- 数学Ⅱ「微分と積分」の基本例題一覧ページです。
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微分係数
01｜平均の速さと瞬間の速さ
微分と積分 01動く点の時間 \(x\) 秒と距離 \(y~{\rm m}\) に \(y=2x^2\) が成立するとき、\(1\) 秒後から \(3\) 秒後までの平均の速さと \(3\) 秒後の瞬間の速さの求め方は？
02｜関数の平均変化率
微分と積分 02関数 \(f(x)=x^2\) について、\(x\) が \(2\) から \(5\) まで変化するときの平均変化率の求め方は？また、\(x\) が \(a\) から \(b\) まで変化するときや \(x\) が \(a\) から \(a+h\) まで変化するときの平均変化率の求め方は？
03｜極限値の計算
微分と積分 03極限値 \(\displaystyle \lim_{x \to 1}(x+3)~,~\)\(\displaystyle \lim_{h \to 0}(4-2h+h^2)\) の求め方は？
04☆｜x=aで定義されない関数の極限値
微分と積分 04☆極限値 \(\displaystyle\lim_{x \to 2}\displaystyle \frac{\,x^2-4\,}{\,x-2\,}~,~\)\(\displaystyle\lim_{x \to -1}\displaystyle \frac{\,x^2-x-2\,}{\,x+1\,}\) の求め方は？
05｜微分係数の定義
微分と積分 05関数 \(f(x)=x^2\) の \(x=3\) での微分係数 \(f^{\prime}(3)\) を定義に従って求める方法は？
06｜微分係数と関数の接線の傾き
微分と積分 06微分係数の定義を用いて、関数 \(y=x^2\) 上の点 \((3~,~9)\) での接線の傾きの求め方は？
導関数
07｜導関数の定義
微分と積分 07関数 \(f(x)=2x^2~,~\)\(f(x)=x^3\) の導関数 \(f^{\prime}(x)\) を定義に従って求める方法は？
08｜関数xⁿや定数関数の微分
微分と積分 08関数 \(f(x)=x^3-3x^2+5x-1~,~\)\(f(x)=(x-1)(x+3)\) の微分の計算方法は？
09｜導関数と微分係数
微分と積分 09関数 \(f(x)=2x^2-3x+1\) の微分係数 \(f^{\prime}(1)~,~\)\(f^{\prime}(0)~,~\)\(f^{\prime}(-2)\) の求め方は？また、関数 \(f(x)=x^3-3x^2\) の \(x=a\) における微分係数が \(9\) のとき、定数 \(a\) の値の求め方は？
10｜微分係数の値と関数の決定
微分と積分 102次関数 \(f(x)\) が \(f(1)=0~,~\)\(f^{\prime}(1)=1~,~\)\(f^{\prime}(0)=-3\) を満たすとき、\(f(x)\) の求め方は？また、3次関数 \(f(x)=ax^3+bx^2-2\) が \(f^{\prime}(1)=0~,~\)\(f^{\prime}(2)=12\) を満たすとき、\(f(x)\) の求め方は？
11｜変数がx,y以外の文字の導関数
微分と積分 11半径 \(r\) の球の表面積 \(S\) と体積 \(V\) を \(r\) で微分した式の求め方は？また、\(S\) や \(V\) を \(r\) の関数と考えたとき、\(r=2\) における微分係数の求め方は？
12☆｜関数f(x)と導関数f'(x)を含む等式
微分と積分 12☆関数 \(f(x)=x^2+ax+b\) が等式 \(2f(x)=(x-1)f^{\prime}(x)+4\) を満たすとき、\(f(x)\) の求め方は？
13☆｜平均変化率と微分係数が等しい条件
微分と積分 13☆関数 \(f(x)=x^2+x+1\) について、\(x\) が \(a\) から \(b\) まで変化するときの平均変化率と \(x=c\) での微分係数 \(f^{\prime}(c)\) が等しいとき、\(c\) を \(a\) と \(b\) を用いて表す方法は？
接線の方程式
14｜曲線の接線の方程式
微分と積分 14曲線 \(y=x^2\) 上の点 \((2~,~4)\) における接線の方程式の求め方は？
