- 数学Ⅱ「図形と方程式」の基本例題一覧ページです。
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直線上・平面上の点
01｜直線上の内分点・外分点・中点・線分の長さ
図形と方程式 01２点 \({\rm A}(-4)\)，\({\rm B}(2)\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の \(2:1\) の内分点、\(2:1\) の外分点、中点の座標の求め方は？また、線分 \({\rm AB}\) の長さは？
02｜平面上の2点間の距離
図形と方程式 02平面上の原点 \({\rm O}\) と点 \({\rm A}(3~,~2)~,~\)\({\rm B}(1~,~-4)\) について、線分 \({\rm OA}~,~\)\({\rm AB}\) の長さの求め方は？
03｜平面上の2点から等距離にある点
図形と方程式 03平面上の2点 \({\rm A}(-2~,~2)~,~\)\({\rm B}(4~,~4)\) から等距離にある \(x\) 軸上の点 \({\rm P}\) の座標の求め方は？
04｜平面上の3点の座標と三角形の形状
図形と方程式 04平面上の3点 \({\rm A}(2~,~3)~,~\)\({\rm B}(-1~,~1)~,~\)\({\rm C}(1~,~-2)\) を結ぶ三角形の形状の調べ方は？
05｜座標でのAB²+AC²=2(AM²+BM²)の証明
図形と方程式 05\(\triangle{\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm M}\) としたとき、座標を用いた等式 \({\rm AB}^2+{\rm AC}^2=2({\rm AM}^2+{\rm BM}^2)\) の証明方法は？
06｜平面上の内分点・外分点・中点
図形と方程式 06平面上の2点 \({\rm A}(2~,~3)~,~\)\({\rm B}(-4~,~6)\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の \(2:1\) の内分点、\(2:1\) の外分点、中点の座標の求め方は？
07｜平面上の三角形の重心の座標
図形と方程式 07平面上の3点 \({\rm A}(2~,~3)~,~\)\({\rm B}(-4~,~6)~,~\)\({\rm C}(-1~,~-3)\) を頂点とする \(\triangle{\rm ABC}\) の重心の座標の求め方は？
08｜平面上の点に関して対称な点
図形と方程式 08平面上の点 \({\rm A}(2~,~3)\) に関して点 \({\rm P}(0~,~-1)\) と対称な点 \({\rm Q}\) の座標の求め方は？
09｜平行四辺形の対角線の交点の座標
図形と方程式 09平面上の4点 \({\rm A}(2~,~3)~,~\)\({\rm B}(-4~,~6)~,~\)\({\rm C}(0~,~-1)~,~\)\({\rm D}\) を頂点とする平行四辺形 \({\rm ABCD}\) について、点 \({\rm D}\) の座標の求め方は？
直線の方程式
10｜xとyの1次方程式と直線
図形と方程式 10方程式 \(2x-y-3=0~,~\)\(y+3=0~,~\)\(2x-4=0\) の表す図形の調べ方は？
11｜点と傾きが条件の直線の方程式
図形と方程式 11点 \((1~,~-1)\) を通り、傾き \(2\) の直線の方程式の求め方は？また、点 \((1~,~-1)\) を通り \(x\) 軸に垂直な直線の方程式の求め方は？
12｜2点の座標が条件の直線の方程式
図形と方程式 122点 \((2~,~3)~,~\)\((-4~,~6)\) を通る直線の方程式の求め方は？また、2点 \((2~,~3)~,~\)\((-1~,~3)\) や2点 \((2~,~3)~,~\)\((2~,~-2)\) の場合では？
13｜x切片とy切片が条件の直線の方程式
図形と方程式 13\(x\) 切片が \(2\)、\(y\) 切片が \(-3\) である直線の方程式の求め方は？
14｜3点が一直線上にある条件
図形と方程式 14平面上の3点 \((2~,~3)~,~\)\((-4~,~6)~,~\)\((2a~,~a)\) が一直線上にあるときの定数 \(a\) の値の求め方は？
2直線の関係
15｜2直線の平行と垂直の判別方法
図形と方程式 153本の直線 \(2x-y-3=0~,~\)\(x+2y+1=0~,~\)\(y=2x+1\) について、それぞれの平行 or 垂直の判別方法は？
16｜直線に平行・垂直な直線の方程式
