow{a}=(1~,~ 2)\) に垂直で大きさが \(\sqrt{10}\) のベクトルの成分の求め方は？
30☆｜ベクトルの成分と大きさの最小値
平面上のベクトル 30☆\(\overrightarrow{a}=(1~,~ 2)~,~ \overrightarrow{b}=(3~,~ 1)\) のとき、\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|\) の最小値とそのときの \(t\) の値の求め方は？
31☆｜ベクトルの成分と大きさの条件
平面上のベクトル 31☆\(\overrightarrow{a}=(1~,~ 2)~,~ \overrightarrow{b}=(3~,~ 1)\) のとき、\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}\) となるような \(t\) の値の求め方は？
32｜内積の性質と大きさの2乗
平面上のベクトル 32内積の性質を利用した \((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\) や \(|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|^2\) の計算方法は？
33｜内積とベクトルの和の大きさ
平面上のベクトル 33\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3~,~ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=4\) のとき、\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) の大きさの求め方は？
34｜ベクトルの式の垂直条件と内積
平面上のベクトル 34\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3\) で \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) と \(6\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) が垂直のとき、内積 \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) の求め方は？
35｜大きさの条件と内積となす角
平面上のベクトル 35\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3~,~ |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{19}\) のとき、内積 \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) の求め方は？
36｜大きさの条件とベクトルの垂直
平面上のベクトル 36\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3~,~ |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{19}\) のとき、\(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{b}\) が垂直となるような実数 \(t\) の値の求め方は？
37☆｜ベクトルの等式の証明
平面上のベクトル 37☆等式 \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^2=2(|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2)\) の証明方法は？
38☆｜ベクトルの不等式の証明
平面上のベクトル 38☆不等式 \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|{\small ~≦~}|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|\) の証明方法は？
39☆｜平面ベクトルの大きさと最小値
平面上のベクトル 39☆\(|\overrightarrow{a}|=2~,~ |\overrightarrow{b}|=3~,~ |\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{19}\) のとき、\(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|\) の最小値とそのときの \(t\) の値の求め方は？
40☆｜角の二等分線とベクトル
平面上のベクトル 40☆\(\overrightarrow{a}=(2~,~-1)~,~\overrightarrow{b}=(2~,~4)\) とするとき、この2つのベクトル \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) のなす角を二等分する単位ベクトルの求め方は？
41☆｜ベクトルと三角形の面積
平面上のベクトル 41☆\( \triangle{\rm OAB} \) において、ベクトル \( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\)\(\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b} \) とするとき、この \( \triangle{\rm OAB} \) の面積 \( S \) が \( S=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\sqrt{|\,\overrightarrow{a}\,|^2\,|\,\overrightarrow{b}\,|^2-(\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\,)^2} \) となることの証明方法は？また、ベクトル \( \overrightarrow{\rm OA}=(a_1~,~a_2)~,~\)\(\overrightarrow{\rm OB}=(b_1~,~b_2) \) としたとき、\( S=\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\left|\,a_1\,b_2-a_2\,b_1\,\right| \) となることの証明方法は？
高校数学C｜平面上のベクトル
42☆｜ベクトルの成分と垂直・平行の条件式
平面上のベクトル 42☆\(\overrightarrow{0}\) でない \(\overrightarrow{a}=(a_1~,~ a_2)~,~ \overrightarrow{b}=(b_1~,~ b_2)\) について、
\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}\) ならば \(a_1b_2-a_2b_1=0\) 、
\(\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\) ならば \(a_1b_1+a_2b_2=0\) であることの証明方法は？
\(\overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b}\) ならば \(a_1b_2-a_2b_1=0\) 、