15｜傾きの条件と接線の方程式
微分と積分 15曲線 \(y=x^2\) について、傾き \(-2\) の接線の方程式の求め方は？
16｜曲線外の点から引いた接線の方程式
微分と積分 16曲線 \(y=x^2\) に点 \((2~,~-5)\) から引いた接線の方程式の求め方は？また、曲線 \(y=-x^3+3x-2\) に点 \((2~,~-4)\) から引いた接線の方程式の求め方は？
17☆｜接線の条件と曲線の決定
微分と積分 17☆曲線 \(y=x^2+ax+b\) 上の点 \((1~,~1)\) の接線が原点を通るとき、定数 \(a~,~b\) の値の求め方は？
導関数と関数の増減・極値
18｜導関数と関数の増減
微分と積分 18関数 \(f(x)=x^3-3x\) の導関数を求めて、増減を調べる方法は？また、関数 \(f(x)=x^3+3x\) が常に単調に増加することの証明方法は？
19｜導関数と3次関数のグラフ
微分と積分 19関数 \(y=x^3-3x\) の極値の求め方とグラフの描き方は？また、関数 \(y=x^3-3x^2+3x\) のグラフの描き方は？
20｜導関数と4次関数のグラフ
微分と積分 20関数 \(y=x^4-2x^2\) の極値の求め方とグラフの描き方は？また、関数 \(y=-x^4+4x^3\) の極値の求め方とグラフの描き方は？
21｜極値の条件と関数の決定
微分と積分 21関数 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\) が \(x=-3\) で極大値、\(x=1\) で極小値 \(-4\) をとるとき、定数 \(a~,~b~,~c\) の値と極大値の求め方は？また、3次関数 \(f(x)\) が \(x=0\) で極大値 \(0\) 、\(x=1\) で極小値 \(-1\) をとるとき、関数 \(f(x)\) の求め方は？
22☆｜3次関数が常に単調に増加する条件
微分と積分 22☆関数 \(f(x)=x^3+3ax^2+3x\) が常に単調に増加する定数 \(a\) の値の範囲の求め方は？
23☆｜3次関数が極値をもつorもたない条件
微分と積分 23☆関数 \(f(x)=x^3+ax^2+3x\) が極大値と極小値をもつような定数 \(a\) の値の範囲の求め方は？また、極値をもたないような定数 \(a\) の値の範囲の求め方は？
24☆｜定数を含む関数の極値
微分と積分 24☆\(a\) を定数として、関数 \(y=x^2(x-a)\) の極値の調べ方は？
導関数と最大値・最小値
25｜3次関数や4次関数の最大値・最小値
微分と積分 25関数 \(y=x^3-3x\) \((-2{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3)\) の最大値・最小値の求め方は？また、関数 \(y=x^4-2x^2\) \((0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}2)\) の最大値・最小値の求め方は？
26｜3次関数と体積の最大値
微分と積分 26底面の半径と高さの和が \(9~{\rm cm}\) の円柱の体積の最大値の求め方は？また、半径 \(3~{\rm cm}\) の球に内接する円柱の体積の最大値とそのときの高さの求め方は？
27☆｜文字係数の3次関数の最大値・最小値
微分と積分 27☆\(a \gt 0\) のとき、関数 \(y=2x^3-3ax^2\) \((0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}3)\) の最小値の求め方は？
28☆｜区間に文字を含む3次関数の最大値・最小値
微分と積分 28☆\(a \gt 0\) のとき、関数 \(y=x^3-3x\)\((0{\small ~≦~}x{\small ~≦~}a)\) の最大値の求め方は？
導関数と方程式・不等式
29｜3次方程式・4次方程式の実数解の個数
微分と積分 293次方程式 \(x^3-3x+1=0\) の異なる実数解の個数の調べ方は？また、4次方程式 \(x^4-8x^2+4=0\) の異なる実数解の個数の調べ方は？
30｜方程式の実数解の個数と定数分離法