図形と方程式 16点 \((3~,~1)\) を通り、直線 \(2x-y-3=0\) に平行 or 垂直な直線の方程式は？
17☆｜垂直二等分線の方程式
図形と方程式 17☆2点 \({\rm A}(2~,~3)~,~\)\({\rm B}(-4~,~6)\) を結ぶ線分 \({\rm AB}\) の垂直二等分線の方程式の求め方は？
18☆｜一般式の2直線の平行・垂直条件
図形と方程式 18☆2直線 \(a_1x+b_1y+c_1=0~,~\)\(a_2x+b_2y+c_2=0\) が平行or垂直の判別方法は？ただし、\(b_1\neq 0~,~b_2\neq 0\) とする。
19｜連立方程式の解と2直線の関係
図形と方程式 19連立方程式 \(2x-y-3=0~,~\)\(ax-y+c=0\) が、ただ1組の解をもつ or 解をもたない or 無数の解をもつためのそれぞれの必要十分条件は？
20｜3直線が1点で交わる条件
図形と方程式 203直線 \(2x-y-3=0~,~\)\(x+y-6=0~,~\)\(x+my+3=0\) が1点で交わるときの定数 \(m\) の求め方は？
21｜2直線の交点を通る直線の方程式
図形と方程式 212直線 \(2x-y-3=0~,~\)\(x+y-6=0\) の交点と点 \((0~,~9)\) を通る直線の方程式の求め方は？
22☆｜直線がkの値に関係なく通る点
図形と方程式 22☆直線 \((k+2)x+(k-1)y-6k-3=0\) が \(k\) の値に関係なく通る点の座標の求め方は？
23☆｜座標平面を用いた垂心の証明
図形と方程式 23☆\(\triangle{\rm ABC}\) の頂点から対辺に下ろした垂線 \({\rm AL}~,~\)\({\rm BM}~,~\)\({\rm CN}\) は１点で交わることの座標平面を用いた証明方法は？
点と直線の関係
24｜直線に関して点と対称な点の座標
図形と方程式 24直線 \(x-2y+2=0\) に関して、点 \({\rm A}(1~,~4)\) と対称な点 \({\rm B}\) の座標の求め方は？
25｜点と直線との距離の公式
図形と方程式 25原点と直線 \(3x-4y-5=0\) との距離 \(d\) の求め方は？また、点 \((2~,~-4)\) と直線 \(2x-y-3=0\) との距離 \(d\) の求め方は？
26｜点と直線上の点を結ぶ線分の最小値
図形と方程式 26点 \({\rm A}(2~,~-4)\) と直線 \(2x-y-3=0\) 上を動く点 \({\rm P}\) において、\({\rm AP}\) の最小値の求め方は？
27☆｜点と直線との距離と三角形の面積
図形と方程式 27☆3点 \({\rm A}(2~,~3)~,~\)\({\rm B}(-4~,~6)~,~\)\({\rm C}(-1~,~-3)\) を頂点とする \(\triangle{\rm ABC}\) の面積を点 \({\rm A}\) と直線 \({\rm BC}\) との距離を用いて求める方法は？
円の方程式
28｜円の方程式の中心の座標と半径
図形と方程式 28中心が原点で半径 \( 2 \) の円の方程式、中心が \( (1~,~-2) \) で半径 \( 3 \) の円の方程式の求め方は？また、円 \( (x+2)^2+(y-3)^2=5 \) の中心の座標と半径は？
29｜中心と通る点・直径の両端と円の方程式
図形と方程式 29中心が点 \((-3~,~4)\) で原点を通る円の方程式の求め方は？また、2点 \((1~,~-1)\) 、\((3~,~3)\) を直径の両端とする円の方程式の求め方は？
30☆｜軸に接する円の方程式
図形と方程式 30☆点 \( (-1~,~2) \) が中心で \( x \) 軸 or \( y \) 軸に接する円の方程式の求め方は？また、点 \( (2~,~-1) \) を通り、\( x \) 軸と \( y \) 軸の両方に接する円の方程式の求め方は？
31☆｜直線に接する円の方程式
図形と方程式 31☆点 \((-1~,~2)\) が中心で直線 \(x-y+5=0\) に接する円の方程式の求め方は？
32☆｜直線上に中心がある円の方程式
図形と方程式 32☆中心が直線 \( y=2x \) 上にあり、2点 \( (-3~,~5) \)、\( (4~,~-2) \) を通る円の方程式の求め方は？
33｜x²+y²+lx+my+n=0の表す図形
図形と方程式 33方程式 \(x^2+y^2-2x+4y-4=0\) はどのような図形を表すか？
34｜方程式が円を表す条件
図形と方程式 34方程式 \( x^2+y^2-2x+4y+5=0 \) 、方程式 \( x^2+y^2-2x+4y+10=0 \) はどのような図形を表すか？