\(\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\) ならば \(a_1b_1+a_2b_2=0\) であることの証明方法は？
位置ベクトル
43｜位置ベクトルと2点を結ぶベクトル
平面上のベクトル 43\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~ {\rm B}(\overrightarrow{b})\) のとき、\(\overrightarrow{\rm AB}\) や \(\overrightarrow{\rm BA}\) を \(\overrightarrow{a}~,~ \overrightarrow{b}\) を用いて表す方法は？
44｜位置ベクトルの内分点・外分点・中点
平面上のベクトル 44\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~ {\rm B}(\overrightarrow{b})\) のとき、線分 \(\rm AB\) の \(2:3\) の内分点、\(2:3\) の外分点、中点の位置ベクトルの求め方は？
45☆｜三角形と2点を結ぶ位置ベクトル
平面上のベクトル 45☆\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm D}\)、辺 \({\rm AD}\) を \(2:3\) に内分する点を \({\rm E}\) とするとき、\(\overrightarrow{\rm AD}~,~\overrightarrow{\rm AE}~,~\overrightarrow{\rm BE}~,~\overrightarrow{\rm EC}\) を \(\overrightarrow{\rm AB}\) と \(\overrightarrow{\rm AC}\) を用いて表す方法は？
46｜重心の位置ベクトル
平面上のベクトル 46\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~ {\rm B}(\overrightarrow{b})~,~ {\rm C}(\overrightarrow{c})\) を頂点とする \(\triangle {\rm ABC}\) の重心 \(\rm G\) の位置ベクトルの求め方は？また、\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}\) であることの証明方法は？
47｜重心が一致することの証明(位置ベクトル)
平面上のベクトル 47\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC~,~ CA~,~ AB}\) の中点を \({\rm L~,~ M~,~N}\) とするとき、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) と \(\triangle {\rm LMN}\) の重心 \({\rm G^{\prime}}\) が一致することの証明方法は？
48｜ベクトルの内分点と等式の証明
平面上のベクトル 48\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC~,~ CA~,~ AB}\) をそれぞれ \(2:1\) に内分する点を \({\rm P~,~ Q~,~R}\) とするとき、\(\overrightarrow{\rm AP}+\overrightarrow{\rm BQ}+\overrightarrow{\rm CR}=\overrightarrow{0}\) であることの証明方法は？
ベクトルと平面図形
49｜平面上の3点が一直線にあることの証明
平面上のベクトル 49平行四辺形 \(\rm ABCD\) において、辺 \(\rm BC\) を \(2:1\) に内分する点を \(\rm E\)、対角線 \(\rm BD\) を \(2:3\) に内分する点を \(\rm F\) とするとき、3点 \(\rm A~,~ F~,~ E\) が一直線上にあることの証明方法は？
50｜三角形内部の点の位置ベクトル
平面上のベクトル 50\(\triangle {\rm OAB}\) ( \(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~ \overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\) ) において、辺 \({\rm OA}\) の中点を \(\rm C\)、辺 \({\rm OB}\) を \(1:2\) に内分する点を \(\rm D\) とするとき、2直線 \(\rm AD\) と \(\rm BC\) の交点 \(\rm P\) の位置ベクトル \(\overrightarrow{\rm OP}\) の求め方は？
51｜垂直に交わることの証明(三角形の垂心)
平面上のベクトル 51\(\triangle {\rm ABC}\) の頂点 \(\rm B~,~ C\) から対辺に下ろした垂線の交点を \(\rm H\) とするとき、\(\rm AH \perp BC\) であることの証明方法は？
52｜ベクトルの等式と点の位置
平面上のベクトル 52\(\triangle {\rm ABC}\) と点 \(\rm P\) について、等式 \(5\overrightarrow{\rm PA}+4\overrightarrow{\rm PB}+3\overrightarrow{\rm PC}=\overrightarrow{0}\) が成り立つときの点 \(\rm P\) の位置の調べ方は？また、\(\triangle {\rm PBC}:\triangle {\rm PCA}:\triangle {\rm PAB}\) の求め方は？
53☆｜ベクトルと外心・重心・垂心の証明
平面上のベクトル 53☆\(\triangle {\rm ABC}\) の外心を \(\rm O\)、重心を \(\rm G\) として、\(\overrightarrow{\rm OH}=\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}\)とするとき、3点 \(\rm O~,~G~,~H\) は一直線上にあることの証明方法は？また、点 \(\rm H\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の垂心であることの証明方法は？
54☆｜中線定理のベクトルでの証明
平面上のベクトル 54☆\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) として、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とするとき、等式 \({\rm AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)}\) が成り立つことの証明方法は？
ベクトル方程式
55｜方向ベクトルと直線の媒介変数表示
平面上のベクトル 55点 \({\rm A}(2~,~ 3)\) を通り、方向ベクトル \(\overrightarrow{d}=(1~,~ -2)\) の直線の媒介変数表示の求め方は？また、媒介変数を消去した式の求め方は？
56｜2点を通る直線の媒介変数表示