微分と積分 303次方程式 \(x^3-3x-a=0\) の実数解の個数の調べ方は？また、1個の正の解と異なる2個の負の解をもつような定数 \(a\) の値の範囲の求め方は？
31｜3次不等式・4次不等式の証明
微分と積分 31\(x{\small ~≧~}0\) のとき、不等式 \(x^3+2{\small ~≧~}3x\) を証明する方法は？また、不等式 \(x^4-2x^2+4 \gt 0\) を証明する方法は？
32☆｜文字係数の3次方程式の実数解の個数
微分と積分 32☆\(a \gt 0\) のとき、3次方程式 \(ax^3-3ax^2+12=0\) が異なる3つの実数解をもつときの定数 \(a\) の値の範囲の求め方は？
33☆｜3次不等式が常に成り立つ条件
微分と積分 33☆\(x{\small ~≧~}0\) のとき、不等式 \(x^3-6x^2+9x+a \gt 0\) が常に成り立つような、定数 \(a\) の値の範囲の求め方は？
不定積分と定積分
34｜関数xⁿの不定積分
微分と積分 34不定積分\(\displaystyle\int 6x^3\,dx~,~\)\(\displaystyle\int dx~,~\)\(\displaystyle\int (3x^2-4x-5)\,dx~,~\)\(\displaystyle\int (3x+2)^2\,dx~,~\)\(\displaystyle\int (t-1)(t+3)\,dt\)の計算方法は？
35｜不定積分と関数の決定
微分と積分 35条件 \(F^{\prime}(x)=3x^2-4x-5~,~\)\(F(-1)=1\) を満たす関数 \(F(x)\) の求め方は？
36｜接線の傾きと不定積分
微分と積分 36曲線 \(y=f(x)\) が点 \((0~,~3)\) を通り、その曲線上の点 \((x~,~f(x))\) での接線の傾きが \(x^2-x\) であるとき、\(f(x)\) の求め方は？
37｜関数xⁿの定積分の計算
微分と積分 37定積分\(\displaystyle\int_0^1(3x^2-4x-5)\,dx~,~\)\(\displaystyle\int_1^2(3x+2)^2\,dx~,~\)\(\displaystyle\int_{-1}^1(t-1)(t+3)\,dt\)の計算方法は？
38｜定積分の性質を用いた計算
微分と積分 38\(\displaystyle\int_{2}^{3}(x+1)^2\,dx-\int_{2}^{3}(x-1)^2\,dx~,~\)\(\displaystyle\int_{1}^{1}(2x-1)\,dx~,~\)\(\displaystyle\int_{-1}^{0}(3x^2+2x)\,dx-\int_{2}^{0}(3x^2+2x)\,dx\) の計算方法は？
39｜定積分∫f(t)dtを含む関数
微分と積分 39等式 \(f(x)=3x^2-2x+\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt\) を満たす関数 \(f(x)\) を求める方法は？
40｜定積分で表された関数と微分
微分と積分 40関数 \(f(x)=\displaystyle\int_a^x(2t^2-3t+1)\,dt\) を微分する方法は？
41｜区間にxを含む定積分と関数の決定
微分と積分 41等式 \(\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=x^2+3x-10\) を満たす関数 \(f(x)\) と定数 \(a\) を求める方法は？
42☆｜定積分が条件の関数の決定
微分と積分 42☆2次関数 \(f(x)\) が \(f(1)=2~,~\)\(f^{\prime}(1)=4~,~\)\(\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=4\) を満たすとき、\(f(x)\) の求め方は？
43☆｜定積分で表された関数のグラフ
微分と積分 43☆関数 \(f(x)=\displaystyle\int_0^x(t-1)(t+2)\,dt\) のグラフの描き方は？
44☆｜定積分∫xf(t)dtを含む関数
微分と積分 44☆等式 \(f(x)=x^2+\displaystyle\int_0^2 xf(t)\,dt\) を満たす関数 \(f(x)\) を求める方法は?