35｜3点を通る円の方程式
図形と方程式 353点 \((1~,~3)\) 、\((4~,~2)\) 、\((-3~,~1)\) を通る円の方程式の求め方は？
36☆｜3直線がつくる三角形の外接円
図形と方程式 36☆3本の直線 \(x+3y-10=0\) 、\(x-2y+5=0\) 、\(x-7y+10=0\) で囲まれた三角形の外接円の中心と半径の求め方は？
37☆｜円上の点との距離の最大値・最小値
図形と方程式 37☆円 \( (x-1)^2+(y+2)^2=9 \) 上の点 \( {\rm P} \) と点 \( {\rm A}(5~,~1) \) との距離 \( {\rm PA} \) の最大値と最小値の求め方は？
円と直線との関係
38｜円と直線との共有点の座標
図形と方程式 38円 \(x^2+y^2=5\) と直線 \(y=x+1\) の共有点の座標は？また、円 \(x^2+y^2=5\) と直線 \(y=-2x+5\) の共有点の座標は？
39｜円と直線との共有点の個数
図形と方程式 39円 \(x^2+y^2=5\) と直線 \(y=x+1\) or 直線 \(y=-2x+5\) or 直線 \(y=x-5\) の共有点の個数の調べ方は？
40｜円と直線との共有点の条件と判別式
図形と方程式 40円 \(x^2+y^2=5\) と直線 \(y=-x+k\) の共有点の個数は定数 \(k\) によってどのように変化するか、判別式を用いて調べる方法は？
41｜円と直線との共有点の条件と点と直線との距離
図形と方程式 41円 \(x^2+y^2=5\) と直線 \(x-3y+k=0\) の共有点の個数は定数 \(k\) によってどのように変化するか、点と直線との距離を用いて調べる方法は？
42｜直線が円によって切り取られる線分
図形と方程式 42直線 \(y=x+1\) が円 \(x^2+y^2=5\) によって切り取られる線分の長さの求め方は？
43☆｜円の内部に点がある条件
図形と方程式 43☆円 \(x^2+y^2=r^2\) の内部に点 \((4~,~3)\) があるとき、\(r\) の値の範囲の求め方は？
44｜円上の点における接線の方程式
図形と方程式 44円 \(x^2+y^2=5\) 上の点 \((1~,~2)\) における接線の方程式の求め方は？
45｜外部の点から円に引いた接線の方程式
図形と方程式 45点 \((3~,~1)\) を通り、円 \(x^2+y^2=5\) に接する直線の方程式の求め方は？
46☆｜円の2つの接点を結ぶ直線の方程式
図形と方程式 46☆点 \((3~,~1)\) を通り、円 \(x^2+y^2=5\) に接する直線の2つの接点を結ぶ直線の方程式の求め方は？
47☆｜直線に平行・垂直な円の接線の方程式
図形と方程式 47☆円 \(x^2+y^2=5\) の接線で直線 \(2x-y=3\) に平行 or 垂直な接線の方程式の求め方は？
48☆｜y軸上の点から円に引いた接線の方程式
図形と方程式 48☆点 \((0~,~3)\) を通り、円 \(x^2+y^2-2x-1=0\) に接する直線の方程式と接点の座標の求め方は？
49☆｜(x-a)²+(y-b)²=r²上の点における接線の方程式
図形と方程式 49☆円 \((x-2)^2+(y+3)^2=5\) 上の点 \((3~,~-1)\) における接線の方程式の求め方は？
50☆｜円と直線との2つの共有点を通る円の方程式
図形と方程式 50☆円 \(x^2+y^2=5\) と直線 \(x-y+1=0\) との2つの共有点と点 \((0~,~3)\) の3点を通る円の方程式の求め方は？
2つの円の関係
51｜2つの円の位置関係
図形と方程式 51円 \(x^2+y^2=9\) と円 \((x-4)^2+(y-3)^2=16\) の位置関係の調べ方は？
52｜円と外接・内接する円の方程式
図形と方程式 52円 \(x^2+y^2=9\) と外接または内接する、中心 \((4~,~3)\) の円の方程式を求めよ。
53☆｜円が円の内部にある条件
図形と方程式 53☆円 \(x^2+y^2-2x-2ky+k^2-3=0\) が円 \(x^2+y^2=25\) の内部にあるような定数 \(k\) の値の範囲を求めよ。
54｜2つの円の共有点の座標
図形と方程式 54円 \(x^2+y^2=5\) と円 \(x^2+y^2+4x-4y-9=0\) の共有点の座標の求め方は？
55｜2つの円の交点を通る図形の方程式
図形と方程式 55円 \(x^2+y^2=5\) と円 \(x^2+y^2+4x-4y-9=0\) の交点と点 \((2~,~0)\) を通る円の方程式の求め方は？また、この交点を通る直線の方程式の求め方は？