平面上のベクトル 562点 \({\rm A}(2~,~ 3)~,~ {\rm B}(5~,~ -1)\) を通る直線の媒介変数表示の求め方は？また、媒介変数を消去した式の求め方は？
57｜係数の和が一定の値の点の存在範囲
平面上のベクトル 57\(\triangle {\rm OAB}\) に対して、点 \(\rm P\) が等式 \(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}~,~s+t=2~,~\)\(s {\small ~≧~} 0~,~ t {\small ~≧~} 0\) を満たすときの点 \(\rm P\) の存在範囲の求め方は？
58｜係数の和が一定の範囲の点の存在範囲
平面上のベクトル 58\(\triangle {\rm OAB}\) に対して、点 \(\rm P\) が条件 \(\begin{split}\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}~,~0{\small ~≦~}s+t{\small ~≦~}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\end{split}\)\(s{\small ~≧~}0~,~ t{\small ~≧~}0\) を満たすときの点 \(\rm P\) の存在範囲の求め方は？
59☆｜s+2t=1を満たす点の存在範囲
平面上のベクトル 59☆\(\triangle {\rm OAB}\) に対して、点 \(\rm P\) が等式 \(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}~,~s+2t=1\) を満たすときの点 \(\rm P\) の存在範囲の求め方は？
60☆｜0≦s≦1と0≦t≦1を満たす点の存在範囲
平面上のベクトル 60☆\(\triangle {\rm OAB}\) に対して、点 \(\rm P\) が等式 \(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}~,~0{\small ~≦~}s{\small ~≦~}1~,~\)\(0 {\small ~≦~}t{\small ~≦~}1\) を満たすときの点 \(\rm P\) の存在範囲の求め方は？
61☆｜三角形の内部の点と線分の比・面積比
平面上のベクトル 61☆\(\triangle {\rm OAB}\) ( \(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~ \overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\) ) において、辺 \({\rm OA}\) の中点を \(\rm C\)、辺 \({\rm OB}\) を \(1:2\) に内分する点を \(\rm D\) 、2直線 \(\rm AD\) と \(\rm BC\) の交点 \(\rm P\)、直線 \(\rm OP\) と辺 \(\rm AB\) が交わる点を \(\rm E\) とするとき、\(\rm OP:PE\) と \(\rm AE:EB\) の求め方は？また、\(\triangle {\rm OAB}~,~\triangle {\rm PAB}~,~\triangle {\rm OAP}~,~\triangle {\rm PEB}\) の面積比の求め方は？
62｜法線ベクトルと直線の方程式
平面上のベクトル 62点 \({\rm A}(2~,~3)\) を通り、法線ベクトルが \(\overrightarrow{n}=(4~,~-1)\) の直線の方程式の求め方は？
63｜法線ベクトルと2直線のなす角
平面上のベクトル 632直線 \(x+2y-3=0~,~ 3x+y-4=0\) のなす角 \(\theta\) の求め方は？（法線ベクトルの利用）
64☆｜2直線の平行・垂直と法線ベクトル
平面上のベクトル 64☆2直線 \(a_1x+b_1y+c_1=0~,~a_2x+b_2y+c_2=0\) について、
2直線が平行のとき \(a_1b_2-a_2b_1=0\)、垂直のとき \(a_1a_2+b_1b_2=0\) が成り立つことを法線ベクトルを用いて証明する方法は？
2直線が平行のとき \(a_1b_2-a_2b_1=0\)、垂直のとき \(a_1a_2+b_1b_2=0\) が成り立つことを法線ベクトルを用いて証明する方法は？
65｜中心と半径が条件の円のベクトル方程式
平面上のベクトル 65定点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})\) と任意の点 \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) について、
ベクトル方程式 \(|\,2\overrightarrow{p}-4\overrightarrow{a}\,|=6\) はどのような円を表すか？
ベクトル方程式 \(|\,2\overrightarrow{p}-4\overrightarrow{a}\,|=6\) はどのような円を表すか？
66｜直径が条件の円のベクトル方程式
平面上のベクトル 662点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~ {\rm B}(\overrightarrow{b})\) を直径とする円上の任意の点を \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) とするとき、円のベクトル方程式が \((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})=0\) となることの証明方法は？
67｜円の接線のベクトル方程式
平面上のベクトル 67点 \({\rm C}(\overrightarrow{c})\) を中心とする半径 \(r\) の円の点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})\) における接線上の任意の点を \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) とするとき、接線のベクトル方程式が \((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})=r^2\) となることの証明方法は？
68☆｜大きさや内積の条件とベクトル方程式
平面上のベクトル 68☆定点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})\) と任意の点 \({\rm P}(\overrightarrow{p})\) について、ベクトル方程式 \(|\,2\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}\,|=|\,\overrightarrow{a}\,|\)、\(|\,\overrightarrow{p}+\overrightarrow{a}\,|=|\,\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}\,|\)、\((\overrightarrow{p}+\overrightarrow{a})\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\) はそれぞれどのような図形を表すか？