45☆｜1次関数の定積分の不等式
微分と積分 45☆１次関数 \(f(x)\) について、不等式 \(\displaystyle\int_0^1\{f(x)\}^2\,dx \gt \left\{\displaystyle\int_0^1f(x)\,dx\right\}^2\) の証明方法は？
46☆｜関数(ax+b)ⁿの定積分
微分と積分 46☆定積分 \(\displaystyle\int_0^1(2x+1)^3\,dx\) の不定積分の \(\displaystyle\int(ax+b)^n\,dx\) の公式を使った計算方法は？
定積分と図形の面積
47｜x軸より上側の範囲の囲まれた面積
微分と積分 47\(y=-x^2+3x\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積、\(y=x^2-2x+3\) と \(x\) 軸、\(y\) 軸、\(x=3\) で囲まれた図形の面積、\(y=x(x-2)^2\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積の求め方は？
48｜x軸より下側の範囲の囲まれた面積
微分と積分 48\(y=x^2-2x\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積の求め方は？また、\(y=x(x+2)^2\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積の求め方は？
49｜2つの部分に分けられた面積
微分と積分 49\(y=x^2-2x\) と \(x\) 軸、\(x=1~,~\)\(x=3\) で囲まれた図形の面積の求め方は？また、\(y=x^3-4x^2+3x\) と \(x\) 軸で囲まれた２つの部分の面積の求め方は？
50｜2つの曲線の間の面積
微分と積分 50\(y=x^2+x-1\) と \(y=2x+1\) で囲まれた図形の面積の求め方は？また、\(y=x^2+3x-7\) と \(y=-x^2+x+5\) で囲まれた図形の面積の求め方は？
51｜絶対値を含む定積分
微分と積分 51定積分 \(\displaystyle\int_{1}^{4}|\,x-3\,|\,dx~,~\)\(\displaystyle\int_{0}^{3}|\,x^2-4\,|\,dx\) の計算方法は？
図形の面積の応用
52｜3次関数と接線で囲まれた面積
微分と積分 52曲線 \(y=x^3-3x\) とこの曲線上の点 \((2~,~2)\) における接線で囲まれた図形の面積の求め方は？
53☆｜図形の分割や合成と囲まれた面積
微分と積分 53☆曲線 \(y=-x^2+4x\) と直線 \(y=x~,~\)直線 \(y=-x\) で囲まれた図形の面積の求め方は？
54☆｜放物線と2本の接線で囲まれた面積
微分と積分 54☆放物線 \(y=x^2\) とこの放物線上の点 \((1~,~1)\) 、\((-3~,~9)\) における2本の接線で囲まれた図形の面積の求め方は？
55☆｜2つの放物線と共通接線で囲まれた面積
微分と積分 55☆\(y=x^2\) と \(y=x^2-4x+8\) の両方に接する接線と2つの放物線で囲まれた図形の面積の求め方は？
56☆｜連立不等式の表す領域の面積
微分と積分 56☆次の不等式の表す領域の面積を求めよ。
\(\begin{eqnarray}\left\{\,\begin{array}{l}\,y{\small ~≧~}x^2\\\,y{\small ~≧~}x\\\,y{\small ~≦~}-x+6\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}\left\{\,\begin{array}{l}\,y{\small ~≧~}x^2\\\,y{\small ~≧~}x\\\,y{\small ~≦~}-x+6\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
57☆｜定数を含む関数の面積の分割
微分と積分 57☆\(0 \lt a \lt 2\) として、放物線 \(y=-x^2+3x\) と直線 \(y=ax\) で囲まれた図形の面積が、放物線 \(y=-x^2+3x\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積の \(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,8\,}\) であるとき、定数 \(a\) の値の求め方は？
58☆｜面積が一定となることの証明
微分と積分 58☆放物線 \(y=x^2\) 上の点 \((a~,~a^2)\) における接線と放物線 \(y=x^2-1\) で囲まれた図形の面積は \(a\) の値に関係なく一定であることの証明方法は？
59☆｜∫a(x-α)(x-β)dxの定積分
微分と積分 59☆\(y=-x^2+3x\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積、\(y=x^2+x-1\) と \(y=2x+1\) で囲まれた図形の面積、\(y=x^2+3x-7\) と \(y=-x^2+x+5\) で囲まれた図形の面積の定積分の公式 \(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)\,dx\) を用いた求め方は？
60☆｜∫a(x-α)²(x-β)dxの定積分
微分と積分 60☆定積分 \(\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+1)^2(x-2)\,dx\) の \(\displaystyle\int(ax+b)^n\,dx\) の不定積分を使った計算方法は？また、定積分の公式 \(\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)^2(x-\beta)\,dx\) を使った計算方法は？