軌跡
56｜条件を満たす点Pの軌跡
図形と方程式 562点 \({\rm A}(1~,~0)\) 、\({\rm B}(4~,~0)\) からの距離の比が \(1:2\) の点 \({\rm P}\) の軌跡の求め方は？
57｜図形上を動く点Qと点Pの軌跡
図形と方程式 57円 \(x^2+y^2=8\) 上を動く点 \({\rm Q}\) と点 \({\rm A}(6~,~0)\) を結ぶ線分 \({\rm AQ}\) の中点 \({\rm P}\) の軌跡を求めよ。
58☆｜放物線の頂点の軌跡
図形と方程式 58☆定数 \(a\) がすべての実数値をとって変化するとき、放物線 \(y=x^2-2ax+2a^2-a+1\) の頂点の軌跡を求め方は？
不等式の表す領域
59｜直線が境界線の不等式の領域
図形と方程式 59不等式\(2x-y+1{\small ~≧~}0\)、\(x\gt2\)、\(y+3{\small ~≦~}0\)のそれぞれの表す領域の図示の方法は？
60｜円が境界線の不等式の領域
図形と方程式 60不等式\(x^2+y^2 {\small ~≦~} 4\)、\(x^2+y^2-2x+4y-4 \gt 0\) のそれぞれの表す領域の図示の方法は？
61｜不等式の領域の図の読み取り
図形と方程式 61次の不等式の表す領域の図から不等式を求める方法は？
\({\small (1)}~\)は境界線を含まない
\({\small (2)}~\)は境界線を含む
\({\small (1)}~\)は境界線を含まない
\({\small (2)}~\)は境界線を含む
62｜連立不等式の表す領域
図形と方程式 62連立不等式 \(x^2+y^2{\small ~≦~}25~,~y{\small ~≧~}2x-2\) や不等式 \(4\lt x^2+y^2\lt9\) の表す領域の図示の方法は？
63｜積の形の不等式の表す領域
図形と方程式 63不等式 \((x+y)(x-y+3) \lt 0\) の表す領域の図示の方法は？
64☆｜連立不等式の領域の図の読み取り
図形と方程式 64☆次の連立不等式の表す領域の図から連立不等式を求める方法は？
\({\small (1)}~\)は境界線を含まない
\({\small (2)}~\)は境界線を含む
\({\small (1)}~\)は境界線を含まない
\({\small (2)}~\)は境界線を含む
65☆｜放物線が境界線の不等式の領域
図形と方程式 65☆不等式 \(y \gt x^2+1\)、\(y {\small ~≦~} x^2-4x\) の表す領域の図示の方法は？
66☆｜絶対値を含む不等式の領域
図形と方程式 66☆絶対値を含む不等式 \(y{\small ~≧~}|\,x-1\,|\) 、\(y \lt |\,x\,|+1\) 、\(|\,x\,|+|\,y\,|{\small ~≦~}1\) の表す領域の図示の方法は？
67｜領域と最大値・最小値(線形計画法)
図形と方程式 67\(x~,~y\) が不等式 \(x{\small ~≧~}0~,~\)\(y{\small ~≧~}0~,~\)\(2x+y{\small ~≦~}6~,~\)\(x+2y{\small ~≦~}6\) を満たすとき、\(x+y\) の最大値・最小値の求め方は？
68｜領域を用いた証明
図形と方程式 68\(x~,~y\) が実数のとき、\(x^2+y^2 \lt 1\) ならば \(x^2+y^2-2x-3 \lt 0\) の証明方法は？
69☆｜円の領域と直線の最大値・最小値
図形と方程式 69☆\(x~,~y\) が不等式 \(x^2+y^2{\small ~≦~}5\) を満たすとき、\(y-2x\) の最大値・最小値の求め方は？
70☆｜領域と円の最大値・最小値
図形と方程式 70☆\(x~,~y\) が不等式 \(x-y+1{\small ~≧~}0~,~\)\(x-3y+3{\small ~≦~}0~,~\)\(3x-y-7{\small ~≦~}0\) を満たすとき、\(x^2+y^2\) の最大値・最小値の求め方は？
71☆｜線形計画法の文章問題
図形と方程式 71☆Xは \(1~{\rm g}\) あたり成分aを \(3~{\rm mg}\)、成分bを \(1~{\rm mg}\) 含み、Yは \(1~{\rm g}\) あたり成分aを \(1~{\rm mg}\)、成分bを \(2~{\rm mg}\) 含むとき、aを \(9~{\rm mg}\) 以上でbを \(8~{\rm mg}\) 以上取り、XとYの合計を最小にするときのXとYはそれぞれ何 \({\rm g}\) 取ればよいか？
